2021年四川省高考数学诊断性试卷(理科)

2021年四川省高考数学诊断性试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设集合A={−1,0，1，2，3}，集合B={x|x2>2x}，则A∩B的子集个数为()
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
2.方胜是汉民族的传统寓意祥纹，由两个菱形压角叠加而成，一个菱形的顶点与另一个
菱形的中心对应，象征着“同心”.在如图所示的二连方胜中任取一点，则该点恰好落在叠加小菱形内的概率为(不考虑菱形边界的宽度)()
A. 1
6B. 1
7
C. 1
8
D. 1
9
3.已知命题p，q是简单命题，则“￢p是假命题”是“p∨q是真命题”的()
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
4.2020年春季，新冠肺炎疫情在全球范围内相继爆发，因为政治制度、文化背景等因素的不同，各个国家疫情防
控的效果具有明显差异.如图是西方某国在60天内感染新冠肺炎的累计病例人数y(万人)与时间t(天)的散点图，则下列最适宜作为此模型的回归方程的类型是()
A. y=a+bx
B. y=a+b√x
C. y=a+be x
D. y=a+blnx
5.在(x−
√x
)6的展开式中，常数项为()
A. 256
B. 240
C. 192
D. 160
6.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的边，已知2acosC=2b+√3c，则角A等于()
A. π
6B. π
3
C. 2π
3
D. 5π
6
7.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据市场预测，甲、乙两个项目的可能最大盈利率分别为30%和20%，可
能最大亏损率分别为50%和20%.该投资人计划利用不超过300万元的资金投资甲、乙这两个项目，在总投资风险不超过30%的情况下，该投资人可能获得的最大盈利为()
A. 40万元
B. 50万元
C. 60万元
D. 70万元
8.已知直线l：bx−ay+ab=0(ab>0)经过点P(−1,2)，则2a+b的最小值为()
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
9.将函数y=sin2x图象上的每一个点按向量a⃗=(φ,m)(其中φ和m为常数，且|φ|<π
2
)移动后，所得图象关于直
线x=π
12
对称，则φ的值可能为()
①π
3；②π
6
；③−π
6
；④−π
3
．
A. ①③
B. ②③
C. ①④
D. ②④
10.已知F(c,0)(其中c>0)是双曲线x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的焦点，圆x2+y2−2cx+b2=0与双曲线的一条渐
近线l交于A、B两点，已知l的倾斜角为30°，则tan∠AFB=()
A. −√2
B. −√3
C. −2√2
D. −2√3
11.设a=0.20.2，b=0.20.3，c=0.30.2，d=0.30.3，则a，b，c，d的大小关系是()
A. c >a >d >b
B. c >d >a >b
C. c >a >b >d
D. d >c >b >a
12. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为4，且A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，正方体内的动点P 满足|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PE
⃗⃗⃗⃗⃗ |，则点P 的轨迹所形成图形的面积是( )
A. π
B. 2π
C. 3π
D. 4π
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设复数z =1−i(i 为虚数单位)的共轭复数为z −，则|z ⋅(1+z −
)|= ______ ．
14. 在正四棱柱(底面为正方形且侧棱垂直于底面)ABCD −A 1B 1C 1D 1中，BC =2AA 1，M 是BC 的中点，则异面直
线BD 1与MC 1所成角的大小为______ ．
15. 已知直线经过抛物线y 2=4x 的焦点F ，并交抛物线于A 、B 两点，在抛物线的准线上的一点C 满足CB
⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AF|= ______ ． 16. 已知函数f(x)={x −2,x ≤2
log 2(x −1),x >2，则f[f(5)]= ______ ；不等式f(x +2)+f(x)>f(2)的解集是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 如图所示，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，E 为侧棱PC 的中点．
(1)求证：经过A 、B 、E 三点的截面平分侧棱PD ；
(2)若PA ⊥底面ABCD ，且PA =AD ，求二面角A −BE −C 的大小．
