高中数学必修一第三章 函数的应用 3-2 函数模型及其应用课时提升作业及解析

高中数学必修1第三章函数的应用 3-2 函数模型及其应用课时提升作业(1)
几类不同增长的函数模型
(15分钟30分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.若x∈(0,1),则下列结论正确的是( )
A.2x>>lgx
B.2x>lgx>
C.>2x>lgx
D.lgx>>2x
【解析】选A.结合y=2x,y=,及y=lgx的图象易知当x∈(0,1)时,2x>>lgx. 【补偿训练】当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是( ) A.y=100x B.y=log100x
C.y=x100
D.y=100x
【解析】选 D.因为指数函数的增长是爆炸式增长,所以当x越来越大时,函数y=100x增长速度最快.
2.某工厂6年来生产甲种产品的情况是:前3年年产量的增大速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来生产甲种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象为( )
【解析】选A.由题意知前3年年产量增大速度越来越快,可知在单位时间内,C 的值增大的很快,从而可判定结果.
3.(2015·潍坊高一检测)在某种金属材料的耐高温实验中,温度y(℃)随着时间
t(分)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示,现给出下列说法,其中正确的是( )
①前5分钟温度增加越来越快;
②前5分钟温度增加越来越慢;
③5分钟后温度保持匀速增加;
④5分钟后温度保持不变.
A.①④
B.②④
C.②③
D.①③
【解析】选C.前5分钟,温度y随x增加而增加,增长速度越来越慢;5分钟后,温度y随x变化呈直线,即温度匀速增加.故说法②③正确.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第一年有100只,到第7年它们发展到只.
【解析】由x=1时,y=100,得a=100,把x=7代入,得y=100log28=300.
答案:300
5.已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y=a·0.5x+b,现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品产量为.
【解析】由题意得解得所以y=-2×0.5x+2,所以3月份产量为y=-2×0.53+2=1.75(万件).
答案:1.75万件
三、解答题
6.(10分)(2015·昆明高一检测)树林中有一种树木栽植五年后可成材.在栽植后五年内,年增加20%,如果不砍伐,从第六年到第十年,年增长10%,现有两种砍伐方案:
甲方案:栽植五年后不砍伐,等到十年后砍伐.
乙方案:栽植五年后砍伐重栽,再过五年再砍伐一次.
请计算后回答:十年内哪一个方案可以得到较多的木材?
【解题指南】栽植五年后不砍伐,等到十年后砍伐;或栽植五年后砍伐重栽,再过五年再砍伐一次,按这两种情形分别计算木材量进行比较即可.
【解析】设树林中这种数木的最初栽植量为a(a>0),甲方案在10年后树木产量为y1=a(1+20%)5(1+10%)5=a≈4a.
乙方案在10年后树木产量为:
y2=2a(1+20%)5=2a×1.25≈4.98a.
y1-y2=4a-4.98a<0,因此,乙方案能获得更多的木材(不考虑最初的树苗成本,只按成材的树木计算).
(15分钟30分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·滁州高一检测)某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是( )
【解析】选D.设该林区的森林原有蓄积量为a(a>0),由题意可得ax=a(1+0.104)y,故y=log1.104x(x≥1),函数为对数函数,所以函数y=f(x)的图象大致为D中图象.
【补偿训练】如图,△ABC为等腰直角三角形,直线l与AB相交且l
⊥AB,直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y,点
A到直线l的距离为x,则y=f(x)的图象大致为四个选项中的
( )
【解析】选C.设AB=a,则y=a2-x2=-x2+a2,其图象为抛物线的一段,开口向下,顶点在y轴上方.
2.(2015·天津高一检测)某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情况是( )
A.增加7.84%
B.减少7.84%
C.减少9.5%
D.不增不减
【解析】选B.设该商品原价为a,四年后价格为a(1+0.2)2(1-0.2)2=0.9216a,所以(1-0.9216)a=0.0784a=7.84%a,即比原来减少了7.84%.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.一种专门侵占内存的计算机病毒,开机时占据内存2KB,然后每3分钟自身复制
一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机后经过分钟,该病毒占据64MB内存(1MB=210KB).
【解析】设过n个3分钟后,该病毒占据64MB内存,
则2×2n=64×210=216,
所以n=15,故时间为15×3=45(分钟).
