高考数学一轮总复习单元质检卷9解析几何新人教A版

单元质检卷九解析几何
(时间:120分钟满分:150分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.已知直线l经过点(1,1),且与直线2xy5=0垂直,则直线l的方程为()
A.2x+y1=0
B.x2y3=0
C.x+2y+1=0
D.2xy3=0
2.若P(0,1)为圆x2+2x+y215=0的弦MN的中点,则直线MN的方程为()
A.y=x+1
B.y=x+1
C.y=2x+1
D.y=2x+1
3.已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(2,0),且其离心率为,则椭圆C的标准方程为()
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
4.若圆C:(x2)2+(y1)2=4恰好被直线l:ax+by=1(a>0,b>0)平分,则的最小值为()
A.8
B.6
C.8
D.6
5.已知双曲线x2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且|AF1|=|BF1|,则|AB|=()
A.2
B.3
C.4
D.2+1
6.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F作倾斜角为60°的直线交抛物线于点A,B(点A位于x
轴上方),O是坐标原点,记△AOF和△BOF的面积分别为S1,S2,则=()
A.9
B.4
C.3
D.2
7.已知F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以F2为圆心,a为半径的圆与双曲线的
一条渐近线交于A,B两点,若|AB|>,则双曲线的离心率的取值范围是()
A. B.,+∞
C.(1,)
D.1,
8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线与坐标轴交于点M,P是抛物线C上的一点,且∠PFM 为钝角.若|PM|=,|PF|=4,则△PMF的面积是()
A. B.3
C. D.3
9.设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线C上一点P到x轴的距离为2a,∠F1PF2=120°,则双曲线C的离心率为()
A. B.1+
C.2+
D.4
10.已知抛物线y2=8x的焦点为F,经过点P(1,1)的直线l与该抛物线交于A,B两点,且点P恰为AB 的中点,则|AF|+|BF|=()
A.4
B.6
C.8
D.12
11.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A,B两
点,|AB|=8,过A,B两点分别作抛物线的切线,交于点Q.下列说法正确的是()
A.QA⊥QB
B.△AOB(O为坐标原点)的面积为4
C.=2
D.若M(1,1),P是抛物线上一动点,则|PM|+|PF|的最小值为
12.已知直线x2y+n=0(n≠0)与双曲线:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别相交于A,B两点,点P的坐标为(n,0),若|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是()
A. B.
C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点P在抛物线C上,PQ垂直l于点Q,QF与y轴交于点T,O为坐标原点,且|OT|=2,则|PF|= .
14.在平面直角坐标系中,直线mx+y2m2=0与圆C:(x1)2+(y4)2=9交于M,N两点,当△MNC的面积最大时,实数m的值为.
15.已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为.
16.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C交于A,B两点,满足AF1⊥AF2且|AF2|=2|AF1|,则tan∠BF2F1= .
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,S(t,4)为C上一点,直线l交C于M,N两点(与点S不重合).
(1)若l过点F且倾斜角为60°,|FM|=4(M在第一象限),求C的方程.
(2)若p=2,直线SM,SN分别与y轴交于A,B两点,且=8,判断直线l是否恒过定点?若是,求出该定点;若不是,请说明理由.
18.(12分)已知椭圆C1:=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=|AB|.
(1)求C1的离心率;
(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.
19.(12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,其离心率e=,点P是椭圆C上一动点,△PF1F2内切圆面积的最大值为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)直线PF1,PF2与椭圆C分别相交于点A,B,求证:为定值.
20.(12分)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为l,O为坐标原点,过F的直线m与抛物线E交于A,B两点,点A在第一象限,过F且与直线m垂直的直线n与准线l交于点M.
(1)若直线m的斜率为,求的值;
(2)设AB的中点为N,若O,M,N,F四点共圆,求直线m的方程.
21.(12分)如图,过椭圆E:+y2=1的左、右焦点F1,F2分别作直线l1,l2,交椭圆于A,B两点与C,D两点,且l1∥l2.
(1)求证:当直线l1的斜率k1与直线BC的斜率k2都存在时,k1k2为定值;
(2)求四边形ABCD面积的最大值.
22.(12分)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ.已知点M(2,0),且☉M与l相切.
(1)求C,☉M的方程;
(2)设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与☉M相切.判断直线A2A1与☉M的位置关系,并说
明理由.
答案：
单元质检卷九解析几何
1.C因为直线l与直线2xy5=0垂直,所以直线l的方程可设为x+2y+m=0,因为直线l经过点(1,1),所以1+2×(1)+m=0,解得m=1,则直线l的方程为x+2y+1=0,
故选C.