18. 团结协作、顽强拼搏的女排精神代代相传，极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在实现中华民族
伟大复兴的新征程上奋勇前进提供了强大的精神力量.最近，某研究性学习小组就是否观看过电影《夺冠(中国女排对影迷们随机进行了一次抽样调查，其列联表如表(单位：人)．
是 否 合计 青年 40 10 50 中年 30 20 50 合计
70
30
100
2.5%的前提下，认为是否观看过电影《夺冠(中国女排)》与年龄层次有关？
(2)(ⅰ)现从样本的中年人中按分层抽样方法取出5人，再从这5人中随机抽取3人，求其中至少有2人观看过电影《夺冠(中国女排)》的概率； (ⅰ)将频率视为概率，若从众多影迷中随机抽取10人记其中观看过电影《夺冠(中国女排)》的人数为ξ，求随机变量ξ的数学期望及方差． 参考公式：K 2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n =a +b +c +d ．
参考数据：P(K 2≥k 0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
19.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S5=35，且a4是a1与a13的等比中项．
(1)求{a n}的通项公式；
(2)若a1<4，求证：1
S1+1
S2
+⋯+1
S n
<3
4
−2
a n+1
，其中n∈N∗
20.设A、F分别为椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左顶点和右焦点，B为它的一个短轴端点，已知△ABF的面积
为b3
a
．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)经过点F且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于点P，当l
的方向变化时，是否存在常数λ，使得|MN|=λ|PF|恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
21.已知函数f(x)=e x−1
2
ax2−x．
(1)设f′(x)是f(x)的导函数，讨论函数y=f′(x)的单调性；
(2)当a≤1−1
e
时，求证：f(x)+x−ln(x+1)≥1．
22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：{x=√3+2cosα
y=−1+2sinα
(其中α为参数).以O为极点、x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)设点A的极坐标为(−3,π
3
)，点B在曲线C上运动，求△OAB面积的最大值以及此时点B的极坐标．
23.设函数f(x)=x|x−a|，其中a为常数．
(1)当a=1时，求不等式f(x)<2的解集；
(2)若方程f(x)=1有三个不等实根，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵A={−1,0，1，2，3}，B={x|x<0或x>2}，
∴A∩B={−1,3}，
∴A∩B的子集个数为：22=4．
故选：B．
可求出集合B，然后进行交集的运算求出A∩B，然后即可得出A∩B子集的个数．
本题考查了列举法和描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：设大菱形的边长为2a，其中一个顶角为α，
则小菱形的边长为a，
一个大菱形的面积为：2×1
2
×2a⋅2a⋅sinα=4a2⋅sinα，
一个小菱形的面积为：2×1
2
×a⋅a⋅sinα=a2⋅sinα，
∴任取一点，则该点恰好落在叠加小菱形内的概率为(不考虑菱形边界的宽度)：a2⋅sinα
2×4a2⋅sinα−a2⋅sinα=1
7
．
故选：B．
设大菱形的边长为2a，其中一个顶角为α，则小菱形的边长为a，进而求出各自的面积，即可求解结论．本题主要考查几何概型的面积比，属于基础题目．
3.【答案】A
【解析】解：￢p是假命题，则p是真命题，推出p∨q是真命题，是充分条件，
反之，不成立，
故选：A．
根据复合命题的真假结合充分必要条件，判断即可．
本题考查了复合命题的真假，考查充分必要条件的定义，是一道基础题．
4.【答案】C
【解析】解：函数图像随着自变量的变大，函数值增长速度越来越快，属于指数型函数的特征，
只有选项C为指数型函数．
故选：C．
由题意结合所给曲线的特点确定回归方程的类型即可．
本题主要考查函数模型的选项及其应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：(x−
√x )6的展开式的通项公式为T r+1=C
6
r⋅x6−r⋅
√x
)r=(−2)r⋅C6r⋅x6−32r，
由6−3
2
r=0，可得r=4，
即有展开式的常数项为16×15=240．
故选：B．
由二项式的展开式的通项公式，整理，可令x的指数为0，计算可得所求常数项．本题考查二项式的展开式的通项公式和运用，考查运算能力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：△ABC中，∵2acosC=2b+√3c.
