可测函数的收敛性

n n
所以{fn(x)}在R+上不依测度收敛于1，另外{fn}不几乎一致收敛于1
fn不几乎一致收敛于f
0, 可测子集e E, m e , 0, N 0, n N , x E e, 使 | f n ( x) f ( x) |

m( E[| f n f | ] ) 0
N 1 n N
关于N 单调减小
从而当mE 时， 0, 有
N
lim m( E[| f n f | ] ) m( lim （ E[| f n f | ]） ) m( E[| f n f | ] ) 0
⒉几种收敛的区别
（1）处处收敛但不依测度收敛
fn ( x) {
1 x(0,n] 0 x( n, )
n 1,2, 在R+上处处收敛于 f(x)=1 ,
n
说明：当n越大，取1的点越多，故{fn(x)}在R+上处处收敛于1
对0 1, 有 lim mE[| f n f | ] lim m(n， )
0, 可测子集e E, m e , 0, N 0, n N , x E e, 有 | f n ( x) f ( x) |
fn不几乎一致收敛于f
0, 可测子集e E, m e , 0, N 0, n N , x E e, 使 | f n ( x) f ( x) |
⑸依测度收敛: 记作 f n f于E
0, 有 lim mE[| f n f | ] 0
n
0, 0, N 0, n N , 有mE[| fn f | ]
注：从定义可看出，
几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零 测度集外） 依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收敛，其要 点在于误差超过σ的点所成的集的测度应随n趋于无穷 而趋于零，而不论点集的位置状态如何
*
n

f n f a.e.于E mE [ f n f ] 0 m( E[| f n f | 1 ] ) 0
k 1 N 1 n N
k



m( E[| f n f | 1 ] ) 0
N 1 n N
k


( 1 k) ( )

{x : f n ( x)不收敛于f ( x)}
k 1 N 1 n N
{x :| f n ( x) f ( x) | 1 k}
1 fn ( x)不收敛f ( x) : 1 1, N 1, n N , 使 | f ( x ) f ( x ) | n k k
从定义可看出几乎处处收敛强调的是在几乎处处收敛强调的是在点点上函数值的收敛除一零上函数值的收敛除一零测度集外测度集外依测度收敛并不依测度收敛并不指出函数列在哪个点上的收敛其要指出函数列在哪个点上的收敛其要点在于误差超过点在于误差超过的点所成的集的测度应随应随nn趋于无穷趋于无穷而趋于零而而趋于零而不论点集的位置状态不论点集的位置状态如何如何不依测度收敛不依测度收敛依测度收敛依测度收敛不收敛于使得几种收敛的区别几种收敛的区别说明
即：去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上仍不一致收敛
f n ( x, )
不几乎一致收敛于f(x)=1
1 1 0 , 可测子集 e E , m e , 2 2 0, N 0,
n N N , x ( E e) (n, n 1), 使 | f n ( x) f ( x) |
n N N n N N 1 n N



几乎处处收敛与依测度收敛（Lebesgue定理）
设mE<+∞，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，
若f n f a.e.于E ，则f n f 于E
证明：由引理知， 0, 有 lim m( E[| f n f | ] ) 0
说明：对任何x∈(0,1] , {fn(x)}有两个子列，一个恒为1， 一个恒为0，所以{fn(x)}在(0,1]上处处不收敛；
收敛的联系（叶果洛夫定理的引入）
1
0.8
fn(x)=xn
0.6 0.4
0.2
例：函数列fn(x)=xn 在(0,1)上处处收敛到 f(x)=0,但不一致收敛， 但去掉一小测度集合 (1-δ,1),在留下的集合 上一致收敛
即：去掉 任意 小 （适当小） 测度集，在留下的集合上仍不一致收敛
几乎一致收敛:记作 f n f a.u.于E (almost uniformly)
即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛
0, 可测子集e E, m e , 使得f n在E E e上一致收敛于 f
N n N

从而 lim m( E[| f N f | ] ) lim m( E[| f n f | ] ) 0
N N n N

所以f n f于E
0.8
0.2
0.4
0.6
1-δ
1
⑶几乎处处收敛: 记作 f f a.e.于E n everywhere）
(almost
E[ f n f ] 0
即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛
⑷几乎一致收敛:记作 f n f a.u.于E (almost uniformly)
即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛
第四章 可测函数
第二节 可测函数的收敛性
⒈函数列的几种收敛定义
⑴点点收敛: 记作 f n f于E
x E, 0, N x 0, n N x , 有 | f n ( x) f ( x) |
⑵一致收敛:
0, N 0, n N , x E, 有 | f n ( x) f ( x) |
引理：设mE<+∞，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，
若f n f a.e.于E ，则 0, 有 lim m( E[| fn f | ] ) 0
N n N

E[| f | ] ) 1 证明：由于 E E[| f | ] (n 为零测度集， 故不妨令 fn ，f在E上处处有限，从而有：
0.6 0.8 1
0.2
0.4
1-δ
⒊三种收敛的联系
⑴几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫定理）
设mE<+∞，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，
若f n f a.e.于E ，则f n f a.u.于E
（即：可测函数列的收敛 “基本上”是一致收敛）
mE[ f f n f a.e.于E 即：



lim f n ( x) f ( x) : 1 k 1, N 1, n N , 有 | f n ( x ) f ( x ) |
n
1 k

A {x : , 有x A }

A {x : , 使x A }
不依测度收敛
0, 使得mE 0 [| f n f | ]不收敛于 0, 0, N 0, n N , 使得mE[| fn f | ]
依测度收敛
0, 有 lim mE[| f n f | ] 0
n
0, 0, N 0, n N , 有mE[| fn f | ]
1
注：近似地说一致收敛是函数列 收敛慢的程度能有个控制 近似地说一致连续是函数图 象陡的程度能有个控制
0.8
0.6
fn(x)=xn
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
0.8
0.6
fn
(x)=xn
0.4
0.2
例：函数列 fn(x)=xn , n=1,2,… 在(0,1)上处处收敛到 f(x)=0,但不一致收敛， 但去掉一小测度集合 (1-δ,1),在留下的集合 上一致收敛
0, 可测子集e E, m e , 使得f n在E E e上一致收敛于 f
0, 可测子集e E, m e , 0, N 0, n N , x E e, 有 | f n ( x) f ( x) |
n
（2）依测度收敛但处处不收敛
f1
0 1 0
f2
½ 1 0 ½
f3
1
f4
0 1/4 ½ 3/4 1 0 1/4
f5
½ 3/4 1 0 1/4
f6
½ 3/4 1
f7
0 1/4 ½ 3/4 1
f8
0 1/8 1/4 ½ 1
依测度收敛但处处不收敛
⑵ 取E=(0,1], n=2k+i,0≤i<2k,k=0,1,2,3,…
令f n ( x) f 2k i ( x)
( , ] 2k 2k i i 1
( x), f ( x) 0,
则f n f于E
0 1, 有 lim mE[| f n f | ] lim m( 2ik , i2k1 ] lim 21k 0
n k k
f n f a.u.于E 即：
nf
]
0
即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛
即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛
{x : lim f n ( x) f ( x)} {x :| f n ( x) f ( x) | 1 k}
n k 1 N 1 n N