勾股定理教学案例分析与反思

勾股定理教学案例分析与反思
以初中数学中“勾股定理”的课堂教学为例，改变以往老师讲学生听的单一教学模式，通过先讲故事引题，吸引学生的兴趣，然后带动学生动手操作直角三角形纸板形象理解定理，调动起学生的积极性，继而推导公式并向学生提出数形结合的概念，最后提议学生找寻“勾股定理”在生活中的应用实例，扩展的学生的知识面，起到举一反三的效果，从而探讨素质教育教学方法的实际应用。

自“科教兴国”战略实施多年以来，我国的教育体制已逐渐从应试教育向素质教育转变。

然而，这种转变的有效性仍值得检验。

素质教育的本质就是以培养、激发学生的创新思维为目的，以特色的教学模式为手段，调动学生的积极思维欲望，不拘一格地带动学生对知识敢想、多想，以达到学生更深层次地理解所学知识，使其真正转变为自己的知识，并能在以后的学习、生活中加以利用。

就数学而言，数学课堂教学研究一直是国内外教育改革的焦点之一，课堂被认为是学生构建知识，老师组织学习最重要的现实环境，它被喻为“人世间最复杂的实验室之一”。

作为一名初中数学教师，在新课程标准下，教师教学理念也在变化，如何能在课堂中带动学生的听课积极性，使学生对我们所教内容产生浓厚的兴趣，而不认为是教条式的填鸭，显得至关重要。

勾股定理是中国几何的根源，是中华数学的精髓。

在此，作者以初中二年级数学课程“勾股定理”作为课程实践案例，进行了一次简单尝试。

现将教学过程与分析提出来，求学于同行。

一、以历史故事开始，激发学生兴趣笔者改变了以往“勾股定理”教学中照书念的本本模式，而是不惜用去10 分钟时间给学生讲讲勾股定理的起源。

在引领学生将书翻到勾股定理章节后，告诉学生，大家书本上看到的这位毕达哥拉斯，是公元前四百多年前发现了直角三角形的三边关系，而最早有关该定理的文字著作出自我国商朝约公元前200 年左右的《周髀算经》，由商高发现。

并在三国时代由赵爽对其做出详细注释，又给出了另外一个证明引，我们的祖先是不是也很智慧呢？此时，全班几乎所有学生目光都从书本移开，极为专注地看着老师，眼神中带着强烈的自豪感。

下面我以初中数学中“勾股定理”的课堂教学为例，改变以往老师讲学生听的单一教学模式，通过先讲故事引题，吸引学生的兴趣，然后带动学生动手操作直角三角形纸板形象理解定理，调动起学生的积极性，继而推导公式并向学生提出数形结合的概念，最后提议学生找寻“勾股定理”在生活中的应用实例，扩展的学生的知识面，起到举一反三的效果，从而探讨素质教育教学方法的实际应用。

我转而引导学生开始上课，每个孩子都带着浓厚的兴趣想要学好我们祖先发现的伟大定理。

二、数形结合，形象理解抽象概念通过带领学生从看图18.1-2 中快速计算正方形ABC、A’B’C’面积，并展开猜想，引出“勾股定理”的命题。

随后，将学生分组，一组4 人，给每组分发下去4 个全等的直角三角形纸板，短直角边标有a( 勾) 字样，长直角边和斜边分别标有b( 股) 及c( 弦)。

让每一位同学都在仔细观察“赵爽弦图”的同时，用纸板摆出“赵爽弦图”，使学生对赵爽的证明过程有一个初步形象的直观认识，然后给学生做出赵爽对“勾股定理”的详细推导。

学生们在小组参与弦图旋转、摆放的过程中，个个乐此不疲，相互提醒。

虽然，教室中看似多了点吵闹，但笔者发现，在学生眼、手、口并用的实际操作
中，勾股定理的学习少了许多课本填鸭式的枯燥，换之而来的是学生们积极的参与、激烈的讨论和更为浓厚的兴趣。

三、举一反三，调动思维
在定理证出后，笔者立即向学生提问：谁能给出快速说出更多的均以整数为边的勾股数的方法？底下同学开始议论，一位同学的回答引得全班哄堂大笑，上网！笔者也忍俊不禁，告诉他很会利用现代高科技工具，算是一项能力，但不是独立解决该问题的最佳办法。

此时，已有学生说出6、8、10，9、12、15 等等。

笔者微笑点头肯定，整数勾股数三遍等量放大比例同样也是勾股数，三边不可约分的整数勾股数是以质数为最短边，并且只有一组以其为最短边的勾股数。

至于原因，不过该内容已超纲，有兴趣的同学可以课下研究、探讨。

四、教学教案
（一）时间安排
1．设置悬念引出课题———————————10分钟
2．画图实践大胆猜想———————————10分钟
3．动手拼图定理证明———————————10分钟
4．探古博今感知勾股———————————5分钟
5．学以致用体会美境———————————5分钟
6．总结升华完善报告———————————5分钟
（二）板书设计
18.1勾股定理（一）
一、图形奥秘
二、毕达哥拉斯故事
图形探究→猜想→命题
三、验证方法
动手拼图证法
探究报告展示
“学生展示区”
四、勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别是
，斜边是，那么
五、勾股定理的历史背景及应用
六、练习
七、小结及作业
《探索勾股定理》第一课时教学设计
（三）、教材分析
教材地位与作用
勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的。