∴由正弦定理得：2sinB+√3sinC=2sinAcosC，
∵2sinB=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosAsinC，
∴化简可得：2cosAsinC+√3sinC=0，
∵sinC≠0，
∴cosA=−√3
2
，
∴由A∈(0,π)，可得：A=5π
6
．
故选：D．
△ABC中，由条件利用正弦定理可得2cosAsinC=−√3sinC，化简可得cosA=−√3
2
，由此求得A的值．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：设投资甲、乙两个项目分别为x、y万元，
由题意有{
x+y≤300
0.5x+0.2y≤90
x≥0
y≥0
，且最大盈利为z=30%x+20%y，
所以由图知，当z=30%x+20%y过x+y=300，0.5x+0.2y=90的交点(100,200)时有最大值，
所以z=0.3×100+0.2×200=70万元，
故选：D．
根据题设不等关系列出不等式，以及盈利的代数式，然后利用线性规划的方法进行求解即可．
本题主要考查了实际应用，以及线性规划等知识，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：∵直线l：bx−ay+ab=0(ab>0)经过点P(−1,2)，
∴−b−2a+ab=0，即2a+b=ab≥2√2ab，∴ab≥8．
则2a+b的最小值为8，
故选：C．
由题意利用基本不等式，求得2a+b的最小值．
本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．
9.【答案】A
【解析】解：函数y =sin2x 图象上的每一个点按向量a ⃗ =(φ,m)移动后得到y =sin[2(x −φ)]+m ， ∵所得图象关于直线x =π12
对称，
∴2(
π
12−φ)=π
2
+kπ，k ∈Z ，
∴φ=−π6
−
kπ2
，k ∈Z ，
又|φ|<π
2，
∴当k =0时，φ=−π
6；当k =−1时，φ=π
3， ∴φ的值可能为π
3，−π6． 故选：A ．
平移后得到y =sin[2(x −φ)]+m ，再结合正弦函数的轴对称，可得φ=−π
6−
kπ2
，k ∈Z ，然后根据φ的范围限制，
即可得解．
本题考查三角函数图象的平移变换，正弦函数的轴对称，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 10.【答案】C
【解析】解：由题意可设双曲线的一条渐近线方程为bx −ay =0， 圆x 2+y 2−2cx +b 2=0化为(x −c)2+y 2=a 2， 圆心(c,0)，半径为a ，
l 与圆(x −c)2+y 2=a 2(其中c 2=a 2+b 2)相交于A ，B 两点， 由l 的倾斜角为30°，可得b
a
=tan30°=√3
3
，
F(c,0)到直线l 的距离为|FD|=|bc|√b 2+a 2
=b ，
∴|BD|=√a 2−b 2， 则tan∠DFB =|BD||FD|
=√a
2−b 2
b
=√
a 2
b 2
−1=√2，
得tan∠AFB =tan2∠DFB =
2tan∠DFB 1−tan 2∠DFB
=2√2
1−2=−2√2．
故选：C ．
设出一条渐近线方程，化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求得圆心到渐近线的距离，由已知得到b
a =√3
3
，然后求解三角形即可求得tan∠AFB ．
本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
11.【答案】A
【解析】解：∵a =0.20.2，b =0.20.3，c =0.30.2，d =0.30.3， 函数y =0.2x 是R 上的减函数，∴a >b ； y =0.3x 是R 上的减函数，∴c >d 而y =x 0.3是R 上的增函数，∴b <d ； y =x 0.2 是R 上的增函数，∴a <c ．
再根据a =√0.0410，d =√0.02710
，∴a >d ． 综上可得，c >a >d >b 故选：A ．
由题意利用指数函数、幂函数的单调性，可得a ，b ，c ，d 的大小关系．
本题主要考查指数函数、幂函数的单调性，属于中档题． 12.【答案】B
【解析】解：以A 1为坐标原点，A 1B 1为x 轴，A 1D 1为y 轴，A 1A 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
A 1
B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0,4)，A 1
C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,4,4)，
