最新-2018高中数学 3-2第1课时一元二次不等式及其解法课件同步导学 新人教A版必修5 精品

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(4)原不等式可化为 x2－10x＋25≤0，即(x－5)2≤0，
故原不等式的解集为{x|x＝5}．
• 解关于x的不等式x2＋ax－2a2＜0.
• [规范作答] 原不等式可化为(x＋2a)(x－a)＜0 • 对应的一元二次方程的根为x1＝a，x2＝－2a，3分 • (1)当a＞0时，x1＞x2， • 不等式的解集为{x|－2a＜x＜a}.6分 • (2)当a＝0时，原不等式化为x2＜0，无解.8分 • (3)当a＜0时，x1＜x2， • 不等式的解集为{x|a＜x＜－2a}.10分 • 综上所述，原不等式的解集为： • a＞0时，{x|－2a＜x＜a} • a＝0时，∅ • a＜0时，{x|a＜x＜－2a}12分
• [题后感悟] 含参数的不等式的解题步骤为： • (1)将二次项系数转化为正数； • (2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去 此步)； • (3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了写 出解集还要分析根的大小)． • 另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0 ，这决定不等式是否为二次不等式．
B．2
• C．3
D．4
• 解析： ③④符合一元二次不等式的定义；对于①，当m ＋1＝0时，不是一元二次不等式；而②是指数不等式．
• 答案： B
• 2．不等式(x－2)(x＋3)＞0的解集是( ) • A．(－3,2) • B．(2，＋∞) • C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) • D．(－∞，－2)∪(3，＋∞) • 解析： 不等式(x－2)(x＋3)＞0的解集是(－∞，－3)∪(2， ＋∞)，故选C. • 答案： C
• 1.求下列不等式的解集． • (1)－2x2＋3x＋2<0；(2)－2x2＋x－6<0； • (3)4x2＋4x＋1>0；(4)x2＋25≤10x.
解析： (1)原不等式可化为 2x2－3x－2>0， ∵2x2－3x－2＝0 的两根是 x＝－12或 x＝2， ∴原不等式的解集为x|x>2或x<－12.
对应方程的两根为 x1＝2a，x2＝2.
①当 0＜a＜1 时，2a＞2，
所以原不等式的解集为xx＞2a或x＜2
；
②当 a＝1 时，2a＝2，
所以原不等式的解集为{x|x≠2}；
③当 a＞1 时，2a＜2，
所以原不等式的解集为xx＞2 或x＜2a. (ⅲ)当 a＜0 时，原不等式可化为(－ax＋2)(x－2)＜0，
对应方程的两根为 x1＝2a，x2＝2，
又 a＜0，所以原不等式的解集为x2a＜x＜2
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• 解一元二次不等式解集的一般步骤 • (1)化一元二次不等式为标准形式： • ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a>0)； • (2)求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对 应函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的简图； • (3)根据图象写出不等式的解集． • 当一元二次不等式为ax2＋bx＋c≥0或ax2＋bx＋c≤0时，要 注意解集的端点．
[解题过程] (1)由 x2－5x>6，得 x2－5x－6>0.
∵x2－5x－6＝0 的两根是 x＝－1 或 x＝6，
∴原不等式的解集为{x|x<－1 或 x>6}．
(2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，
∴x＝12.∴4x2－4x＋1≤0 的解集为xx＝12
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(3)由－x2＋7x>6，得 x2－7x＋6<0，
• 1．一元二次不等式 • 一般地，含有 一个 未知数，且未知数的最高次数为 2 的 不等式，叫做一元二次不等式．
• 2．一元二次不等式的解法
Δ＝b2－ 4ac ax2＋bx ＋c＝ 0(a>0)的解 集
(a>0)的 解集
Δ>0
Δ＝0
两个不相等实根 x1、x2
两个相等 的实根x1、
x2
{x|x<x1或x>x2}
• 3.2 一元二次不等式及其解法
• 第1课时 一元二次不等式及其解法
• 1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式的模型． • 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应二次函数、一 元二次方程的联系，会解一元二次不等式，会设计求解的程 序框图．
• 1.解简单的一元二次不等式是本课的热点． • 2.常以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题 中，属低、中档题．
•
1．一元一次不等式：ax＞b，当a＞0时，解集是
xx＞ba
；
当a＜0时，解集是
xx＜ba
；当a＝0，b＞0时，解集是 ∅
；当a＝0，b≤0时，解集是 R.