答案:45
【补偿训练】(2015·泰安高一检测)某产品计划每年成本降低p%,若三年后成本为a元,则现在成本为.
【解析】设现在成本为m元,则m(1-p%)3=a,
所以m=.
答案:
4.以下是三个变量y1,y2,y3随变量x变化的函数值表:
其中关于x呈指数函数变化的函数是.
【解析】从题表格可以看出,三个变量y1,y2,y3都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y1的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y1呈指数函数变化,故填y1.
答案:y1
三、解答题
5.(10分)(2015·嘉兴高一检测)某地区为响应上级号召,在2015年初,新建了一批有200万平方米的廉价住房,供困难的城市居民居住.由于下半年受物价的影响,根据本地区的实际情况,估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.
(1)经过x年后,该地区的廉价住房为y万平方米,求y=f的表达式,并求此函数的定义域.
(2)作出函数y=f的图象,并结合图象求:经过多少年后,该地区的廉价住房能达到300万平方米?
【解析】(1)经过1年后,廉价住房面积为200+200×5%=200(1+5%);经过2年后为200(1+5%)2;
…
经过x年后,廉价住房面积为200(1+5%)x,
所以y=f(x)=200(1+5%)x(x∈N*).
(2)作函数y=f(x)=200(1+5%)x(x≥0,x∈N*)的图象,如图所示.
作直线y=300,与函数y=200(1+5%)x的图象交于A点,则A(x0,300),A点的横坐标x0的值就是函数值y=300时所经过的时间x的值.因为8<x0<9,则取x0=9,即经过9年后,该地区的廉价住房能达到300万平方米.
课时提升作业(2)
一次函数、二次函数、幂函数模型的应用举例
(25分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.随着海拔高度的升高,大气压强下降,空气中的含氧量也随之下降,且含氧量y(g/m2)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系.当x=36kPa时,y=108g/m3,则y与x的函数解析式为( )
A.y=3x(x≥0)
B.y=3x
C.y=x(x≥0)
D.y=x
【解析】选A.由题意设y=kx(k≠0),将(36,108)代入解析式可得k=3,故y=3x,考虑到含氧量不能为负数,所以x≥0.
【补偿训练】一个矩形的周长是40,则矩形的长y关于宽x的函数解析式为
( ) A.y=20-x(0<x<10) B.y=20-2x(0<x<20)
C.y=40-x(0<x<10)
D.y=40-2x(0<x<20)
【解析】选A.因为矩形的周长是40,所以2x+2y=40,则y=20-x(0<x<10).
2.(2015·重庆高一检测)甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( )
A.甲比乙先出发
B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人速度相同
D.甲先到达终点
【解析】选D.由图象可知甲、乙两人一起出发,甲的速度比乙的速度快,甲先到达终点.
3.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为( )
A.45.606万元
B.45.6万元
C.45.56万元
D.45.51万元
【解析】选 B.依题意可设甲销售x辆,则乙销售(15-x)辆,所以总利润S=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30(x≥0,且x∈N),所以当x=10时,S 有最大值为45.6(万元).
【补偿训练】某电子产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数解析式为y=-3x2+120x,要使利润获得最大值,则产量应为件.
【解析】由二次函数关系式y=-3x2+120x=-3(x-20)2+1200可知当x=20时y取得最大值.
答案:20
4.(2015·绍兴高一检测)某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为:
y=
其中,x代表拟录用人数,y代表面试人数.若应聘的面试人数为60,则该公司拟录用人数为( )
A.15
B.40
C.25
D.130
【解析】选C.令y=60,若4x=60,则x=15>10,不合题意;若2x+10=60,则x=25,满足题意;若1.5x=60,则x=40<100,不合题意.故拟录用人数为25.
【补偿训练】国家对出书所得稿费纳税进行如下规定:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税;超过4000元的按全稿酬的11%纳税.某人出版了一书共纳税420元,则这个人的稿费为( )
A.3818元
B.5600元
C.3800元
D.3000元
【解析】选C.设稿费为x元时,纳税y元,则由题意得
y=
=
由0.14x-112=420,解得x=3800.
由0.11x=420,解得x=3818(舍去).
