【高考二轮课程】数学文科 全国通用版 第12讲 圆锥曲线 教案

高考二轮复习第12讲圆锥曲线
一、高考回顾
近几年对圆锥曲线的考查，一般是一大一小。

小题往往考查几何性质，如离心率。

大题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，此类题综合性比较强，难度也较大。

近年来命题难度有下降趋势。

学生需要对本
二、知识清单
1.思维导图
2.知识再现
定义
平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和为定值（大于
2
1F F )的点的轨
迹
a MF MF 221=+ 平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值为定值（小于
2
1F F )的点的轨迹
a MF MF 221=-
平面内与一个定点的
距离等于其到一条定直线的点的轨迹（定点不在直线上）
标准方程
()0122
2
2>>=+b a b
y a x 122
2
2=-b
y a x (0>a ，0>b )
()022>=p px y
图形
顶点坐标 ()0,a ±,()b ±,0
()0,a ±
()0,0
对称轴
x 轴，长轴长为a 2
y 轴，短轴长为b 2
x 轴，实轴长为a 2
y 轴，虚轴长为b 2
x 轴
焦点坐标 (c ±,0)
22
c a b =- (c ±,0)
c =
22b a +
⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,2p F 焦距
2c
2c
核心方法
思维特征
动点（x,y ）
方程F(x,y)=0
椭圆概念图象性质
双曲线概念图象性质
抛物线概念图象性质
核心知识
圆锥曲线 利用几何方法研究性质
利用代数方程研究性质
利用向量方法研究性质
图象语言
符号化语言
描述性语言
思维载体
三、例题精讲
题型一 求曲线的方程
例1 已知定点()0,3-G ，S 是圆()723:
22=+-y x C （C 为圆心）上的动点，SG 的垂直平分线与SC
交于点E ，设点E 的轨迹为M . 求M 的方程. 【答案】见解析 【解析】由题意知
ES EG =，所以26=+=+EC ES EC EG ,又因为266<=GC .所以点E
的轨迹是以G ，C 为焦点，长轴长为26
的椭圆，动点E 的轨迹方程为
19
182
2=+y x . 例2 （2019全国1）已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若
22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为
A ．2212
x y +=
B ．22132x y +=
C ．22143x y +=
D ．22154
x y +=
【答案】 B
2x =，则22AF x =，所以23BF AB x ==.
由椭圆定义122BF BF a +=，即42x a =.
又
1224AF AF a x +==，22AF x =，所以12AF x =.
因此点A 为椭圆的上顶点，设其坐标为
()0,b .
由
222AF BF =可得点B 的坐标为3,2
2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭
.
因为点B 在椭圆()22
2210x y a b a b +=>>上，所以291144
a +=.
解得2
3a =.又1c =，所以2
2b =.所以椭圆方程为22
132
x y +=.故选B . 【易错点】没有利用椭圆的定义得出
12
AF AF =,进而没有得到
A ，
B 的位置.
【思维点拨】求解曲线方程，首先要先看焦点在哪个轴上，再根据曲线的定义得出一些关系式，最后根据题中条件得出所要求解的量.
例3 如图，矩形ABCD 中， ()()()()2,0,2,0,2,2,2,2A B C D -- 且,AM AD DN DC λλ==uuuu v uuu v uuu v uuu v
,
[]0,1,AN λ∈交BM 于点Q .若点Q 的轨迹是曲线P 的一部分，曲线P 关于x 轴、y 轴、原点都对称,求
曲线P 的轨迹方程.
【答案】Q 的轨迹为第二象限的14
椭圆，由对称性可知曲线P 的轨迹方程为2214x y +=. 【解析】设(),Q x y ，由,AM AD DN DC λλ==uuuu v uuu v uuu v uuu v
,求得()()2,2,42,2M N λλ--,
∵1,22
QA AN
QB BM k k k k λλ====-,∴11224QA QB k k λλ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭, ∴1224
y y x x ⋅=-+-，整理得()2
2120,014x y x y +=-≤≤≤≤. 可知点Q 的轨迹为第二象限的14
椭圆，由对称性可知曲线P 的轨迹方程为
2
214x y +=. 【易错点】求轨迹问题学生容易忽视范围 【思维点拨】高考中常见的求轨迹方程的方法有:
1.直译法与定义法：直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐标的关系式,化简; 定义法求轨迹方程:轨迹方程问题中,若能得到与所学过的圆锥曲线定义相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程.
2.相关点法：找动点之间的转化关系（平移，伸缩，中点，垂直等），用要求的代替已知轨迹的，代入化简
3.参数法：可用联立求得参数方程，消参.注意此种问题通常范围有限制.
4.交轨法：联立求交点，变形的轨迹. 题型二 最值（范围）问题
例1 已知F 为抛物线C ：x y 42=的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则DE AB +的最小值为（ ）
A . 16
B . 14
C . 12
D . 10 【答案】A
【解析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为()11y k x =-，联立方程
()
2
14 1y x y k x ==-⎧⎪⎨⎪⎩，得2222
111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=- 212
124k k +=， 同理直线2l 与抛物线的交点满足：2
2342
2
24
k x x k ++=， 由抛物线定义可知12342AB DE x x x x p +=++++
=22122222121224244448816k k k k k k ++++=++≥=， 当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号.
【易错点】本题考查抛物线的焦点弦长,利用抛物线的焦点弦长公式,表示出DE AB +,然后利用基本不等式求最值.对相关流程应有所熟练
例2 （2019全国II ）已知12,F F 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标
原点．
（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；
（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围. 【答案】见解析
【解析】（1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，
1290F PF ∠=︒，2PF c =
，1PF =，
