江西省2020届高三数学二轮复习 精品测试卷 第6讲解析几何 文

第六讲（文科） 测试卷
一.选择题(本大题10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)
1.已知1F ,2F 是定点,12||8F F =,动点M 满足12||||8MF MF +=,则点M 的轨迹是( ). A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
2.由直线2+=x y 上的点向圆()()22
421x y -++= 引切线，则切线长的最小值为( )
A ．30
B ．31
C ．24
D ．33
3.若双曲线
2
2
2
95
1x
y p
-
=的左焦点在抛物线22(0)y px p =>的准线上,则p 的值为( ).
A.3
B.4
C.6
D.4.“0ab <”是方程“22ax by c +=表示双曲线”的( ).
A.必要而不充分条件
B.充分而不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.设O 为坐标原点,F 为抛物线2
4y x =的焦点,A 为抛物线上一点,若4OA AF ⋅=-u u u r u u u r ,则点
A 的坐标为( ).
A.(2,±
B.(1,2)±
C.(1,2)
D.
6.若椭圆22
11612
x y +=上一点P 到两焦点12F F 、的距离之差为2,则12PF F ∆是( ).
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
7.已知点P 是椭圆
222
2
1(0,0)x y a
b
a b xy +
=>>≠上的动点,1(,0)F c -、2(,0)F c 为椭圆的左、
右焦点,O 为坐标原点,若M 是12F PF ∠的角平分线上的一点,且1F M MP ⊥,则OM 的取值范围是( ).
A.(0,)c
B.(0,)a
C.(,)b a
D.(,)c a 8.直线l 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ,且与抛物线交于P 、Q 两点,由P 、Q 分别向准线引垂线PR 、QS ,垂足分别为R 、S .如果||,||PF a QF b ==,M 为RS 的中点,则||MF 为( ).
A.a b +
B.1
2()a b + C.ab
9.已知椭圆
222
2
1(0)x y a
b
a b +
=>>,1F 、2F 为左、右焦点,B 为短轴的一个端点,O 为中心,E
为OB 的中点,若12F E F B ⊥,则椭圆的离心率是( ).
A.1
3 B.
3
C.
3
D.23
10. 在抛物线2
5(0)y x ax a ==-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆
22
5536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为( )
A ．(2,9)--
B ．(0,5)-
C ．(2,9)-
D ．(1,6)-
二.填空题(本大题5个小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上)
11.若椭圆22149
x y m +=+的离心率1
2e =,则m 的值为________.
12.已知抛物线24y x =的焦点为F ,且抛物线与240x y +-=交于A 、B 两点,则
||||FA FB +=_____.
13.已知P 是椭圆22
12516
x y +=上异于长轴端点的点，12F F 、是椭圆的焦点，I 是12PF F ∆的
内心，PI 的延长线交12F F 于点B ，则||:||PI IB =________. 14.已知双曲线
2
2
16
9
1x
y
-
=的左、右焦点分别为1F 、2F ,过右焦点2F 的直线l 交双曲线的右
支于A 、B 两点,若||5AB =,则1ABF ∆的周长为________.
15.过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 作直线l ，交抛物线于A 、B 两点，交其准线于C 点，
若3CB BF =u u u r u u u r
，则直线l 的斜率为___________．
三.解答题(本大题6个小题,共75分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分12分)已知O 为平面直角坐标系的原点，过点(2,0)M -的直线l 与圆
221x y +=交于P Q 、两点．
（Ⅰ）若1
2
OP OQ ⋅=-u u u r u u u r ，求直线l 的方程；
（Ⅱ）若OMP ∆与OPQ ∆的面积相等，求直线l 的斜率． 17.(本小题满分12分)已知1F 、2F 是椭圆
222
2
21(0)x
y b
b
b +
=>的左、右焦点,M 为x 轴上方
的椭圆上一点,2MF 垂直于x 轴,过2F 且与OM 垂直的直线交椭圆于P 、Q 两点,若
||PQ =求椭圆的标准方程.
18.(本小题满分12分)2010年10月1日18时59分57秒“嫦娥二号”探月卫星由长征三号丙运载火箭送入近地点高度约200公里、远地点高度约38万公里的直接奔月椭圆(地球球心O 为一个焦点)轨道Ⅰ飞行.当卫星到达月球附近的特定位置时,实施近月制动及轨道调整,卫星变轨进入远月面100公里、近月面15公里(月球球心F 为一个焦点)的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,之后卫星再次择机变轨进入以F 为圆心、距月面100公里的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,并开展相关技术试验和科学探测.已知地球半径约为6370公里,月球半径约为1730公里. ⑴比较椭圆轨道Ⅰ与椭圆轨道Ⅱ的离心率的大小； ⑵以F 为右焦点,求椭圆轨道Ⅱ的标准方程.
