3.2.1 古典概型

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复习引入 1. 两个事件之间的关系包括包含事件、相等 事件、互斥事件、对立事件，事件之间的运算 包括和事件、积事件. 2. 概率的加法公式 若事件A与事件B互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B) . 3. 若事件A与事件B相互对立，则 P(A)+P(B)=1.
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考察两个试验:
P(“正面向上”)=P (“正面向下”)
P(“正面向上”)+P (“正面向下”)=1.
1 因此，P(“正面向上”)=P (“正面向下”)= . 2
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再看掷一枚质地均匀的骰子的试验:
P(“1点”)= P(“2点”)= P(“3点”)= P(“4点”) = P(“5点”)= P(“6点”).
+P(“6点”) 1 1 1 1 .
6 6 6 2
设事件A＝“出现偶数点”，则
3 A包含的基本事件的个数 P ( A) = = . 6 基本事件的总数
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对于古典概型，任何事件的概率为： P(A)= A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
在使用古典概型的概率公式时，应该注意: (1) 要判断该概率模型是不是古典概型； (2) 要找出随机事件A包含的基本事件的个数 和试验中基本事件的总数.
思考：抛掷两枚质地均匀的硬币，有哪几种 可能结果？连续抛掷三枚质地均匀的硬币，有 哪几种可能结果？ 抛两枚硬币有(正, 正)， (正, 反)， (反, 正)， (反, 反)共4(=22)种结果； 连续抛三枚硬币有(正, 正, 正)，(正, 正, 反)， (正 , 反 , 正 )， (反 , 正 , 正 )， (正 , 反 , 反 )， (反 , 正,反)，(反, 反, 正)，(反, 反, 反)等8(=23)种 2) 掷一枚质地均匀的骰子的试验 在试验(1)中，结果只有两个， 即 “正面向 上 ”或“反面向上”，它们都是随机事件； 在试验(2)中，所有试验结果只有6个，即 出 现“1点 ”“2点” “3点” “4点” “5点” 和 “6点”，它们也都是随机事件.
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例1 从字母 a，b，c，d 中任意取出两个不同 字母的试验中，有哪些基本事件？事件“取到 字母a”是哪些基本事件的和？ 分析：为了解基本事件，我们可以按照字典 排序的顺序，把所有可能的结果都列出来. 解：所求的基本事件共有6个： A={a，b}，B={a，c}，C={a，d}，D={b，c}， E={b，d}，F={c，d}； 事件“取到字母a” = A+B+C.
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我们把这类随机事件称为基本事件.
基本事件有如下特点：
(1) 任何两个基本事件是互斥的； (2) 任何事件 (除不可能事件) 都可以表示成 基本事件的和．
思考：在连续抛掷三枚质地均匀的硬币的 试验中，随机事件 “出现两次正面和一次反 面”， “至少出现两次正面”分别由哪些基 本事件组成？
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1点 2点 3点 4点 5点 6点
1点 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
2点 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
3点 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
4点 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
反复利用概率的加法公式，我们有
P(“1点”)+P(“2点”)+P(“3点”)+P(“4点”)
+P(“5点”)+P(“6点”)=P(“必然事件”)=1.
所以, P(“1点”)= P(“2点”)= P(“3点”)= 1 P(“4点”)= P(“5点”)= P(“6点”)= .
6
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进一步地，利用加法公式不可以计算这个 试验中任何一个事件的概率，例如, P(“出现偶数点”)=P(“2点”)+P(“4点”)
5点 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
6点 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
(2) 其中向上的点数之和是5的结果有如上的4种. 4 1 (3) 向上的点数之和是5的概率是 P ( A) 36 9
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例3 同时掷两个骰子，计算： (1) 一共有多少种不同的结果？ (2) 其中向上的点数之和是5的结果有多少种？ (3) 向上的点数之和是5的概率是多少？ 解：(1) 掷一个骰子的结果有6种. 我们把两个骰 子标上1, 2号以便区分，由于1号骰子的每一个结 果都可与2号骰子的任意一个结果配对，组成同时 掷两个骰子的一个结果，因此同时掷两个骰子的 结果共36种，如下图所示.
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探究：在标准化考试中既有单选题又有多选题， 多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有 正确的答案，同学们可能有一种感觉，如果不 知道正确答案，多选题更难猜对，这是为什么？
多选题答案有如下15种情况：(A),(B), (C)， (D)， (A，B)， (A，C)， (A，D)， (B，C)， (B，D)，(C，D), (A，B，C)，(A，B，D)， (A，C，D)， (B，C，D)，(A，B，C，D). 随机选对的概率是1/15=0.067, 比0.25小很多 .
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上述试验和例题的特点: (1) 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2) 每个基本事件出现的可能性相等．
具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型， 简称古典概型．
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思考：在古典概型中，基本事件出现的概率是 多少？随机事件出现的概率如何计算？ 先看掷一枚质地均匀的硬币的试验:
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例2 单选题是标准化考试中常用的题型，一般 是从A、B、C、D四个选项中选择一个准确答案. 如果考生掌握了考查的内容，他可以选择惟一 正确的答案. 假设考生不会做，他随机地选择一 个答案，问他答对的概率是多少？ 解 是一个古典概型，基本事件共有4个: 选择 A、选择B、选择C、选择D．“答对”的基本 事件个数是1个． 1 P(“答对”)= . 4