于是1221)a PF PF c =+=，故C
的离心率是1c
e a
=
=. （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在当且仅当1||2162y c ⋅=，1y y
x c x c
⋅=-+-，22221x y a b +=，
即||16c y =，①
222x y c +=，②
22
221x y a b
+=，③ 由②③及2
2
2
a b c =+得42
2b y c =，又由①知22
216y c
=，故4b =.
由②③得()22
22
2a x c b c
=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=
故a ≥
当4b =
，a ≥时，存在满足条件的点P . 所以4b =，a
的取值范围为)+∞.
【思维点拨】 圆锥曲线中的取值范围问题常用的方法有以下几个：
(1)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系； (2)利用基本不等式求出参数的取值范围；
(3)利用函数的值域的求法（甚至求导），确定参数的取值范围． 题型三 定点定值与存在性问题
例1 （2019北京）已知椭圆22
22:1x y C a b
+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点． 【答案】见解析
【解析】（I ）由题意得，b 2=1，c =1．所以a 2=b 2+c 2=2．
所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=．
（Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则直线AP 的方程为11
1
1y y x x -=
+． 令y =0，得点M 的横坐标111M x x y =-
-．又11y kx t =+，从而1
1|||
|1
M x OM x kx t ==+-． 同理，2
2||||1x ON kx t =+-．由22,
1
2
y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=． 则122412kt x x k +=-+，2122
22
12t x x k
-=+． 所以12
12|||||
|||11
x x OM ON kx t kx t ⋅=⋅+-+-()122
21212||(1)(1)x x k x x k t x x t =+-++-
22
22
2
22
22
12|
|224(1)()(1)1212t k t kt k k t t k k
-+=-⋅+-⋅-+-++12|
|1t
t
+=-． 又||||2OM ON ⋅=，所以12|
|21t
t
+=-． 解得t =0，所以直线l 为y kx =，所以直线l 恒过定点（0，0）．
【思维点拨】解析几何是高考必考内容之一，在命题时多从考查各种圆锥曲线方程中的基本量关系及运算，在直线与圆锥曲线关系中.一般用方程的思想和函数的观点来解决问题，并会结合中点坐标，方程根与函数关系来求解.
例2 (2019全国III ）已知曲线C ：y =2
2
x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为
A ，
B .
（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，
5
2
)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程. 【答案】（1）1(0,)2. (2) 2
2542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭或2
2
52
2x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛
⎫-
⎪⎝⎭
，则2112x y =.
由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11
11
2y x x t
+
=- ，整理得112 2 +1=0. tx y -
设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -.
故直线AB 的方程为2210tx y -+=.所以直线AB 过定点1(0,)2
. （2）由（1）得直线AB 的方程为12
y tx =+
. 由2
122
y tx x y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2
210x tx --=.于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+.
设M 为线段AB 的中点，则2
1,2M t t ⎛⎫+
⎪⎝
⎭
. 由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2
,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()
220t t t +-=.解得t =0或1t =±.
当t =0时，||EM u u u u r =2，所求圆的方程为2
2542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；
当1t =±
时，||EM =u u u u r 2
2
522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝
⎭.
【易错点】定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果（取特殊位置或特殊值），
因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
【思维点拨】定点、定值问题通常先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．在求解中通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.
四、成果巩固
题型一 求曲线的方程
1.（2019全国II ）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−.记M 的轨迹
为曲线C .
（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .
（i ）证明：是直角三角形； （ii ）求面积的最大值. 【答案】见解析
【解析】（1）由题设得
，化简得，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．
（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为．
1
2
PQG △PQG △1222
y y x x ⋅=-+-22
1(||2)42x y x +=≠(0)y kx k =>
由得
记，则．
于是直线的斜率为
，方程为． 由得．①
设，则和是方程①的解，故，由此得． 从而直线的斜率为． 所以，即是直角三角形．
（ii ）由（i ）得
，
所以△PQG 的面积． 设t =k +
，则由k
>0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为． 因此，△PQG 面积的最大值为．
2.已知动圆G 过定点()4,0F ，且在y 轴上截得的弦长为8.求动圆G 的圆心点G 的轨迹方程；
22142