19.(本小题满分12分)已知直线1l ：1y kx =-与双曲线221x y -=的左支交于A 、B 两点. ⑴求斜率k 的取值范围；
⑵若直线2l 经过点(2,0)P -及线段AB 的中点Q ,且2l 在y 轴上截距为16-,求直线1l 的方程.
20.(本小题满分13分) 已知B 是椭圆E: 22
221x y a b
+=(0)a b >>上的一点，F 是椭圆右
焦点，
且BF x ⊥轴，3
(1,)2
B . （Ⅰ）求椭圆Ｅ的方程.
（Ⅱ）设1A 和2A 是长轴的两个端点，直线l 垂直于1A 2A 的延长线于点Ｄ， 4OD =,Ｐ是l 上异于点Ｄ的任意一点，直线1A Ｐ交椭圆E 于M （不同于1A 、2A ）， 设
λ=22A M A P ⋅u u u u u r u u u u r
，求λ的取值范围.[
21．(本小题满分14分)如图，已知抛物线:C 2
2(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F .⊙M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为3π
的直线n ,交l 于点A , 交⊙M 于另一点B ,且2AO OB ==. （Ⅰ）求⊙M 和抛物线C 的方程；
（Ⅱ）若P 为抛物线C 上的动点,求PM PF ⋅u u u u r u u u r
的最小值；
（Ⅲ）过l 上的动点Q 向⊙M 作切线,切点为,S T ,
求证：直线ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标.
第六讲（文科） 测试卷
一、 1~5 D B C A B 6~10 B A D C C 提示：
1. ∵1212||||8||MF MF F F +==,∴点M 在线段12F F 上运动.
2. 切线长的长短由该点到圆心的距离来确定.即圆心()4,2-到直线2+=x y 的最短距离
.
d =
=
=
3.
依题意,得2
p =-
,解得6p =,选C.
4. 当0c =时,虽然0ab <,但是方程22ax by c +=不表示双曲线.若22ax by c +=表示双曲线,则方程化为
2
2
1c c a
b
x
y
+
=,∴
c a
与
c b
异号,即
0c c
a b
⋅<,故0ab <.∴“0ab <”是“方程
22ax by c +=表示双曲线”的必要而不充分条件.
5. 依题意(1,0)F ,设2
4(,)t
A t ,则2
224244416
(,)(1,)4t t t t
OA AF t t t ⋅=⋅--=--=-u u u r u u u r ,即
4212160t t +-=,
解得24t =或216t =-(舍去),∴(1,2)A ±.
6.依题意知4a =,则1212||||8
||||2
PF PF PF PF +=⎧⎨-=⎩,∴1||5PF =,2||3PF =,又12||24F F c ==,∴12
PF F ∆是直角三角形.
7.延长1F M 交直线2PF 于点N ,∵PM 平分12F PF ∠,1PM F N ⊥,∴M 是1F N 的中点,1||||PN PF =, ∴21221
1
2
2
||||||||||||OM F N PF PF a PF ==-=-.
又2||a c PF a c -<<+(易知P 、1F 、2F 三点不共线),∴2||c a PF c -<-<,故OM 的取值范围为(0,)c .
8. 如图1所示
,
由抛物线定义知RS 连结RF 、SF ,则易知90RFS ∠=︒.
又M 是中点,∴1
2
||||MF RS =9.由12F E F B ⊥,知12Rt Rt OF E BF O ∆∆∽,∴2b
c
b
c
=
,即222b c =,
∴2222a c c -=，得223a c =,
故椭圆的离心率3
e =
.
10. 由已知的割线的坐标(4,114),(2,21),2a a K a ---=-,设直线方程为
(2)y a x b =-+，
则2
2
3651(2)b a =+- 又2564(2,9)(2)y x ax b a y a x b ⎧=+-⇒=-⇒=⇒--⎨=-+⎩.
二、11. 8或114
12. 7 13. 5:3
14. 26 15. ±
提示：
11.若焦点在x 轴上,则24a m =+,29b =,2225c a b m =-=-
,∴12
c a
e =
=
=
,解得
8m =.若焦点在y 轴上,则29a =,24b m =+,2225c a b m =-=-
,∴3
1
2
c
a
e ==
=,解
得114
m =
.故8m =或
114
.
12.设
11(,)
A x y 、
22(,)
B x y ,∵抛物线
24y x
=的准线方程为
1x =-,∴12||||2FA FB x x +=++.
