朴实无华陷无奈峰回路转显神奇——从一道高考试题谈与圆锥曲线焦点弦、离心率相关的一类问题

朴实无华陷无奈 峰回路转显神寄 一一从一迸高者试武袱与圆推曲饯焦卢弦、 喜。

牟
湘吴的一粪问武
¼\# （甘肃省兰州市第一中学）
年高考数学全国卷#理科第 题朴实无华， 似曾相
，
识， 平而不俗， 淡中出奇， 让许多考生措手不及 此题体现了高考以能力立意的命题意图， 对考生思维能力的考查较深入， 要
于是 ·
求考生在较短的时间内把握题目的考查意图， 作出抉择， 具有挑
战性， 是对考生数学素养和解题经验积累程度的考验 解法选择得好， 解决问题就事半功借 事实上， 许多考生考试中， 要么草草收兵缴械投降， 要么陷入繁杂的运算最终浪费了时间， 很可惜 抽样调查获得此题的难度系数仅为 ， 印证了这一点 由 可知与之相关参数正是 ， ， 且 ， 于 是 ，
· ，
所 以 （ ） · ，
这道题真有如此难吗？ 笔者对此做了仔细分析， 其实试题也并非
高不可攀 本题从学科整体的高度深化了对基础知识的考查， 进一步得 ·
有效地体现了注重基础、 突出重点、 适当整合的命题原则 又 由 及 易 解 得
一、 对本题解题思路的分析探讨
年高考数学全国卷#理科第 题原题如下： 思路 ： 思路 的方法固然不错， 但是并非通性通法， 因此出
题人的真正本意也一定不在这里， 那么本题到底要考查我们
已知双曲线 ：
（ ， ） 的 右 焦 点 为 ， 过 什么呢？ 或者好的解题途径是什么呢？ 随着新课程的逐步实施，
且 斜 率 为 的 直 线 交 于 、 两 点 若 ， 则 的 离心率为（ ） 高考越来越注重对数学思想和方法的考查， 着力体现“依纲据 本” 的命题思想， 贯彻“立足教材， 能力立意” 的命题原则 因
（ ） （ ）
（ ）
（ ）
此我们可否回归到圆锥曲线以及离心率的定义寻求解答呢？ 也
许这就是出题者的意图了 事实果然如此 “回归定义” 是一种重
关于本题我们可以从以下几个方面获得解题思路 思路 ： 代数方法 设过右焦点 且斜率为 的直线的方程为 ， 与双曲线的方程联立消去 ， 并设 、 的坐
要的解题手段， 解析几何具有“数形结合” 的显著特点， 巧妙 运用平面几何知识往往可以加快解题速度， 提高准确率 下面是运用双曲线的第二定义求离心率
标依次为（ ， ），（ ， ） 几何条件 转化为 ， 通过 如 图 ， 由
及 ' 消去 、 可以得到关于 的方程 不过由于对运算要求较高， 很难继续进行下去， 许多考生就是陷入繁杂运算而难以脱身的 可得 '
' 思路 ： 设出直线的参数方程可以化解思路 所遇到的困难 ，
设过右焦点 且斜率为 的直线方程为 （ 过 点 作 ' 于 点 ，
则 ' 因 为 ， º， 为参数）， 所以由 得 代入双曲线的方程 并整理， 得 即 所以 ，
（ ） ，
中国数学教育【200 年第 期」
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， fi # y 本解法运用双曲线的第二定义求离心率 ， 对几何关系的观察和沟通是解题的关键. 如此解题， 看似比较巧妙， 但回头细想， 仍然是通性通法的灵活运用 那么作为焦点弦问题， 若设出点 和点 的坐标， 由熟悉的焦半径公式求出 ， 能否解决本题呢？ 事实上这种方法， 渗透着方程的思想， 得到思路 思 路 ： 设 （ ， ） ， （ ， ） ， 则 ， ， 所 以 （ ） T 因为一 ～ 一 ～ ， 所 以 ＠ 于 是 ' ' . 在 A 中 ， L 8 . （ ） 当直线过右焦点时， 证法与上相同.
又由于 8 为直线与长轴的夹角， 所 以 8 3 . 故 8 （ ） 结论 ： （ ） 如图 ， 过双曲线
的焦点 作直线与双曲线中的一
由 T ＠ 得 （ ）， （ ）， 所 以 （ ） ＠. 支 交 于 、 两 点 ， 若 ， ，
且直线与实轴的夹角为 8， 双曲线的离 图
由已知直线的斜率为V 得 V ，
心 率 为 ， 则 有 8
（ ）
V （ ） 如图 ， 过双曲线
所以 （ ） （ ） ＠
由 ＠＠ 得 （ ） （ ） 所以
的焦点 作直线与双曲线的两支分别交
于 、 两 点 ， 若 ， ， 且直线与实轴的夹角为 8， 双曲线的离 图 思路 ： 本题也可运用极坐标系下的圆锥曲线极坐标方程来解 心率为 ， 则有 8 （ ） 由圆锥曲线的极坐标方程p
8 ， 可得 结论 ： 如图 ， 过抛物线
的焦点 作直线与抛物线交于 、 两
一～ º 而一 ～ 一 ～ ， 一～ º 点， 若 ， ， 且直线与抛物线的对称轴的夹角为 8， 则有 8 故 º . º 解之得
相信参与高中数学竞赛活动的学生会给出这样的解答 二、 对问题的一般性拓展 结论 和结论 的证明与结论 的 证明类似， 此处从略. 图 对于焦点在 轴上的圆锥曲线与过焦点的直线交于两点， 弦
被焦点分成的两段 、 与圆锥曲线的离心率 及直线和 轴的夹角 8 之间仍有上述关系成立， 此处不再赘述.
运用上述结论解答 年高考数学全国卷l 第 题如下： 根
据 一 ～ 一 ～ 可 制 ，
，
结论 ： 过椭圆 的焦点 作直线交椭圆于 、 则 8 （ 制 （ ）
两 点 ， 若 ， ， 直 线 与 长 轴 的 夹 角 为 8， 椭 圆 因 为 8 7 ， 所 以 ， 所 以 . 的离心率为 ， 则有 8 （ ） 本题的解法过程涉及许多数学思想和方法， 很好地考查了
证明： 如图 ， 设直线过椭圆的左焦 点， 过 、 作相应准线 的垂线 '和 ' '， '和 '为垂足. 过 作 '的垂线 与 ' 的延长线交于点 ， 则L 8. ' 由椭圆的定义可知 : ' : ' ， 图
所 以 ' ， ' .
学生在思维、 运算等方面的能力 在教学中， 教师要精探例题、 精讲例题， 让学生头脑中的典型例题少而精， 使他们在一道题上有不同的收益 教师要和学生一起对一些问题适当展开研究性学习， 以期用高效的例题研究带动高效的教学活动
【200 年第 期」 中国数学教育
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