y kx
x y =⎧⎪
⎨+
=⎪⎩x =u =
(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --QG 2k ()2
k
y x u =-22
(),2142
k y x u x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22222
(2)280k x uk x k u +-+-=(,)G G G x y u -G x 22(32)2G u k x k +=+32
2G uk y k
=+PG 3
22
2
12(32)2uk uk k u k k
u
k -+=-+-+PQ PG ⊥PQG △||2PQ =||PG =2
222
1
8()
18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k
++===++++‖1
k
2
812t S t =
+16
9
16
9
【答案】28y x =
【解析】设动圆圆心(),G x y ，设圆交y 轴于,M N 两点，连接,GF GM ， 则GF GM =，过点G 作GH MN ⊥，则点H 是MN 的中点， 显
然
()
2
222
4,4GM x GF x y =
+=
-+，于是
()
2
22244x y x -+=+，
化简整理得28y x =，故的轨迹方程为28y x =.
3.已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．
（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ∥；
（2）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（1）见解析； （2）12-=x y ．
【解析】由题设)0,2
1
(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且
22111(,),(,),(,),(,),(,)222222
a b a b A a B b P a Q b R +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x .
（1）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则
22
2111k b a
ab
a a
b a b a a b a k =-=-==--=+-=
.所以FQ AR ∥. （2）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则1111
,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S -=
-=--=△△. 由题设可得
2
21211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x .
设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(1
2≠-=+x x y
b a . 而
y b
a =+2
，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y .
题型二 最值（范围）问题
1. (2018浙江)已知点(0,1)P ，椭圆22
4
x y m +=(1m >)上两点A ，B 满足2AP PB =u u u r u u u r ，则当m =___时，点B 横坐标的绝对值最大．
【答案】5
【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =u u u r u u u r ，得12
12
212(1)x x y y -=⎧⎨-=-⎩，
即122x x =-，1232y y =-．因为点A ，B 在椭圆上，所以2
22
22
222
4(3)4
4
x x m x y m
⎧+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得21344y m =+，所以
2
222221591(32)(5)444244
x m y m m m =--=-+-=--+≤，
所以当5m =时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2．
2.（2018浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：2
4y x =上存在不同的两点A ，B
满足PA ，PB 的中点均在C 上．
(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；
(2)若P 是半椭圆2
2
14
y x +=(0x <)上的动点，求PAB ∆面积的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2
）4
． 【解析】(1)设00(,)P x y ，211(,)4y A y ，2
2
2(,)4
y B y ．
因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程
2
21014()422
y x y y ++=⋅即2210100280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=．因此，PM 垂直于y 轴． (2)由(1)可知1202
1200
28y y y y y x y +=⎧⎨
=-⎩所以22
21200013||()384PM y y x y x =+-=-
，12||y y -= 因此，PAB ∆
的面积3
2212001||||4)2PAB
S PM y y y x ∆=⋅-=-． 因为2
200
14
y x +
=0(0)x <，所以22
00004444[4,5]y x x x -=--+∈． 因此，PAB ∆
面积的取值范围是4
．
题型三 定点定值与存在性问题
1.已知12,F F 分别是椭圆22
22:1(0)x y
E a b a b
+=>>的左、右焦点，离心率为12， ,M N 分别是椭圆的上、
下顶点， 22•2MF NF =-u u u u v u u u u v
.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）若直线y kx m =+与椭圆E 交于相异两点,A B ，且满足直线,MA MB 的斜率之积为
1
4
，证明：直线AB 恒过定点，并求定点的坐标.
【答案】（1）22
143
x y +=（2）直线AB
恒过定点(0,.
【解析】（1）由题知()0,2c F ，()b M ,0，()b N -,0，22222-=-=⋅∴b c NF MF ① 由2
1
==
a c e ，得c a 2= ② 又222c
b a =- ③ 由①②③联立解得：42
=a ，32
=b ∴椭圆E 的方程为13
42
2=+y x . （2）证明：由椭圆E 的方程得，上顶点()
3,0M ， 设()11,y x A ，()22,y x B ，由题意知，01≠x ，02≠x
由⎪⎩⎪
⎨⎧=++=13422y x m
kx y 得：()()034843222=-+++m kmx x k
∴2
21438k
km
x x +-=+，()
22214334k m x x +-=， 又111133x m kx x y k MA -+=-=
，2
22233x m kx x y k MB -+=
-=， 由4
1
=
⋅NB MA k k ，得()()