则A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1
4
(A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(4,3，4)， 设P(x,y ，z)，则|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4|PE
⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 所以(x −4)2+y 2+(z −4)2=4[(x −4)2+(y −3)2+(z −4)2]， 化简(x −4)2+(y −4)2+(z −4)2=4， 即以C(4,4，4)为球心，半径为2的球面， 而点P 在正方体内，则点P 的轨迹是球面的1
8， 所以S =1
8×4π×22=2π．
故选：B ．
以A 1为坐标原点，A 1B 1为x 轴，A 1D 1为y 轴，A 1A 为z 轴，建立空间直角坐标系，然后根据|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PE
⃗⃗⃗⃗⃗ |，求出点P 的轨迹，最后利用球的面积公式解之即可．
本题主要考查了轨迹方程，解题的关键是求出点P 的轨迹方程，同时考查了空间想象能力和运算求解的能力，属于中档题．
13.【答案】√10
【解析】解：z ⋅(1+z −
)=(1−i)⋅(1+1+i)=2+1−i =3−i ，
∴|z ⋅(1+z −
)|=√32+(−1)2=√10． 故答案为：√10．
利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14.【答案】π
4
【解析】解：设B 1C 的中点为N ，连结BN ，ND 1，
正四棱柱(底面为正方形且侧棱垂直于底面)ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，
设BC =2m ，则AA 1=m ，
M ，N 分别为BC ，B 1C 的中点，故B N//C 1M ，
所以异面直线BD 1与MC 1所成的角即为BD 1与BN 所成的角即∠NBD 1， BB 1=m ，B 1N =1
2B 1C 1=m ，则BN =√2m,C 1N =1
2B 1C 1=m,C 1D 1=2m ，
则ND 1=√m 2+(2m)2=√5m ，BD 1=√(2m)2+(2m)2+m 2=3m ， 在△BND 1中，由余弦定理可得cos∠NBD 1=NB 2+BD 12−ND 1
22⋅NB⋅BD 1
=
222
2⋅√2m⋅3m
=
√2
2
， 因为异面直线所成的角的范围为(0,π
2], 所以∠NBD 1=π
4，
故异面直线BD 1与MC 1所成角的大小为π
4． 故答案为：π
4．
先证明BN//C 1M ，利用异面直线所成角的定义得到∠NBD 1即为所求的角，由余弦定理求解即可．
本题考查了空间角的求解，主要考查了异面直线所成的角，解题的关键是找到两条异面直线所成的角，考查了逻辑推理能力与化简计算能力，属于中档题． 15.【答案】4
【解析】解：由抛物线的方程可得焦点F(1,0)，准线方程为x =−1， 由题意可得C(−1,y 0,)设B(x 1,y 1)，设B 在x 轴下方，
因为CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(x 1+1,y 1−y 0)=2(1−x 1,−y 0)， 属于可得x 1+1=2(1−x 1)，可得x 1=1
3，
将x 1=1
3代入抛物线的方程可得y 1
2
=4×1
3=43， 所以y 1=−2√33，即B(13,−2√3
3
)， 所以k BF =
0−(−
2√3
3)1−13
=√3，
所以直线AB 的方程为：y =√3(x −1)，
联立{
y =√3(x −1)y 2=4x
，整理可得3x 2−10x +3=0，解得：x =3或13， 所以可得A 的横坐标为3，
由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离， 所以|AF|=3−(−1)=4， 故答案为：4．
由抛物线的方程可得焦点F 的坐标就及准线方程，设B 的坐标，及C 的坐标，由向量的关系可得B 的横坐标，代入抛物线的方程可得B 的纵坐标，进而可得直线BF 的斜率及方程，直线BF 的方程与抛物线联立求出A 的横坐标，再由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，求出|AF|的值．
本题考查抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，及由向量得坐标的关系，直线与抛物线的综合，属于中档题．
