高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.2 指数函数 4.2.2 第2课时 指数函数的图象和性质(

第四章 4.2 4.2.2 第2课时
A 组·素养自测
一、选择题
1.⎝⎛⎭⎫132
3 ，34，⎝⎛⎭⎫13－2的大小关系为( A ) A ．⎝⎛⎭⎫1323 <⎝⎛⎭⎫13－2<34B ．⎝⎛⎭⎫132
3 <34<⎝⎛⎭⎫13－2 C ．⎝⎛⎭⎫13－2<⎝⎛⎭⎫1323 <34
D ．⎝⎛⎭⎫13－2<34<⎝⎛⎭⎫132
3
[解析]由34＝⎝⎛⎭⎫13－4，又y ＝⎝⎛⎭⎫13x 为R 上的减函数， 所以⎝⎛⎭⎫132
3 <⎝⎛⎭⎫13－2<⎝⎛⎭⎫13－4
.故选A ．
2．已知f (x )＝a －
x (a >0且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值X 围是( D ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)
D ．(0,1)
[解析]因为f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x
在R 上为单调函数，
又－2>－3，f (－2)>f (－3)，所以f (x )为增函数，故有1
a >1，所以0<a <1.故选D ．
3．函数f (x )＝\S ]2x －2－
x ,2\s 是( B ) A ．偶函数，在(0，＋∞)是增函数 B ．奇函数，在(0，＋∞)是增函数 C ．偶函数，在(0，＋∞)是减函数 D ．奇函数，在(0，＋∞)是减函数 [解析]因为f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．
又因为y ＝2x 是增函数，y ＝2－x 为减函数， 故f (x )＝2x －2－x
2
为增函数．故选B ．
4．若(12)2a ＋1<(12)3－
2a ，则实数a 的取值X 围是( B )
A ．(1，＋∞)
B ．(1
2，＋∞)
C ．(－∞，1)
D ．(－∞，1
2
)
[解析]由题意，得2a ＋1>3－2a ， ∴4a >2，∴a >1
2
，故选B ．
5．函数y ＝(12)1－
x 的单调增区间为( A )
A ．(－∞，＋∞)
B ．(0，＋∞)
C ．(1，＋∞)
D ．(0,1)
[解析]设t ＝1－x ，则y ＝(12)t ，函数t ＝1－x 的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y ＝(1
2)1－x
的递增区间，故选A ．
6．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax ＋a 与y ＝a x 的图象大致是( B )
[解析]B 项中，由y ＝a x 的图象，知a >1，故直线y ＝ax ＋a 与y 轴的交点应在(0,1)之上，与x 轴交于点(－1,0)，其余各选项均矛盾．
二、填空题
7．若函数f (x )的定义域是⎝⎛⎭⎫
12，1，则函数f (2x )的定义域是__(－1,0)__. [解析]由1
2
<2x <1得－1<x <0.
8．在函数y ＝a x (a >0且a ≠1)中，若x ∈[1,2]时最大值比最小值大a 2，则a 的值为__12或3
2__.
[解析]当a >1时，有a 2－a ＝a 2，∴a 2－32a ＝0，∴a ＝3
2.
当0<a <1时，有a －a 2＝a 2，∴a 2－a
2＝0，
∴a ＝12.综上，a 的值为32或1
2
.
9．已知函数f (x )＝13x ＋1＋a 为奇函数，则a 的值为__－12__.
[解析]解法一：∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＋f (x )＝0，
即
1
3－x ＋1＋a ＋1
3x ＋1
＋a ＝0， ∴2a ＝－1
3x ＋1－1
3－x ＋1＝－3x ＋13x ＋1＝－1，∴a ＝－12.
解法二：f (0)＝130＋1＋a ＝1
2＋a ，
又f (0)＝0，∴a ＝－1
2.
三、解答题
10．比较下列各题中两个数的大小： (1)9.013.2,9.013.3； (2)9.01m,9.01－
m (m ∈R )．
[解析]函数f (x )＝9.01x 是增函数， (1)∵3.2<3.3，∴9.013.2<9.013.3.
(2)当m >－m 即m >0时，∴9.01m >9.01－m ； 当m ＝－m 即m ＝0时，∴9.01m ＝9.01－m ； 当m <－m 即m <0时，∴9.01m <9.01－m .
综上所得，当m >0时，9.01m >9.01－m ；当m ＝0时，9.01m ＝9.01－m ；当m <0时，9.01m <9.01
－m .
11．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－6x ＋17. (1)求此函数的定义域，值域； (2)确定函数的单调区间．
[解析](1)设u ＝x 2－6x ＋17，由于函数y ＝(1
2)u 及u ＝x 2－6x ＋17的定义域都是R ，故函数
y ＝(12)x 2－6x ＋17的定义域为R .因为u ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，又函数y ＝(12)u 在R 上单调递
减，所以(12)u ≤(12)8，又(12)u ＞0，故函数的值域为(0，1
256
]．
(2)函数u ＝x 2－6x ＋17在[3，＋∞)上是增函数，即对任意的x 1，x 2∈[3，＋∞)，且x 1＜x 2，有u 1＜u 2，从而(12)u 1＞(12)u 2，即y 1＞y 2，所以函数y ＝(12
)x 2－6x ＋
17在[3，＋∞)上是减函数，同理
可知y ＝(12)x 2－6x ＋
17在(－∞，3]上是增函数．所以，函数的单调递增区间为(－∞，3]，单调递
减区间为[3，＋∞)．
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x (x <4)
f (x －1)(x ≥4)，则f (5)的值为( C )
A ．32
B ．16
C ．8
D ．64
[解析]f (5)＝f (5－1)＝f (4)＝f (4－1)＝f (3)＝23＝8.