5.(2015·衡阳高一检测)“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概.当弓箭手以每秒a米的速度从地面垂直向上射箭时,t秒后的高度x米可由x=at-5t2确定.已知射出2秒后箭离地面高100米,则弓箭能达到的最大高度为( )
A.160米
B.170米
C.180米
D.190米
【解析】选C.由x=at-5t2且t=2时,x=100,解得a=60.所以x=60t-5t2.
由x=-5t2+60t=-5(t-6)2+180,
知当t=6时,x取得最大值为180,
即弓箭能达到的最大高度为180米.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.6万元,但每生产100台时,又需可变成本(即另增加投入)0.25万元,市场对该机器的需求量为1000台,销售
收入(单位:万元)函数为:R(x)=5x-x2(0≤x≤10),其中x是产品的数量(单位:百台),则利润表示为产量的函数为.
【解析】由题意得总成本为0.6+0.25x,从而利润为
f(x)=5x-x2-(0.6+0.25x)=-x2+4.75x-0.6(0≤x≤10).
答案:f(x)=-x2+4.75x-0.6(0≤x≤10)
7.(2015·漳州高一检测)为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒,已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系为y=(a为常数)其图象如图.根据图中提供的信息,则从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)之间的解析式为.
【解析】设0≤t≤时,y=kt,将(0.1,1)代入得k=10,当t>时,又将(0.1,1)代
入y=中,得a=,所以y=
答案:y=
8.某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路.该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差.如果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据对市场进行抽样调查显示:每付出100元的广告费,所得的销售额是1000元.问该企业应该投入元广告费,才能获得最大的广告效应.
【解析】设销售额为y元,广告费为x元,因为销售额与广告费的算术平方根成正比,得y=k,依题意,得1000=k,得k=100,
所以广告效应f(x)=100-x=-(-50)2+2500,
所以当x=2500时,f(x)max=2500.
答案:2500
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2015·衡阳高一检测)为了保护学生的视力,课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的.研究表明:假设课桌的高度为ycm,椅子的高度为xcm,则y应是x的一次函数,下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度:
(1)请你确定y与x的函数解析式(不必写出x的取值范围).
(2)现有一把高42.0cm的椅子和一张高78.2cm的课桌,它们是否配套?为什么? 【解析】(1)根据题意,课桌高度y是椅子高度x的一次函数,故可设函数解析式为y=kx+b(k≠0).将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式,
得所以所以y与x的函数解析式是y=1.6x+11. (2)把x=42代入(1)中所求的函数解析式中,有y=1.6×42+11=78.2.
所以给出的这套桌椅是配套的.
10.(2015·龙岩高一检测)某家庭拟进行理财投资,根据预测,投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比.其关系如图(1);投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比,其关系如图(2).(注:收益与投资额单位均为万元)
(1)分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系.
(2)该家庭现有20万元资金,拟全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?
【解析】(1)设投资债券类产品的函数关系为f(x)=k1x,投资股票类产品的函数关系为g(x)=k2,
所以f(1)==k1,g(1)==k2,
即f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).
(2)设投资债券类产品x万元.则投资股票类产品(20-x)万元.
依题意得:y=f(x)+g(20-x)=+(0≤x≤20),令t=(0≤t≤2),
则y=+=-(t-2)2+3,
所以当t=2,即x=16万元时,收益最大,y max=3万元.
答:投资债券类产品16万元,则投资股票类产品4万元时,收益最大,为3万元.【补偿训练】某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)满足关系y=-x+120.
(1)销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?
(2)若该商场获得利润不低于500元,试确定销售单价x的范围.
【解题指南】(1)确定销售利润,利用配方法求最值.
(2)利用该商场获得利润不低于500元,建立不等式,即可确定销售单价x的范围.
【解析】(1)由题意,销售利润为
W=(-x+120)(x-60)
=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900,
因为试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,
则-(x-90)2+900≤0.45×60(-x+120),
所以60<x≤87,
所以当x=87时,利润最大,最大利润是891元.
(2)因为该商场获得利润不低于500元,
所以(x-60)(-x+120)≥500,
所以70≤x≤110,
由(1)知60<x≤87,所以70≤x≤87,
所以70≤x≤87时,该商场获得利润不低于500元.