2.A圆x2+2x+y215=0的圆心为C(1,0),则CP⊥MN.
因为k CP==1,所以k MN=1,故直线MN的方程为y=x+1.
3.A由题意,c=2,又,所以a=4,所以b2=a2c2=12,
所以椭圆C的标准方程为=1.
故选A.
4.C由题意,圆心C(2,1)在直线l上,则有2a+b=1,所以=(2a+b)=+4≥2+4=8,当且仅当,即b=2a=时,取等号,所以的最小值为8.故选C.
5.C设双曲线的实半轴长为a,依题意可得a=1,由双曲线的定义可得
|AF2||AF1|=2a=2,|BF1||BF2|=2a=2,
又|AF1|=|BF1|,故|AF2||BF2|=4,
又|AB|=|AF2||BF2|,故|AB|=4.
6.C由题意,直线AB的方程为y=x,代入y2=2px,整理得x2px+p2=0.设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),因为点A位于x轴上方,解方程得x1=p,x2=p,所以=3.
故选C.
7.D焦点F2(c,0)到渐近线y=±x的距离为d==b,所以|AB|=2
因为|AB|>,即2,
所以9(a2b2)>c2,解得e2<
又e>1,所以1<e<
8.A设P(x0,y0),由抛物线的定义得|PF|=x0+=4,
∴x0=4=2p4=8pp2.
由|PM|=,M,0,得42+=23,
即16+8pp2=23,解得p=1或p=7.
又cos∠PFM=<0,
∴p=1,S△PMF=p×|y0|=故选A.
9.C设P为第一象限内的点,|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,可得mn=2a,在△PF1F2中,
可得4c2=m2+n22mn cos120°=m2+n2+mn=(mn)2+3mn,即为4c2=4a2+3mn,即mn=(c2a2),
又△PF1F2的面积为mn sin120°=(c2a2)2c×2a,化为c2a22ac=0,
所以e22e1=0,解得e=2+(负根舍去).
10.B抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=2,过点A,B,P作准线的垂线段,垂足分别为点M,N,R,因为点P恰为AB的中点,所以|PR|是直角梯形AMNB的中位线,故|AM|+|BN|=2|PR|.
由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|PR|=2|1(2)|=6.故选B.
11.A设A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线l过焦点F且倾斜角为,
所以由结论|AB|=|AF|+|BF|==4p=8,得p=2,所以y2=4x.
不妨设y1>0,当y>0时,y=2,y'=,所以过A的切线斜率为k A=y',
同理可得过B的切线斜率为k B=y'=
由结论x1x2=,得k A k B===1,
所以QA⊥QB,故A正确;
S△AOB==2,故B错误;
=1,故C错误:
设点M到准线的距离为d,M(1,1),则|PM|+|PF|≥d=1+=2,故D错误.故选A.
12.C由题意,双曲线的渐近线为y=±x,联立得A,联立
得B,所以AB的中点E,k AB=,k PE=,因为
|PA|=|PB|,所以k AB·k PE=1,即=2,2a2=3b2,
所以e=
13.5不妨设点P在第一象限,PQ与y轴交于点M,则易知△MQT∽△OFT,则,
又OF=MQ=1,OT=2,所以MT=2.所以点P,Q的纵坐标都为4,代入抛物线方程求得P(4,4),故PF=4+1=5.
14.1或由圆C:(x1)2+(y4)2=9,则圆心C(1,4),r=3,点C(1,4)到直线的距离d=,∵直线与圆C相交,∴0<d<r∴0<<3,解得m∈R.则|MN|=2=2,S△MNC=|MN|·d=,
设t=d2,则S△MNC=,当t=时,(S△MNC)max=,此时d2=,即,
∴7m2+8m+1=0,解得m=1或m=
15.x=∵PF⊥x轴,∴x P=x F=,将x P=代入y2=2px,得y=±p.不妨设点P在x轴的上方,则P,p,即|PF|=p.
如图,由条件得,
△PFO∽△QFP,
,即,
解得p=3.故C的准线方程为x=
16.如图,设|AF2|=2|AF1|=4.
又AF1⊥AF2,∴|F1F2|==2
设|BF1|=m,|BF2|=n,
则有|BF1|+|BF2|=|AF1|+|AF2|=2+4=6,即m+n=6.①
又在△BF1F2与Rt△BAF2中,cos B=,∴m2n2+4m+20=0.②
由①②解得m=1,n=5,
∴cos∠BF2F1=,sin∠BF2F1=,∴tan∠BF2F1=
17.解(1)抛物线C的焦点为F,0,因为l过点F且倾斜角为60°,所以l:y=x.由可得12x220px+3p2=0,解得x=p或x=
又M在第一象限,设M(x M,y M),所以x M=p.
