基于R软件的材料弹性模量和硬度的数值分析

基于R软件的材料弹性模量和硬度的数值分析
摘要：在针对生物材料纳米硬度和弹性模量的测试实验中会产生大量的数据，实验所确定的加压时间（tj）、保压时间（tb）会对测试试样的弹性模量（Er）、硬度（H）的数值产生影响，所以在本文中主要论述了四者之间的关系，以确定弹性模量和硬度在不同实验条件下的影响作用。

关键词：弹性模量硬度R软件回归分析等值线图
Ｒ软件是一款免费、开源、强大的统计分析、具备及其完美的作图功能的统计分析软件，已得到越来越多人的关注与应用。

其统计分析过程常常被分解成一系列步骤，并且所有的中间结果都被保存在对象中，以便使用Ｒ里面的函数做进一步的分析。

以国外很多的统计和计量经济学研究人员以及实业界人士都选择Ｒ软件。

鉴于此，本文介绍了Ｒ软件在对生物材料进行纳米实验后测得的大量数据进行分析的应用范例。

1、统计描述
本次统计数据来源和意义
数据采集：根据实验数据，分别列出以下因素的实验数据：加压时间（tj）；保压时间（tb）；弹性模量（Er）；硬度（H）。

共9组实验数据如（表1）所示。

表1
1.1对象和方法
资料来源
利用纳米力学测试系统对蜣螂式样表皮测得硬度H和弹性模量Er，实验采取两种加载方式：三角形加载和梯形加载。

采用三角形加载方式，即无保压时间（tb=0），得到参考昆虫试样前足腿节表皮的约化模量；采用梯形加载形式，保压时间分别为20s，60s。

三角形加载和梯形加载的加载过程包括使用频率从10赫兹到200赫兹的平均接触力，即加载时间（tj）数值设定为5s、60s、100s。

压头在加载、卸载过程中保持匀速, 并在加载、卸载过程之间保压一段时间。

纳米硬度由纳米硬度计自动计算，根据接触深度和载荷-压痕深度曲线可以获得弹性模量（Er ）数值。

1.2数据结果
从数值大小看当保压时间逐步增大时，硬度值趋于平缓变化增加保压时间使得在开始卸载阶段前材料性能达到稳态阶段，也就是，使材料完成全部变形后再开始卸载，这样由卸载曲线得到的弹性模量和纳米硬度能够标示出材料的固有性质。

保压时间0s 时，弹性模量（Er ）数值最大，当保压时间继续增大到20s 和60s 时，弹性模量的变化较小。

第二个要考虑的因素是加载速率，即加载时间的变化。

当保压时间为0 s 时，对于不同的加载时间，其弹性模量变化较大，当加载时间较长时，弹性模量才趋于稳定，即受加载时间的影响较明显。

故四个因素之间均出现相互影响的关系，运用R 软件对数据进行分析。

2、单因素分析及多元线性回归 2.1 R 软件介绍
软件R 又称为R 语言。

R 语言自带许多功能强大的统计软件包。

除了一些常用的软件包如回归分析、方差分析等等以外，R 软件还包含统计领域中较新的研究成果。

2.2可视化分析
散点图：对于多个连续性变量，利用r 散点图以及散点图矩阵进行可视化如图1。

由图2可知弹性模量（Er ）与硬度（H
）相关性很高，为正相关。

这与实验结果相吻合，实验中对不同生物材料式样进行测试后发现弹性模量（Er ）与硬度（H ）对比之后可知弹性模量（Er ）高于其他材料时，
其硬度（H ）必高于其他材料。

如图3所示。

图1 散点图
图2 相关系数图
图3生物材料弹性模量（Er）与硬度（H）参考数值
2.3回归分析
当因变量为连续型变量时，用线性方程表达该因变量与一组自变量的数量关系的方法既是多元线性回归分析。

多元线性回归时因变量为连续变量时，探讨其影响因素的一般统计方法。

根据本次回归分析Estimate估值，Std. Error标准误差，t value T值，和Pr(>|t|) P值计算过程及结果为：
# linear models for H
lmgas<- lm(H~tj+tb+tj:tb,data=alldata)
#basic results from lm model
summary(lmgas)
可得到：
Call:
lm(formula = H ~ tj + tb + tj:tb, data = alldata)
Residuals:
1 2 3 4 5 6 7
0.0092491 0.0174799 -0.0024432 -0.0160934 -0.0209478 0.0006126 0.0082216
8 9
0.0001969 0.0037244
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 1.151e-01 1.295e-02 8.888 0.00030 ***
tj -8.769e-04 1.922e-04 -4.562 0.00604 **
tb -1.292e-03 3.548e-04 -3.643 0.01486 *
tj:tb 1.190e-05 5.264e-06 2.260 0.07337 .
---
Signif.codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 0.01534 on 5 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.8683, Adjusted R-squared: 0.7893
F-statistic: 10.99 on 3 and 5 DF, p-value: 0.0122
进而可知1.151e-01为常数项，又称截距；-8.769e-04、-1.292e-03、1.190e-05为偏回归系数或简称回归系数；残差为：0.01534。