• 2．一位跳台滑雪运动员在90米级跳台滑雪比赛中想使自己 的飞行距离超过68.00米，若他以自身体重从起滑台起滑，经 助滑道于台端飞起时的初速度最快为110千米/小时，那么他能 否实现自己的目标呢？
xx≠－2ba
ax2＋bx ＋c<0 (a>0)
{x|x1<x<x2}
∅
的解集
Δ<0 没有实数 根ax2＋bx＋
c>0
R
∅
• 1．下列不等式中一元二次不等式的个数为( )
• ①(m＋1)x2－3x＋1＜0；②2x2－x＞2；
• ③－x2＋5x＋6≥0；④(x＋a)(x＋a＋1)＜0.
• A．1
• 3．设集合A＝{x|(x－1)2＜3x＋7}，则A∩Z中有______个元 素． • 解析： (x－1)2＜3x＋7⇔x2－5x－6＜0⇔－1＜x＜6， • ∴A＝{x|－1＜x＜6}，∴A∩Z＝{0,1,2,3,4,5}， • ∴A∩Z中有6个元素． • 答案： 6
• 4．解下列不等式： • (1)x2＋2x－15＞0；(2)x2＞2x－1；(3)x2＜2x－2. • 解析： (1)x2＋2x－15＞0⇔(x＋5)(x－3)＞0⇔x＜－5或x ＞3， • ∴不等式的解集是{x|x＜－5或x＞3}． • (2)x2＞2x－1⇔x2－2x＋1＞0⇔(x－1)2＞0⇔x≠1， • ∴不等式的解集是{x∈R|x≠1}． • (3)x2＜2x－2⇔x2－2x＋2＜0. • ∵Δ＝(－2)2－4×2＝－4＜0， • ∴方程x2－2x＋2＝0无解． • ∴不等式x2＜2x－2的解集是∅.
• 求下列一元二次不等式的解集． • (1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0； • (3)－x2＋7x>6；(4)－x2＋6x－9>0.
• 由题目可以获取以下主要信息： • ①(1)、(2)题二次项系数为正，(3)、(4)二次项系数 为负． • ②(1)、(3)题对应方程的判别式大于零．(2)、(4)题 对应方程的判别式等于零． • 解答本题可先将二次项系数化为正，再求对应方程 的根，并根据根的情况画出草图，观察图象写出解集 ．
◎解关于 x 的不等式xm－x3>1.
【错解】 原不等式可化为：
[ m－1x＋3 ]·(x－3)>0 当 m＝1 时，{x|x>3}；
当 m<1 时，x1－3 m<x<3
；
当 m>1 时，xx>3或x<－m－3 1 Nhomakorabea.
• 【错因】 解含参数的不等式，分类讨论不完整造成的
错误． 【正解】 当 m＝1 时，原不等式的解集为{x|x>3}；
当 m>1 时，原不等式的解集为xx>3或x<1－3 m
；
当 0<m<1 时，原不等式的解集为x3<x<1－3 m
；
当 m＝0 时，原不等式的解集为∅；
当 m<0 时，原不等式的解集为x1－3 m<x<3
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• 当0＜a＜1时，a＞a2， • 所以原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}； • 当a＝1时，a＝a2＝1， • 所以原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}； • 当a＞1时，a＜a2， • 所以原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}． • (2)(ⅰ)当a＝0时，原不等式可化为－2x＋4＞0，解得x＜2 ，所以原不等式的解集为{x|x＜2}； • (ⅱ)当a＞0时，原不等式可化为(ax－2)(x－2)＞0，
而 x2－7x＋6＝0 的两个根是 x＝1 或 x＝6.
∴不等式 x2－7x＋6<0 的解集为{x|1<x<6}．
• (4)原不等式可化为x2－6x＋9<0，即(x－3)2<0， • ∴原不等式的解集为∅. • [题后感悟] 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： • (1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系 数为正． • (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程 的判别式． • (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无 实根． • (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图 ． • (5)根据图象写出不等式的解集.
• 2.解关于x的不等式(a∈R)： • (1)x2－(a＋a2)x＋a3＞0； • (2)ax2－2(a＋1)x＋4＞0. • 解析： (1)原不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0可化为(x－a)(x－ a2)＞0. • 当a＜0时，a＜a2， • 所以原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}； • 当a＝0时，a＝a2＝0， • 所以原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
(2)原不等式可化为 2x2－x＋6>0， ∵方程 2x2－x＋6＝0 的判别式 Δ＝(－1)2－4×2×6<0， ∴函数 y＝2x2－x＋6 的图象开口向上，与 x 轴无交点．
∴观察图象可得，不等式的解集为 R. (3)因为 4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2>0，
所以原不等式的解集为xx≠－12