因为|FM|=4,所以p+=4,解得p=2,
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)l过定点(4,4).
由已知得抛物线C为y2=4x,点S(4,4),设直线l的方程为x=my+n,点M,y1,N,y2, 将直线l的方程与抛物线C:y2=4x联立得y24my4n=0,
所以Δ=16m2+16n>0,y1+y2=4m,y1y2=4n.
直线SM的方程为y4=(x4),
令x=0求得点A的纵坐标为,
同理求得点B的纵坐标为
由=8,
化简得y1y2=4(y1+y2)+16,
则4n=16m+16,即n=4m4,
所以直线l的方程为x=my4m4,即x+4=m(y4),
所以直线l过定点(4,4).
18.解(1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=
不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为,;C,D的纵坐标分别为2c,2c, 故|AB|=,|CD|=4c.
由|CD|=|AB|得4c=,即3=222,
解得=2(舍去),所以C1的离心率为
(2)由(1)知a=2c,b=c,故C1:=1.
设M(x0,y0),则=1,=4cx0,
故=1.①
由于C2的准线为x=c,
所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,
故x0=5c,代入①得=1,
即c22c3=0,解得c=1(舍去),c=3.
所以C1的标准方程为=1,C2的标准方程为y2=12x.
19.(1)解由题意得△PF1F2内切圆半径r的最大值为,
椭圆C的标准方程为=1.
(2)证明设P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),
①当y0≠0时,设直线PF1,PF2的方程分别是x=m1y1,x=m2y+1,
由得(3+4)y26m1y9=0,Δ>0显然成立.∴y0y1=
∵x0=m1y01,∴m1=,
=,同理,由
可得=,=
②当y0=0时,直线PF1,PF2与x轴重合,易得=3+
综上所述,
20.解(1)如图,由抛物线y2=4x,得F(1,0),则直线m的方程为y=(x1),
联立
得3x210x+3=0,解得x1=,x2=3,
∵A在第一象限,∴x A=3,x B=,
则|AF|=3+1=4,|BF|=+1=,=3;
(2)设直线m的方程为x=ty+1,由题意可得t≠0,
否则,N与F重合,不存在O,M,N,F四点共圆.
把x=ty+1代入y2=4x,得y24ty4=0,Δ>0显然成立.设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=4t,y1y2=4.x1+x2==4t2+2,
∴N(2t2+1,2t).
∵直线m的斜率为,∴直线n的斜率为t,则直线n的方程为y=t(x1).
由
解得M(1,2t).
若O,M,N,F四点共圆,再结合FN⊥FM,得OM⊥ON,
则=1×(2t2+1)+2t×2t=2t21=0,解得t=±,∴直线m的方程为y=±(x1).
21.(1)证明设A(x1,y1),B(x2,y2),根据对称性,有C(x1,y1),
因为A(x1,y1),B(x2,y2)都在椭圆E上,
所以=1,=1,二式相减,得=0,
所以k1k2==为定值.
(2)解当l1的倾斜角为0°时,l1与l2重合,舍去.
当l1的倾斜角不为0时,由对称性得四边形ABCD为平行四边形,F1(,0), 设直线l1的方程为x=my,代入+y2=1,得(m2+4)y22ym1=0.
显然Δ>0,y1+y2=,y1·y2=
所以S△OAB=|y1y2|==2
设m2+1=t,则m2=t1,t∈[1,+∞).
所以
当且仅当t=,即m=±时取等号,所以(S△OAB)max=2=1.
所以平行四边形面积的最大值为(S▱ABCD)max=4·(S△OAB)=4.
22.解(1)由题意设抛物线的标准方程为y2=2px,p>0,
当x=1时,y2=2p,y=±
∵OP⊥OQ,=1,即2p=1,
∴抛物线的标准方程为y2=x,☉M的方程为(x2)2+y2=1.
(2)设A1(a2,a),A2(b2,b),A3(c2,c).
:ya=(xa2),
即x(a+b)y+ab=0,
∵直线A1A2与☉M相切,
=1.①
:ya=(xa2)⇒x(a+c)y+ac=0,
∵直线A1A3与☉M相切,=1.②
∴b,c是方程=1,
即(a21)x2+2axa2+3=0的两根.
又:x(b+c)y+bc=0,
∴圆心(2,0)到直线的距离d==1.∴d与☉M的半径相等,即直线A2A3与☉M相切.。