2．已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( D ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞b ＞a
D ．c ＞a ＞b
[解析]因为函数y ＝0.8x 是R 上的单调递减函数， 所以a ＞b .
又因为a ＝0.80.7＜0.80＝1，c ＝1.20.8＞1.20＝1， 所以c ＞a .故c ＞a ＞b . 3．(多选题)设函数f (x )＝a －|x |
(a >0，且a ≠1)，若f (2)＝4，则( AD )
A ．f (－2)>f (－1)
B ．f (－1)>f (－2)
C ．f (1)>f (2)
D ．f (－4)>f (3)
[解析]由f (2)＝a －2＝4得a ＝12，即f (x )＝(1
2)－|x |＝2|x |，故f (－2)>f (－1)，f (2)>f (1)，f (－4)＝
f (4)>f (3)，所以AD 正确．
4．(多选题)已知函数f (x )＝πx －π－
x 2，g (x )＝πx ＋π－
x
2，则f (x )，g (x )满足( ABD )
A ．f (－x )＋g (－x )＝g (x )－f (x )
B ．f (－2)<f (3)
C ．f (x )－g (x )＝π－
x D ．f (2x )＝2f (x )g (x )
[解析]A 正确，f (－x )＝π－x －πx 2＝－f (x )，g (－x )＝π－x ＋πx
2＝g (x )，所以f (－x )＋g (－x )＝g (x )
－f (x )；
B 正确，因为函数f (x )为增函数，所以f (－2)<f (3)；
C 不正确，f (x )－g (x )＝πx －π－x 2－πx ＋π－x 2＝－2π－x
2＝－π－x ；
D 正确，f (2x )＝π2x －π－2x 2＝2·πx －π－x 2·πx ＋π－x
2＝2f (x )g (x )．
二、填空题
5．已知2x ≤(14)x －3，则函数y ＝(12)x 的值域为__[1
4，＋∞)__.
[解析]由2x ≤(1
4)x －3，得2x ≤2－2x ＋6，
∴x ≤－2x ＋6，∴x ≤2.∴(12)x ≥(12)2＝1
4，
即y ＝(12)x 的值域为[1
4
，＋∞)．
6．(2019·某某第二外国语学校高一月考)若不等式(14)a 2－8>4－
2a 成立，则实数a 的取值X 围
为__－2<a <4__.
[解析]因为指数函数f (x )＝(14)x 为单调递减函数，且(14)a 2－8>4－2a ，即(14)a 2－8>(1
4)2a ，所以a 2
－8<2a ，即a 2－2a －8<0，解得－2<a <4，
故实数a 的取值X 围是－2<a <4.
7．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋1
2x ，则此函数的值域
为__[－14，1
4
]__.
[解析]设t ＝12x ，当x ≥0时，2x ≥1，所以0<t ≤1，y ＝－t 2＋t ＝－(t －12)2＋1
4，
所以0≤y ≤14，故当x ≥0时，f (x )∈[0，1
4]．
因为y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，
所以当x <0时，f (x )∈[－14，0)，故函数f (x )的值域是[－14，1
4]．
三、解答题
8．如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上的最大值为14，求a 的值． [解析]函数y ＝a 2x ＋2a x －1＝(a x ＋1)2－2，x ∈[－1,1]．若a >1，则x ＝1时，函数取最大值a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3.若0<a <1，则x ＝－1时，函数取最大值a －2＋2a －1－1＝14，解得
a ＝13.综上所述，a ＝3或13
. 9．已知函数f (x )＝2x ＋a
b ·2x ＋1是定义域为R 的奇函数．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)若存在x ∈[－2,2]使不等式f (m ·4x )＋f (1－2x ＋
1)≥0成立，求m 的最小值． [解析](1)∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1， 又f (－x )＝－f (x )，∴2－x －1
b ·2－x ＋1＝－2x －1
b ·2x ＋1， 即1－2x b ＋2x
＝－2x －1b ·2x ＋1，∴b ＝1，∴f (x )＝2x －1
2x ＋1. (2)∵f (x )＝2x －12x ＋1＝1－2
2x ＋1，
∴f (x )在[－2,2]上单调递增．
由f (m ·4x )≥－f (1－2x ＋1)＝f (2x ＋1－1)在[－2,2]上成立，可得m ·4x ≥2x ＋1－1在[－2,2]上有解，分离参数得m ≥2x ＋1－14x
＝2·12x －1
4
x 有解， 设t ＝12x ，t ∈[1
4，4]，则m ≥－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1有解，∴m ≥－8，故m 的最小值为－8.。