矩形的定义和性质教案

§19.1.1矩形的定义及性质
教学目标
一、知识与技能
1、掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．并找出矩形特有的性质。

2、发现直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3、会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．。

二、过程方法与问题解决
1、通过图形的变化，经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；让学生掌握几何思
维方法，并渗透运动联系、从量变到质变的观点，经历观察、思考、合作、探究等数学活动；体会化归、建模、归纳等数学思想。

2、通过学习让学生理解、掌握矩形的性质，利用已有的学习经验解决矩形问题。

3、以多方位，多角度刺激学生参与课堂，运用知识解决问题。

三、情感态度与价值观
1、通过亲身体验，理解并掌握知识，开拓了学生的视野，也提高了学生的生活实践能力。

2、让学生在自主探究中学到方法，学会合作，学会倾听，在解决问题的过程中体验成功。

3、培养严谨的推理能力，以及自主合作的精神，体会逻辑推理的思维价值。

教学重难点
重点：矩形定义及其性质
难点：矩形的性质在解决问题中的应用
教法与学法：团队合作、师生协作，开放式教学。

教学手段：平行四边形模型、实物展台、多媒体课件辅助教学。

教学流程
一、复习回顾
上节课我们学习了平行四边形，还记得什么样的四边形是平行四边形嘛？它都具有哪些性质？
以问题的形式出现，让学生自主回忆并作答，加深对平行四边形的记忆，为本堂课做铺垫。

二、创设情境，导入新课
课堂引入
1．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（演示拉动过程如图）
2．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．
矩形是我们最常见的图形之一，例如桌面、教科书的封面等都有矩形形象．从学生的已有的知识出发，利用教具，激发学生的强烈的好奇心和求知欲。

学生经历了将实际问题转化为数学问题的建模过程。

三、实践探究，交流新知
【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．
①随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？
②当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？
操作，思考、交流、归纳后得到
矩形的性质：
矩形性质1：矩形的四个角都是直角． 矩形性质2：矩形的对角线相等．
如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，由性质2有AO=BO=CO=DO=21AC=2
1
BD ． 因此可以得到直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 归纳：
（1）矩形是特殊的平行四边形，它具备平行四边形的一切性质。

（2）矩形四个角都是直角。

（3）矩形对角线相等
（4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。

（5）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

四、开放训练，体现应用
典型例题
例1 已知：如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB=60°，AB=4cm ，求矩形对角线的长．
分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB 解：∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴ AC 与BD 相等且互相平分． ∴ OA=OB ． 又 ∠AOB=60°，
∴ △OAB 是等边三角形．
∴ 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm ）．
例2 已知：如图 ，矩形 ABCD ，AB 长8 cm ，对角线比AD 边长4 cm ．求AD 的长．
分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直 角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．
略解：设AD=xcm ，则对角线长（x+4）cm ，在Rt △ABD 中，由勾股定理：222)4(8+=+x x ，解得x=6． 则 AD=6cm ．
基础训练
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）.
A 对角线相等
B 对边相等
C 对角相等
D 对角线互相平分
2.矩形ABCD 中，若 AB=3,BC=4 ，则矩形的周长=______,矩形的面积=______,BD=_______, △AOD 与△AOB 的周长相差_______.
（第2题） （第3题）
3.在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，若BE=OE=1，则AC=_____，AB ＝_____， ∠AOB=___°
4.如图，矩形ABCD 中，AE ⊥BD, ∠DAE: ∠BAE=3:1，则∠BAE=_____, ∠EAO=_____.
(第4题) （第5题） 5.已知在矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，EF 垂直平分对角线AC ，
A B C D
O B C D O E A B C D O E A B C D
E F O
交AD 、BC 于点E 、F,则△AOE 的面积_______.
6.如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B ′的位置，
AB ′与CD 交于点E ．若AD=4，
P 为线段AC 上的任意一点, PG ⊥AE 于G ，PH ⊥EC 于H ，
则PG+PH 的值是 _________________
7.在矩形ABCD 中，AB=1，AD= ，AF 平分∠DAB ，过C 点作CE ⊥BD 于E ，延长AF 、EC 交于点H ，下列结论中：①AF=FH ；②BO=BF ；③ CA=CH ；④BE=3ED ， 正确的（ ） A ．②③ B ．③④ C ．①②④ D ．②③④
8.如图，在矩形ABCD 中，DE 平分∠ADC 交AC 于 E ，交BC 于F ，若∠BDF=15°,则∠COF=____°.
(第7题) （第8题）
五、总结收获
在教师引导下让学生总结本节课所学知识，并说出体会与收获；学生反思、体会课堂中所学内容，总结出知识要点。

六、作布业置：A ：必做题 B ：选做题（适应不同程度学生学习的需要） 七、板书设计：
§矩形
一、矩形定义： 例题：
二、矩形性质：
八、评价反思：
┄┄矩形的性质与判定复习学案
【知识要点:】
1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 2．矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。

H
C
D
B B’ G A P
E D A B Ｆ C
O
Ｅ B A D C F O E H
A B
D O C
（1）角：四个角都是直角。

（2）对角线：互相平分且相等。

3．矩形的判定:
（1）有一个角是直角的平行四边形。

（2）对角线相等的平行四边形。

（3）有三个角是直角的四边形。

4.矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；
矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线。

5.矩形的周长和面积：
矩形的周长=)(2b a + 矩形的面积=长⨯宽=ab （b a ,为矩形的长与宽）
★注意:（1）矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积相等。

（2）矩形是轴对称图形，两组对边的中垂线是它的对称轴。

【经典例题:】
例1、如图，矩形ABCD 中，E 为AD 上一点，EF ⊥CE 交AB 于F ，若DE=2，矩形ABCD 的周长为16，且CE=EF ，求AE 的长．
例2、已知：如图所示，矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，且AE=BC ，
︒=∠15EDC ．
求证：AD=2AB ．
例3、已知：如图，四边形ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和BCD 组成的，M 、N•分别为BC 、AD 的中点．求证：四边形BMDN 是矩形．
【课堂练习题:】
1．判断一个四边形是矩形，下列条件正确的是（ ）
A ．对角线相等
B ．对角线垂直
C ．对角线互相平分且相等
D ．对角线互相垂直且相等。

2．矩形的两边长分别为10cm 和15cm ，其中一个内角平分线分长
A
B
E
C
D
B
A
C D
N M
边为两部分，这两部分分别为（ ）
A ．6cm 和9cm
B ．5cm 和10cm
C ．4cm 和11cm
D ．7cm 和8cm
3.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ） A ．对角线互相平分且相等 B ．四个角相等
C ．是轴对称图形
D ．对角线互相垂直平分 4在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点，AB=0.6, BC=0.8, 那么△AOB 的面积为 ; 周长为 .
5一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为 .
6.若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 .
°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为 ，短边长为 .
㎝和3㎝，则对角线为 ㎝，矩形面积为 cm 2. °，则两条对角线相交所成的锐角是 .
【课后练习题:】 1.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（ ）。

A ．对角相等 B. 对边相等 C ．对角线相等 D. 对角线互相平分
2.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O,AB=5，AC=13，则矩形
ABCD B
D
A
3．已知，矩形的一条边上的中点与对边的两个端点的连线互相垂直，且该矩形的周长为24 cm，则矩形的面积为cm2。

4．如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，则∠EBC= 。

5.如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上。

设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点。

（1）求证：四边形AECG是平行四边形；
（2）若AB＝4cm，BC＝3cm，求线段EF的长。