答:(1)当x=87时,利润最大,最大利润是891元.
(2)该商场获得利润不低于500元,销售单价x的范围为[70,87].
(20分钟40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·鄂州高一检测)某车站有快慢两种列车,始发站距终点站7.2km,慢车到达终点站需16min,快车比慢车晚发车3min,且匀速行驶10min后到达终点站,则快车所行驶路程y关于慢车行驶时间x的函数解析式是( )
A.y=
B.y=
C.y=
D.y=
【解析】选C.x的取值范围为[0,16],当0≤x≤3时,快车还未发车,3<x≤13时,快车的速度0.72千米每分钟,y=0.72(x-3),13<x≤16时,快车已到达终点站,y 始终不变为7.2.故函数解析式为
y=
【补偿训练】已知A,B两地相距150千米,某人开汽车以60千米每小时的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50千米每小时的速度返回A地,则汽车离开A地的距离x关于时间t(小时)的函数解析式是( )
A.x=60
B.x=60t+50t
C.x=
D.x=
【解析】选D.显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的,故应分三段表示函数,选D.
2.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足的函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次实验的数据,根据函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )
A.3.50分钟
B.3.75分钟
C.4.00分钟
D.4.25分钟
【解析】选B.由图形可知,三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数p=at2+bt+c
的图象上,所以解得a=-0.2,b=1.5,c=-2,所以
p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2+,因为t>0,所以当t==3.75时,p取最大值,故此时的t=3.75分钟为最佳加工时间.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.某电脑公司2014年的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为400万元,占全
年经营总收入的40%.该公司预计2016年经营总收入要达到1690万元,且计划从2014年到2016年每年经营总收入的年增长率相同,则2015年预计经营总收入为万元.
【解析】设从2014年到2016年每年经营总收入的年增长率为x.
由题意,得2014年经营总收入为=1000(万元),
则有1000(1+x)2=1690.解得x=0.3,
故2015年预计经营总收入为1000(1+0.3)=1300(万元).
答案:1300
4.(2015·安阳高一检测)将进货单价为8元/个的商品按10元/个销售时,每天可卖出100个,若此商品的销售单价每上涨1元,日销量就减少10个,为了获取最大利润,此商品的销售单价应定为.
【解析】设销售单价应再涨x元/个,则实际销售单价为(10+x)元,此时日销售量为(100-10x)个,每个商品的利润为(10+x)-8=(2+x)(元),
所以总利润y=(2+x)(100-10x)=-10x2+80x+200=-10(x-4)2+360(0≤x<10,且x∈N),
所以当x=4时,y有最大值,此时单价为14元/个.
答案:14元/个
【误区警示】此题易对每件商品的利润理解出现失误,应为提高后的单价减去进货单价,每件商品的利润与日销量的乘积,即为每日获得的利润.
【补偿训练】某机床总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系为y=x2-75x,若每台机器售价为25
万元,则该厂获利润最大时应生产机器台数为.
【解析】设生产x台,则利润f(x)=-x2+100x
=-(x-50)2+2500,
则当x=50时利润最大.
答案:50
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.某汽车公司拥有汽车100辆,当每辆汽车的月租金为3000元时,可全部租出;当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的汽车将会增加1辆,租出的汽车每辆每月需要维护费150元,未租出的汽车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆汽车的月租金定为3600元时,能租出多少辆汽车?
(2)当每辆汽车的月租金定为多少时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
【解析】(1)当每辆汽车租金为3600元时,未租出的汽车数为=12,所以此时租出了88辆汽车.
(2)设每辆汽车的月租金定为x元,则公司月收益为
f(x)=(x-150)-×50,整理得
f(x)=-(x-4050)2+307050(x>3000),
所以当x=4050时,月收益最大,最大为307050元.
答:当每辆汽车的月租金定为4050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是307050元.
6.(2015·韶关高一检测)某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产,已知投资生产这两种产品的有关数据如下:
其中年固定成本与生产的件数无关,a为常数,且4≤a≤8.另外年销售x件乙产品时需上交0.05x2的特别关税.
(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1,y2与生产相应产品的件数x之间的函数解析式.
(2)分别求出投资生产这两种产品的最大利润.
(3)如何决定投资可获得最大年利润.