2121334x x m kx m kx =-+-+， ()()
()()()(
)
04334834143422
22=+-+--+--k m km m k k m ，
化简得：06332=+-m m 解得：3=
m 或32=m ，结合01≠x ，02≠x 知32=m ，
即直线AB 恒过定点()
32,0.
2.（2018北京）已知抛物线C ：2
2y px =经过点(1,2)P ．过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． (1)求直线l 的斜率的取值范围；
(2)设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r ，求证：11
λμ
+为定值．
【答案】（1）l 斜率的取值范围是(,3)(3,0)(0,1)-∞--U U （2）2. 【解析】(1)因为抛物线2
2y px =经过点(1,2)P ，
所以42p =，解得2p =，所以抛物线的方程为2
4y x =．
由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为1y kx =+（0k ≠）．
由241
y x y kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=． 依题意2
2
(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得0k <或01k <<． 又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1,2)-．从而3k ≠-． 所以直线l 斜率的取值范围是(,3)(3,0)(0,1)-∞--U U ．
(2)设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由(1)知12224k x x k -+=-
，12
2
1
x x k =．直线PA 的方程为1122(1)1y y x x --=--． 令0x =，得点M 的纵坐标为111121
2211
M y kx y x x -+-+=
+=+--． 同理得点N 的纵坐标为221
21
N kx y x -+=
+-．由=QM QO λuuu r uuu r ，=QN QO μuuu r uuu r 得=1M y λ-，1N y μ=-． 所以1212121212112()1111111(1)(1)1M N x x x x x x y y k x k x k x x λμ---++=+=+=⋅-----222
2241=211
k k k k k -+=⋅-． 所以1
1
λ
μ
+
为定值．
3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>
的离心率e =
C 上的点 到(0,2)Q 的距离的最大值为3． （1）求椭圆C 的方程；
（2）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y += 相交于不同的两点
,A B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理
由．
【答案】（1） 2
213
x y += （2）见解析
【解析】（1
）由2223c e c a a =
=⇒=，所以22221
3
b a
c a =-= 设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点，则22221x y a b
+=，所以22222
2(1)3y x a a y b =-=-
||PQ ===
所以，当1y =-时，||PQ
3=
，可得a =
1,b c ==故椭圆C 的方程为：2
213
x y += （2）存在点M 满足要求，使OAB ∆得面积最大．
假设直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同两点,A B , 则圆心O 到l
的距离1d =
<，∴221m n +> ①
因为(,)M m n 在椭圆C 上，所以2
213m n +=
②，由①②得：203m <„
∵||AB ==
所以1||2OAB
S AB d =⋅=V 2213
m n =-代入上式
得21213OAB
S m ∆==+„，当且仅当22231(0,3]32m m =⇒=∈，
∴2231
,22
m n =
=
，此时满足要求的点(22M ±±有四个． 此时对应的OAB ∆的面积为
1
2
． 4.已知过抛物线()022>=p px y 的焦点F
，斜率为的直线交抛物线于()()()112212,,,A x y B x y x x < 两点，且6AB =.
（1）求该抛物线E 的方程；
（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线E 于点,C D 和,M N .设线段,CD MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点.
【答案】（1）24y x = （2）直线PQ 恒过定点()3,0. 【解析】（1）抛物线的焦点,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭，∴直线AB 的方程为：
2p y x ⎫=-⎪⎭
联立方程组22{ 2y px
p y x =⎫=-⎪
⎭，消元得： 2
2
204p x px -+=， ∴2
12122,4
p x x p x x +==
∴
6AB ===，解得2p =±.
∵0p >，∴抛物线E 的方程为：24y x =.
（2）设,C D 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则点P 的坐标为1212,2
2x x y y ++⎛⎫
⎪⎝⎭..
由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠. 由()
24{
1y x y k x ==-，得()
2222240k x k x k -++=.
()
24224416160k k k ∆=+-=+>
因为直线1l 与曲线E 于,C D 两点，所以()121212
244
2,2x x y y k x x k k
+=++=+-=. 所以点P 的坐标为2
221,k k ⎛
⎫+
⎪⎝⎭
. 由题知，直线2l 的斜率为1
k
-
，同理可得点Q 的坐标为()
212,2k k +-. 当1k ≠±时，有222112k k
+≠+，此时直线PQ 的斜率2
222221112PQ k
k k k k k k
+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为()
2
2
2121k y k x k k
+=---，整理得()230yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点()3,0；
当1k
=±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0.
综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0.
五、课堂小结
1.圆锥曲线中要注意椭圆、双曲线、抛物线的定义在解题中的应用，这三个定义的应用主要体现在两个方面，一个是根据定义判断曲线的类型，为求曲线的方程做铺垫；二是在已知曲线类型的情况下，利用定义可将曲线上的点到焦点的距离进行转化，为问题的解决带来新的方向和思路
2.高考中常见的求轨迹方程的方法有:1）直译法与定义法 2）相关点法 3）参数法 4）交轨法。