16.【答案】0 {x|x >1}
【解析】解：由题意可知f(5)=log 2(5−1)=2， ∴f[f(5)]=f(2)=2−2=0， ∴f(x +2)+f(x)>f(2)=0，
∴{x +2≤2
x +x −2>0或{x >2log 2(x 2−1)>0或{x +2>2
x ≤2log 2
(x +1)>2−x
， ∴x >2或1<x ≤2， 即解集为{x|x >1}．
故答案为：1，{x|x >1}．
根据函数解析式有f(5)=2，即可求出f(f(5))的结果，对x 进行讨论，即可解出不等式的解集． 本题考查了分段函数的性质，分类讨论思想，不等式的解法，属于基础题． 17.【答案】(1)证明：设载面ABE 与侧棱PD 交于点F ， 连接EF 、AF ，
因为底面ABCD 为正方形，所以AB//CD ， 又因为AB ⊄平面PCD ，且CD ⊂平面PCD ， 所以AB//平面PCD ，
又AB ⊂平面ABE ，且平面ABE ∩平面PCD =EF ， 所以AB//EF ，
又因为AB//CD ，所以CD//EF ，
因为E 为PC 中点，所以F 为PD 中点， 即截面ABE 平分侧棱PD ．
(2)解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB =2， A(0,0，0)，B(2,0，0)，C(2,2，0)，E(1,1，1)， BA
⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，0)， BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)， 设平面ABE 与平面BEC 法向量为m
⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，n ⃗ =(u,v ，w)， {BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−x +y +z =0BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−2x =0，令z =1，m ⃗⃗⃗ =(0,1，1)， {BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−u +v +w =0BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2v =0，令w =1，n ⃗ =(1,0，1)， cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=
|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |
=
√2⋅√2
=1
2．
所以二面角A −BE −C 的大小为60°．
【解析】(1)根据直线与平面平行关系定理证明；(2)用向量数量积计算二面角余弦值，从而求解． 本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．
18.【答案】解：(1)根据表中数据，计算K 2=100×(40×20−30×10)2
70×30×50×50=100
21
， 因为100
21<5<5.024，所以不能在犯错误的概率不超过2.5%的前提下， 认为是否观看过电影《夺冠(中国女排)》与年龄层次有关．
(2)(ⅰ)依题意，从样本的中年人中按分层抽样方法取出的5人中， 观看过电影的有5×30
50=3(人)，没观看过的有2人， 记抽取的3人中有i 人观看过电影为事件A i (i =1,2，3)， 则P(A 2)=
C 32⋅C 21C 5
3=
3×210
=3
5，
P(A 3)=C 33
C 53=1
10，
从这5人中随机抽取3人，其中至少有2人观看过该电影的概率为： P =P(A 2)+P(A 3)=3
5+1
10=7
10； (ⅰ)由题意知，观看过该电影的频率为7
10，
将频率视为概率，则随机变量ξ服从二项分布B(10,7
10)， 所以随机变量ξ的数学期望为E(ξ)=10×7
10=7，
第11页，共14页 方差为D(ξ)=10×710×(1−710)=2.1．
【解析】(1)根据表中数据计算K 2，对照附表得出结论．
(2)(ⅰ)利用分层抽样方法抽取对应人数，计算所求的概率值；
(ⅰ)由题意知ξ服从二项分布，由此计算ξ的数学期望和方差．
本题考查了列联表与独立性检验问题，也考查了离散型随机变量的分布列和数学期望计算问题，是中档题． 19.【答案】(1)解：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5=35，得5a 1+10d =35，