【解析】(1)根据题意,y1=(10-a)x-30,0≤x≤200,x∈N,
y2=10x-50-0.05x2,0≤x≤120,x∈N.
(2)因为4≤a≤8,所以10-a>0,故y1=(10-a)x-30,0≤x≤200,x∈N为定义域上的增函数,所以x=200时,y1取得最大值1970-200a.y2=10x-50-0.05x2,0≤x≤120,x ∈N则x=100时,y2取得最大值450.
(3)令1970-200a=450,解得a=7.6,所以4≤a<7.6时,投资甲产品;当7.6<a≤8时,投资乙产品;当a=7.6时,投资甲产品、乙产品均可.
课时提升作业(3)
指数型、对数型函数模型的应用举例
(25分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.某林场计划第一年造林10000亩,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林
( ) A.14400亩 B.172800亩
C.17280亩
D.20736亩
【解析】选C.设第x年造林y亩,则y=10000(1+20%)x-1,所以x=4时,y=10000×
1.23=17280(亩).
2.(2015·四平高一检测)某化工厂2014年的12月份的产量是1月份产量的n 倍,则该化工厂这一年的月平均增长率是( )
A. B. C.-1 D.-1
【解析】选D.设月平均增长率为x,第一个月的产量为a,则有a(1+x)11=na,所以1+x=,所以x=-1.
3.(2015·长沙高一检测)在一次教学实验中,运用图形计算器采集到如下一组数据:
则x,y的函数关系与下列各类函数中最接近的是(其中a,b为待定系数)
( ) A.y=a+ B.y=a+bx
C.y=a+log b x
D.y=a·b x
【解析】选D.因为f(0)=1,所以A.y=a+,C.y=a+log b x不符合题意.
先求y=a+bx,由得所以y=1+1.02x,当x=-2时,1+1.02×(-2)=-1.04,不满足题意,选项B错误.
下面求y=a·b x,由得
所以y=2.02x,满足题意,选项D正确.
4.某地区植被被破坏,土地沙漠化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A.y=0.2x
B.y=
C.y=
D.y=0.2+log16x
【解题指南】利用所给函数,分别令x=1,2,3,计算相应的函数值,即可求得结论. 【解析】选C.对于A,x=1,2时,符合题意,x=3时,y=0.6,与0.76相差0.16;
对于B,x=1时,y=0.3;x=2时,y=0.8;x=3时,y=1.5,相差较大,不符合题意;
对于C,x=1,2时,符合题意,x=3时,y=0.8,与0.76相差0.04,与A比较,更符合题意;
对于D,x=1时,y=0.2;x=2时,y=0.45;x=3时,y<0.6,相差较大,不符合题意.
5.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如表:
则下面的函数关系式中,能表达这种关系的是( )
A.y=2x-1
B.y=x2-1
C.y=2x-1
D.y=1.5x2-2.5x+2
【解析】选D.画散点图或代入数值,选择拟合效果最好的函数,可知应选D.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2015·镇江高一检测)某细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个),则这种细菌由一个繁殖成4096个需要经过小时.
【解析】设共分裂了x次,则有2x=4096,即2x=212,所以x=12.所用的时间为15分钟×12=180分钟=3小时.
答案:3
7.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数t=-144lg
中,t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间,N表示每分钟打出的字数.则当N=40时,t= .(已知lg5≈0.699,lg3≈0.477)
【解析】当N=40时,则t=-144lg
=-144lg
=-144(lg5-2lg3)≈36.72.
答案:36.72
8.(2015·扬州高一检测)现测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:y=x2+1;乙:y=3x-1.若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用作为拟合模型较好.(填“甲”或“乙”)
【解析】图象法,即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象如图所示,比较发现选甲更好.
答案:甲
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.某种新式杀菌剂,每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的60%,要使该物质上的细菌少于原来的0.1%,则至少要喷洒多少次?(lg2≈0.3010)
【解析】设喷洒x次,该物质上原有细菌为a,则a(1-60%)x<0.1%·a,即(1-60%)x<0.1%,xlg0.4<lg10-3,解得x>=≈7.5,故至少要喷洒8次.