其中平面几何（如相似，中垂线等）知识经常利用，最后得结果时常需注意变量()
y x 或范围
曲线的离心率e 与c b a ,,中任意两者进行转化（转为齐次式，同除以2a ）（椭圆中222c b a +=，双曲线中
222b a c +=）应熟悉；有时亦结合渐近线考察；应对倾斜角共焦点，共离心率方程的设法熟悉；双曲线焦
点到渐近线距离为b ，顶点到渐近线距离为为
c
ab
e b = 3.与焦点、准线有关的问题一般与拋物线的定义有关，解决此类问题要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）点到准线距离转为该点到焦点的距离；(2)点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决。

有时需要与联立方程结合应用。

过焦点的弦问题应熟练掌握（其结论经常考察，不妨自行推导） 4.联立方程求解弦长，中点问题步骤如下：
1）设直线（n my x m kx y +=+=或，根据具体情况（需两个交点与直线过哪个轴的点）选择，一般过y 轴上的点设为前者） 2）联立方程，0＞∆ 3）设点，韦达定理
4）具体求解如中点，弦长，垂直（斜率或向量求解）等问题
5.点差法步骤：设()()()002211,,,,,y x M y x B y x A 中点，代入，作差，化简。

椭圆的结论：22
00a b k x y AB -=⋅;
双曲线结论：22
00a
b k x y AB =⋅；抛物线p k y AB ±=⋅0（对应px y 22±=），0x k p AB ±=⋅（对应py x 22±=）。

点差法问题需要验证有两交点（如椭圆用中点在内部验证）。

点差法常见题型为中点相关问题
6.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前可求该值的结果（取特殊位置或特殊值），因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
7.取值范围问题常用联立方程，求出其（比如面积）表达式（含参数）。

然后利用换元法，不等式求解；或利用函数性质求解（复杂函数需求导）。