在教材中起到承上启下的作用，为下面学习勾股定理的逆定理作了铺垫，为以后学习“四边形”和“解直角三角形”奠定基础。

勾股定理的探索和证明蕴含着丰富的数学思想和科学研究方法，是培养学生具有良好思维品质的载体。

它在数学的发展过程中起着重要的作用。

勾股定理是一坛陈年佳酿，品之芬芳，余味无穷，它以其简洁优美的形式，丰富深刻的内涵刻画了自然界和谐统一关系，是数与形结合的优美典范。

教学目标
知识技能
了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程。

在勾股定理的探索过程中，体会数形结合思想，发展合情推理能力。

解决问题
1．通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。

2．在探究活动中，学会与人合作，并在与他人交流中获取探究结果。

情感态度
1．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情。

2．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神。

（四）教学重点及难点
重点：经历探索及验证勾股定理的过程。

难点：用拼图的方法证明勾股定理。

（五）教学媒体准备
教学媒体：多媒体课件。

学具准备：方格纸（老师准备）、4个全等的直角三角形（学生四人一组，分组准备）。

（六）、教法与学法分析
教法分析:八年级学生经过一年半的几何学习，几何图形的观察、几何证明的理性思维能力已初步形成。

因此在教学中要力求实现以教师为主导，以学生为主体，以知识为载体，以培养学生的“思维能力，动手能力，探究能力”为重点的教学思想。

尽量为学生创设“做数学、玩数学”的情境，让学生从“学会”到“会学”，使学生真正成为学习的主人。

学法分析:八年级学生生活经验积累较少，缺乏严谨的逻辑推理能力。

所以在探索勾股定理时，主要通过直观的，乐于接受的拼图法去验证勾股定理。

“操作＋思考”的方式符合八年级学生认知水平，适应其思维发展规律及心理特征。

让学生感悟到：学习任何知识的最好方法就是自己去探索，在探索中领悟、在领悟中理解，让他们“学会学习”。

（七）、教学过程
新课标指出，数学教学过程是教师引导学生进行学习的过程，是教师和学生互动共同发展的过程。

为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下教学环节：
课前探究知识储备设置悬念引出课题画图实践大胆猜想动手拼图定理证明探古博今感知勾股学以致用体会美境总结升华完善报告
1.观看从网上下载的“勾股定理”相关历史故事，提出我国的祖先发现的伟大定理。

创设情景
2．比一比
提议以小组为单位进行一场按要求画三角形比赛，要求组内每一位成员完成才算，完成最快的小组为胜
3．做一做
每一小组尽量准确地作出相应的一个直角三角形，两直角边长分别为：
第四小组：9cm和12cm；第三小组：5cm和12cm；
第二小组：6cm和8cm；第一小组：3cm和4cm。

并且测量斜边的长度，结果保留整数。

4．议一议
①（显然第一小组获胜）另外几组学生有意见，认为比赛不公平，自己的尺不够长等。

教师乘此机会说明设计这个游戏的意图有二，并把课题引到本节课要学的内容上（同时板书标题探索勾股定理（1））
②讨论测量结果并填写表格
③观察表中后两列的数据，你能发现直角三角形三边长之间的关系吗？
1．在充分交流的基础上，得出结论。

老师板书：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：如果a ，b为直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，则。

说明勾股定理的由来：我国早在三千多年前就知道直角三角形的这个性质了。

古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦，因此这一性质也称为勾股定理。

而最小的三边都为整数的直角三角形的三边长为3，4，5，因此有勾三，股四，弦五之说。

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，但我国古人比毕达哥拉斯发现得早。

2．探索勾股定理的正确性
方法一：教师出示4个如下图所示的直角三角形，并出示一个边长为c的正方形，当场把4个三角形按下图粘贴好，展示给学生看（顺便告诉学生这个图数学家赵爽所创的弦图，2001年在北京召开的国际数学家大会的会标是以这个图为设计思路的），并提出3个问题：（1）中间小正方形的边长和面积分别为多少？（用a,b 表示）
（2）大正方形的面积可以看成哪几个图形面积相加得到？
（3）根据（2）可以写出怎样一个关系式？
化简后便验证了勾股定理。