10.某工厂今年1月,2月,3月,4月生产某种产品分别为1万件,1.2万件,1.3万件,1.37万件,为了以后估计每个月的产量,以1,2两个月的产品数据为依据.用一个函数模型模拟产品的月产量y与月份数x的关系,模拟函数可选用f(x)=-0.05x2+qx+r或g(x)=a·0.5x+c,其中q,r,a,c为常数,请问用上述哪个函数作为模拟函数较好?说明理由.
【解析】用g(x)=a·0.5x+c作为模拟函数较好,理由如下:
f(x)=-0.05x2+qx+r由f(1)=1,f(2)=1.2得
q=0.35,r=0.7,f(3)=1.3,f(4)=1.3;而对于
g(x)=a·0.5x+c,
由g(1)=1,g(2)=1.2,得a=-0.8,c=1.4,g(3)=1.3,g(4)=1.35,所以用g(x)=a·0.5x+c作为模拟函数较好.
【拓展延伸】函数建模的基本思想
(20分钟40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·舟山高一检测)若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩留量为y,则x,y的函数关系是( )
A.y=
B.y=
C.y=
D.y=1-(0.0424
【解析】选A.设镭一年放射掉其质量的t%,则有95.76%=1·(1-t%)100,
t%=1-,所以y=(1-t%)x=(0.9576.
2.一种放射性元素,每年的衰减率是8%,那么a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于( )
A.lg
B.lg
C.
D.
【解析】选C.由题意得a(1-8%)t=,
所以0.92t=0.5.两边取对数得lg0.92t=lg0.5,
所以tlg0.92=lg0.5.故t=.
【误区警示】解答本题容易因忽视利用两边取对数的方法求出t的值而致误.另外对数的运算性质应用不当也易导致出错.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·鹰潭高一检测)在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v=2000·ln.当燃料质量是火箭质量的倍时,火箭的最大速度可达12000米/秒.
【解析】当v=12000时,2000·ln=12000,
所以ln=6,所以=e6-1.
答案:e6-1
【补偿训练】用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是.
【解题指南】先将污垢原量视为单位1,再把洗x次后污垢含量表示出来,列出不等式,最后解不等式求出.
【解析】选B.设要洗x次,则≤,所以x≥
≈3.32,因此至少要洗4次.
答案:4
4.(2015·邵武高一检测)如图所示,某池塘中浮萍蔓延
的面积y(m2)与时间t(月)的关系y=a t,有以下几种说法:
①这个指数函数的底数为2;
②第5个月时,浮萍面积就会超过
30m2;
③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月;
④浮萍每月增加的面积都相等.
其中正确的命题序号是.
【解析】由图象知,t=2时,y=4,
所以a2=4,故a=2,①正确.
当t=5时,y=25=32>30,②正确,
当y=4时,由4=知t1=2,
当y=12时,由12=知t2=log212=2+log23.
t2-t1=log23≠1.5,故③错误;
浮萍每月增长的面积不相等,实际上增长速度越来越快,④错误.
答案:①②
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比.
(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?
【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1),则a(1-x)10=a,即(1-x)10=,
解得x=1-.
(2)设经过m年,森林剩余面积为原来的,则
a(1-x)m=a,即=,=,解得m=5,故到今年为止,已砍伐了5年.
【延伸探究】本题条件不变的情况下,问今后最多还能砍伐多少年?
【解析】设从今年开始,以后砍n年,则n年后森林剩余面积为a(1-x)n.令
a(1-x)n≥a,即(1-x)n≥,可得≥,≤,解得n≤15,故今后最多还能砍伐15年.
6.(2015·十堰高一检测)某地区大力加强对环境污染的治理力度,使地区环境污染指数逐年下降,自2010年开始,连续6年检测得到的数据如表:
根据这些数据,建立适当的函数模型,预测2021年的环境污染指数.(精确到0.1)(参考数据:0.83=0.512,0.84=0.410,0.85=0.328,0.810=0.107)
【解析】设年份为变量x,且2010年为0,2011年为1,…,2015年为5,环境污染指数为y.作出年份x与环境污染指数y的散点图(略).
由散点图可设函数模型为y=a·b x.
取(0,2.000),(5,0.655)代入得
所以
所以函数模型为y=2×0.8x.
令x=11,得y=2×0.811≈0.2.
故预测2021年该地区的环境污染指数约为0.2.。