因为a 4是a 1与a 13的等比中项，所以(a 1+3d)2=a 1(a 1+12d)，
化简得a 1=7−2d ，且2a 1d =3d 2，
解方程组，得a 1=7，d =0或a 1=3，d =2，
故{a n }的通项公式为a n =7或a n =2n +1(其中n ∈N ∗)．
(2)证明：因为a 1<4，则a n =2n +1，于是S n =n(n +2)，
于是1S n =1n(n+2)=12(1n −1n+2)， 故1S 1+1S 2+⋯+1S n =12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(1n−1−1n+1)+(1n −1n+2)]
=12(1+12−1n+1−1n+2)=34−12⋅2n+3(n+1)(n+2)，
因为(n +1)(n +2)<(
2n+32)2， 2n+3(n+1)(n+2)
>42n+3=4a n+1， 于是1S 1+1S 2+⋯+1
S n <34−12⋅4a n+1=34−2a n+1，其中n ∈N ∗．
【解析】(1)由等差数列的前n 项和公式、等比中项的性质、等差数列的通项公式可得关于a 1和d 的方程组，解之即可得解；
(2)利用列项求和法及基本不等式的应用证明即可．
本题主要考查等差数列的通项公式及前n 项和、等比中项的性质、数列的求和，以及不等式的证明，考查方程思想与转化思想的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)设椭圆的半焦距为c ，由已知得12(a +c)b =b 3a ，
即a(a +c)=2b 2，又b 2=a 2−c 2，
所以2c 2+ac −a 2=0，
所以(2c −a)(c +a)=0
由于a >0，c >0，
所以2c =a ，
解得e =c a =12，
所以椭圆的离心率为12．
(2)由(1)知，a 2=4c 2，b 2=3c 2，
所以椭圆C 的方程可化为3x 2+4y =12c 2，
设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线l 的方程为x =ty +c ，联立，
联立直线l 与椭圆的方程，得(3t 2+4)y 2+6cty −9c 2=0，
则y 1+y 2=−6ct 3t 2+4，y 1y 2=−9c 23t 2+4
，
第12页，共14页 由弦长公式可得|MN|=√(1+t 2)[(y 1+y 2)2−4y 1y 2]=√(1−t 2)[
36c 2t 2(3t 2+4)2+36c 23t 2+4]=12(t 2+1)c 3t 2+4， 设线段MN 的中点坐标为(x 0,y 0)，
则y 0=y 1+y 22=−3ct 3t 2+4，x 0=ty 0+c =4c 3t 2+4，
则MN 的垂直平分线方程为y +3ct 3t 2+4=−t(x −4c 3t 2+4)，
令y =0，得点P 的横坐标x P =c 3t 2+4，
于是|PF|=|c −x P |=3(t 2+1)c
3t +4=14|MN|， 故存在常数λ=4满足条件．
【解析】(1)由△ABF 的面积为b 3a ，得12(a +c)b =b 3a ，又b 2=a 2−c 2，化简即可解得e 的值．
(2)由(1)知椭圆C 的方程可化为3x 2+4y 2=12c 2，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线l 的方程为x =ty +c ，联立，结合韦达定理可得y 1+y 2，y 1y 2，再由弦长公式可得|MN|，设线段MN 的中点坐标为(x 0,y 0)，由中点坐标公式可得y 0=−3ct 3t +4，x 0=4c
3t +4，进而可得MN 的垂直平分线方程令y =0，得点P 的横坐标，进而可得|PF|与|MN|关系，即可得出答案．
本题考查椭圆的离心率，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由已知f′(x)=e x −ax −1，
设g(x)=f′(x)=e x −ax −1，
g′(x)=e x −a ，
①当a ≤0时，g′(x)=e x −a >0在R 上恒成立，
所以g(x)=f′(x)=e x −a >0在R 上恒成立，
所以g(x)=f′(x)在(−∞,+∞)上单调递增，
②当a >0时，令g′(x)>0得x >lna ，g′(x)<0得x <lna ，
所以g(x)=f′(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，
综上所述，当a ≤0时，y =f′(x)是(−∞,+∞)上的增函数，
当a >0时，y =f′(x)在(−∞,lna)是减函数，在(lna,+∞)上是增函数．
(2)由(1)知，①当a ≤0时，f′(x)=e x −ax −1在(−1,+∞)上单调递增，