其中，我们可以直接通过P值与我们预设的0.05进行比较，来判定对应的解释变量的显著性（我们检验的原假设是，该系数是否显著为0，P<0.05则拒绝原假设，即对应的变量显著不为0），我们可以看到F统计量的观测值为10.99，概率P值为0.0122，因给定显著性水平为0.05，则因概率P值小于0.05，通过显著性检验。

同时，tj的P值为0.00604，tb的P值为0.01486，一般以P < 0.05 为显著，P <0.01 为非常显著，其含义是样本间的差异由抽样误差所致的概率小于0.05 或0.01，故可知tj的显著性大于tb。

由上述内容可知道H ~ tj + tb + tj:tb的回归公式为：
H=0.1151-tj*0.0008769-tb*0.001292+（tj/tb）*0.0000119+0.01534
下面，我们看Multiple R-squared和Adjusted R-squared这两个值，其实我们常称之为“拟合优度”和“修正的拟合优度”，是指回归方程对样本的拟合程度几何，这里我们可以看到，修正的拟合优度=0.7893，也就表示拟合程度良好。

同理可得到弹性模量Er的线性回归分析模型及结果。

# linear models for Er
lmgas<- lm(Er~tj+tb+tj:tb,data=alldata)
#basic results from lm model
summary(lmgas)
运算结果为：
Call:
lm(formula = Er ~ tj + tb + tj:tb, data = alldata)
Residuals:
1 2 3 4 5 6 7
0.418263 -0.195160 0.176897 -0.370984 -0.316235 0.087219 0.150523
8 9
0.041614 0.007862
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 3.2532444 0.2707327 12.016 7.04e-05 ***
tj -0.0143014 0.0040173 -3.560 0.0162 *
tb -0.0215914 0.0074143 -2.912 0.0333 *
tj:tb 0.0002108 0.0001100 1.916 0.1136
---
Signif.codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 0.3206 on 5 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7927, Adjusted R-squared: 0.6684
F-statistic: 6.375 on 3 and 5 DF, p-value: 0.03676
可知3.2532444为常数项；-0.0143014、-0.0215914、0.0002108为偏回归系数或简称回归系数；残差为：0.3206，“拟合优度”Multiple R-squared和“修正的拟合优度”Adjusted R-squared这两个值，我们常称之为和是指回归方程对样本的拟合程度几何，这里我们可以看到，修正的拟合优度=0.6684，也就是大概拟合程度一般。

同时，tj的P值为0.0162，tb的P值为0.0333，可知tj的显著性大于tb。

综上所述Er ~ tj + tb + tj:tb的回归公式为：
Er=3.2532444-tj*0.0143014-tb*0.0215914+（tj/tb）*0.0002108+0.3206
2.4 等高线图分析
等高线图又称等值线图，是以相等数值点的连线表示连续分布且逐渐变化的数量特征的一种图型。

是用数值相等各点联成的曲线（即等值线）在平面上的投影来表示被分析元素的外形和大小的图。

基于minitab
软件，我们将加压时间（tj）、保压时间（tb）、弹性模量（Er）和硬度（H）的数值导入，绘制出等高线图进
等值线图分别简明地反映出弹性模量和硬度与保压时间和加压时间关系的特征。

3、总结
本文结合实例，介绍了Ｒ软件在线性分析中的具体应用，通过Ｒ软件的具体操作来实现多元数据分析，一方面可以加深对多元统计方法的理解，更好的掌握多元统计理论方法，同时还可以摆脱繁琐的计算，处理更多实际的多元数据分析。

通过应用R软件获得了散点图矩阵、相关系数图，显示出弹性模量（Er）与硬度（H）为正相关；通过回归分析我们认识到对于弹性模量（Er）与硬度（H），变量加压时间tj的显著性大于保压时间tb，同时分别获得了弹性模量（Er）与硬度（H）的回归公式；在文章最后，我们通过应用等值
线图分析分别绘制出了的受变量加压时间tj、保压时间tb的影响，对弹性模量（Er）与硬度（H）数值变化的概括图形。

参考文献：
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[2]王怀亮.Ｒ软件在对应分析中应用研究[J].现代商贸工业2011年第17期.
[3] 孙霁宇. 臭蜣螂表皮纳米力学测试方法和纳米力学行为[D].长春:吉林大学,2005.。