方法二：教师再出示4个如下图所示的直角三角形，并出示一个边长为a+b的正方形，当场把4个三角形按下图粘贴，启发学生课后用类似的方法验证。

并告诉学生目前为止已经有几百种方法可以验证勾股定理了，课后思考一下其他的验证方法。

例题解析
例1（小黑板）已知△ABC中，∠C=Rt∠，BC=a, AC=b, AB=c。

教师板书示范解题过程的规范表述后，学生完成课内练习1（小黑板）。

三位学生上黑板展示，教师讲评。

例2（小黑板）如图，是一个长方形零件，根据所给尺寸（单位：mm），求两孔中心A、B之间的距离。

首先，教学过程中启发学生构造出含所求线段的直角三角形，从而应用勾股定理求解。

其次，强调构造新图形的过程及主要的推理过程都应书写完整。

巩固练习
课本40页课内练习
2．用刻度尺和圆规作一条线段，使它的长度为cm。

3．利用作直角三角形，在数轴上表示点。

课堂小结
先请学生总结，教师再补充归纳
1．至少了解一种勾股定理的验证方法；
2．除了掌握勾股定理外，还应初步学会构造直角三角形，以便应用勾股定理。

布置作业
1．课本40页作业题
2．作业本（2）第10—11页
（八）、课后总结，课外拓展
重点内容“勾股定理”授课完毕，继而启发学生对“勾股定理”的实际应用。

学生通过做门框、湖水等实际应用题对勾股定理的实用性有了更加现实的认识，也有了数学建模的简单概念。

邻近下课时，给学生布置了家庭作业，让学生用一个礼拜的时间观察生活中有关勾股定理应用的现实例子，并加以简单介绍。

之后腾出一节课给学生自由发挥，介绍自己对勾股定理的实践观察，学生们积极上台发言，表达欲望强烈，在其他同学获取知
识的同时，讲述的同学也在大家肯定的掌声中增强了自信心，课外拓展取得了很好的效果。

课后反思：
一、制定教学目标
新课程标准对“勾股定理”教学第一课时提出了明确的课程目标：“体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；”教师们根据这一课程目标又制定了第一课时的教学目标，知识技能：了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程；数学思考：在勾股定理的探索过程中，发展学生思维能力，体会数形结合的思想；解决问题：通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，提高分析问题解决问题的能力，在探究活动中学会与他人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果；情感态度：通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学生的学习热情，在探究活动中体验解决问题的多样性，培养学生的合作意识和探究精神。

大多数教师都能围绕课程目标和自己制订的教学目标有效地进行数学教学活动，在学生的数学学习中贯彻并较好地落实这些教学目标。

但仍有教师的教学目标与数学教学活动脱节，在体验勾股定理的探索过程上花费大量的时间和精力，让学生在不同的图形中运用不同的方法去进行探索，而置“会运用勾股定理解决简单问题”而不顾，一堂课变成了纯“勾股定理的探索和证明”。

二、创设数学情景
数学课程标准在第三学段提出了“要创造性使用教材，积极开发，利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材”，同时又强调本学段的教学应结合具体的数学内容，采用“问题情景—建立模型——解释，应用与拓展”的模式展开。

教师们在课堂引入中都能创设合适的数学情景，增强学生学习数学的欲望，提高学生学习数学的兴趣，具体的情景模式有：①古代希腊邮票上的数学图案，是教师在网上搜寻的图案，图案美丽，图形直观；②2002年北京24届国际数学家大会的会徽图案，选自教材，被誉为数学界“奥运会”的这届年会在北京召开，增强了学生的自豪感，同时，学生不由自主地思考：为什么年会要选择这个图案；③几何树，这是教师用几何画板制作的动画图片，图片中有不少图形。

这些图案或图形为探索勾股定理提供了背景材料，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情景，激发了学生的学习热情。

三、组织数学教学活动
“数学教学活动”必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上。

教师们在组织数学教学活动中很好地把握了这一点，按照学生认知发展水平，遵循由特殊到一般的认知规律，由形象到抽象的思维过程，有效地组织数学教学活动，以活动为载体，让学生在观察、操作、猜测、交流和反思中逐步体会数学知识的产生、形成和发展过程。

应该说，一堂数学教学活动，学生能反思这样一些问题，可以说是这个教师教学的极大成功。

这其中没有丝毫的做秀成份，却鲜活地把学生的收获和疑惑摆在我们面前，不说是我们课改的一大喜事。

如果每堂课都能给学生收获，而学生也能提出一些疑惑，也是我们教育工作者课堂教学活动所追求的。

当然，教学活动是一门艺术，它也存在遗憾和缺憾，只要我们潜心研究，总能减少这些遗憾和跃的阶段，在初中数学课堂基本理论的教学中，适时带入一些生动灵活的素材，如讲述所教内容的历史小故事，团体讨论、课外拓展等，培养起学生自动自发的学习意识，积极思考的求知欲望和举一反三的实践能力，会使我们的教学质量得到较大幅度的提高，培养出更多的勤思考、爱动脑和成绩好的优秀学子。