又f′(0)=0，
所以−1<x <0时，f′(x)<0；x >0时，f′(x)>0，
则f(x)在(−1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
所以f(x)min =f(0)=1，
②当0<a ≤1e 时，lna ≤−1，
由(1)知f′(x)在(−1,+∞)上单调递增，又f′(0)=0，
则f(x)在(−1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
所以f(x)min =f(0)=1，
③当1e <a ≤1−1e 时，由(1)知f′(x)在(−1,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，
且f′(0)=0，f′(−1)=1e +a −1≤0，
所以−1≤x <0时，f′(x)<0；x >0时，f′(x)>0，
所以f(x)在(−1,0)上单调递减，在(0,+∞)单调递增，
则f(x)min =f(0)=1，
综上所述：函数f(x)在[−1,+∞)上的最小值为1，
第13页，共14页 所以f(x)≥1，
要证明原不等式只需证明x −ln(x +1)≥0，
设ℎ(x)=x −ln(x +1)(x >−1)，
所以ℎ′(x)=1−1x+1=x x+1，
则当−1<x <0时，ℎ′(x)<0；x >0时，ℎ′(x)>0，
即ℎ(x)在(−1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
则ℎ(x)min =ℎ(0)=0，
即x −ln(x +1)≥0，
又f(x)≥1，
故f(x)+x −ln(x +1)≥1．
【解析】(1)对f(x)求导得f′(x)=e x −ax −1，设g(x)=f′(x)=e x −ax −1，求导得g′(x)=e x −a ，分两种情况①当a ≤0时，②当a >0时，讨论函数y =f′(x)单调性．
(2)结合(1)的单调性得f(x)min =1，要证明原不等式只需证明x −ln(x +1)≥0，设ℎ(x)=x −ln(x +1)(x >−1)，只需证ℎ(x)min ≥0即可．
本题考查导数的综合应用，不等式的证明，解题中注意转化思想的应用，属于中档题． 22.【答案】解：(1)曲线C ：{x =√3+2cosαy =−1+2sinα
(其中α为参数)，整理得(x −√3)2+(y +1)2=4，化简得：x 2+y 2−2√3x +2y =0．
根据{x =ρcosθ
y =ρsinθ
x 2+y 2=ρ2
，转换为极坐标方程为ρ2−2√3ρcosθ+2ρsinθ=0， 整理得ρ=4cos(θ+π6)．
(2)A 的极坐标为(−3,π3)，即A(3,−
2π3)， 所以S △AOB =12×|AO|×|OB|⋅sin∠AOB =12×3×4×|cos(θ+π6)⋅sin(θ+
2π3)|=6cos 2(θ+π6)， 当θ+π6=0，即θ=−π6时，
即点B 为(4,−π6)时，△OAB 面积的最大值为6．
【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
(2)利用极径和三角形的面积公式和三角函数的关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，余弦型函数的性质的应用，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
23.【答案】解：(1)a =1时，函数f(x)=x|x −1|={x −x 2,x <1x 2−x,x ≥1
， 当x <1时，由f(x)<2得：x −x 2<2，此不等式恒成立，故x <1，
当x ≥1时，由f(x)<2得：x 2−x <2，解得：1<x <2，故1≤x <2，
综上，不等式f(x)<2的解集是{x|x <2}；
(2)f(x)−1={x 2−ax −1,x ≥a −x 2+ax −1,x <a
， ①当a =0时，f(x)在其定义域上单调递增，
故函数f(x)=1有且只有一个实根；
②当a >0时，f(x)在(−∞,a 2]上是增函数，
在(a
2
,a)上是减函数，在[a,+∞)上是增函数；且f(a)=−1，
故只需使f(a
2)=−a2
4
+a2
2
−1>0，
解得，a>2；
③当a<0时，f(x)在(−∞,a]上是增函数，
在(a,a
2)上是减函数，在[a
2
,+∞)上是增函数；
且f(a)=−1，
故不可能有三个实根；
综上所述，a>2，即a的取值范围是(2,+∞)．
【解析】(1)代入a的值，解各个区间上的关于x的不等式，求出不等式的解集取并集即可；
(2)化简f(x)−1，从而分类讨论确定函数的单调性及极值，从而解得．
本题考查了分类讨论的思想应用及绝对值函数的应用．
第14页，共14页。