由24240
y x
x y ⎧=⎨+-=⎩,得2540x x -+=,∴125x x +=,故12||||27FA FB x x +=++=. 13.不妨取P 为短轴的端点,则由三角形内角平分线性质得,11
||:||||:||:5:3PI IB PF FO a c ===. 14.连接1AF 、1BF ,∵12||||8AF AF -=,12||||8BF BF -=,22||||||5AF BF AB +==, ∴
1122||||16(||||)16521
AF BF AF BF +=++=+=,∴
1
ABF ∆的周长为
11||||||26AF BF AB ++=.
15.过点B 向准线作垂线BM ,垂足为M ，可知1
cos 3
MBC ∠=，所以直线l
的斜率为± 三、
16.解：（Ⅰ）依题意，直线l 的斜率存在，因为 直线l 过点(2,0)M -，可设直线l ：
(2)y k x =+．
因为 P Q 、两点在圆2
2
1x y +=上，所以 1OP OQ ==u u u r u u u r
，
因为 12OP OQ ⋅=-u u u r u u u r ，所以 1
cos 2OP OQ OP OQ POQ ⋅=⋅⋅∠=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以
120POQ ︒∠=
所以O 到直线l 的距离等于
1
2．所以
12=
，得15k =±， 所以直线l
的方程为20x -+=
或20x +=． ………6分
（Ⅱ）因为OMP ∆与OPQ ∆的面积相等，所以2MQ MP =u u u u r u u u r
，设 11(,)P x y ，22(,)Q x y ，
所以 22(2,)MQ x y =+u u u u r ，11(2,)MP x y =+u u u r ．所以 212122(2)2x x y y +=+⎧⎨=⎩即2121
2(1)
2x x y y =+⎧⎨
=⎩（*）；
因为P ，Q 两点在圆上，所以2211222211x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 把（*）代入，得22
1122111
4(1)41
x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩ ，
所以
11788x y ⎧
=-⎪⎪
⎨⎪=±⎪⎩
， 所以直线l
的斜率MP k k ==，
即k =12分
17. 解：设椭圆的右焦点2(,0)F c ,则2222b b c -=,即b c =
,∴2
(,)M c
,2
OM k =
,
∴PQ k =直线PQ
的方程为)y x c =-, 代
入
方
程
222
2
21x
y b
b
+
=,
得
2222
2[)]22x x c b c +-==,即
225820x cy c -+=. ………6分
设11(,)P x y ,22(,)Q x y ,则128
5
x x c +=,2122
5
x x c =,
∴125
||||PQ x x =-==
=解得5b c ==.
故椭圆的标准方程为2
2
50
25
1x
y
+
=. (12)
分
18.解：⑴设椭圆轨道Ⅰ的半焦距为1c ,半长轴的长为1a ,则
1111
20063706570
3800006370386370a c a c -=+=⎧⎨
+=+=⎩,解得
12392940a =,12379840c =,∴1379840392940
0.967e =
≈. ………3分
设椭圆轨道Ⅱ的半焦距为2c ,半长轴的长为2a ,则2222
1517301745
10017301830a c a c -=+=⎧⎨+=+=⎩,
解得123575a =,1285c =,∴2853575
0.024e =≈.故12e e >. (7)
分
⑵依题意设椭圆轨道Ⅱ的标准方程为
222
2
1(0)x y a
b
a b +
=>>,则由⑴知2
2
35754
a =
,
22217451830b a c =-=⨯,故所求椭圆轨道Ⅱ的标准方程为
22
2
43575
17451830
1x
y
⨯+
=.………12分
19.解：⑴将1y kx =-代入方程221x y -=,得22(1)220,k x kx -+-=
222(2)4(1)(2)840k k k ∆=--⋅-=->,解
得k <.设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则
221212212
10
k k k x x x x --⎧+=<⎪⎨=>⎪⎩, 由
2
21
0k k -<,得1k <-或01k <<；由
2
21
0k ->,得1k <-或1k >
.∴1k <<-，
故斜率k
的取值范围是(1)-. ………7分 ⑵由已知可得2l 的方程为816y x =-- ①,Q 的坐标为1212
2
2
(,
)x x y y ++,即2
2
1
11(
,
)k
k k --,代
入①得5
4k =-
或3
4
k =
(舍去),∴1l 的方程为
54
1y x =--,即
5440x y ++=. ………12分
20．(Ⅰ)解：依题意 半焦距1c = 左焦点为/
F (1,0)-，则/
2a BF BF =+，由3
(1,)2
B ，
32
BF =
由距离公式得 /
52
BF =
，24,2a a ==，2222
213b a c =-=-= 所以，椭圆Ｅ的方程.的方程
22
143
x y +=.来………7分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知，1(2,0)A -，2(2,0)A .设M 00(,)x y . ∵M 在椭圆E 上，∴2
2
003(4)4
y x =
-， 由Ｐ、M 、1A 三点共线可得Ｐ0
06(4,
)2
y x + ∴200(2,)A M x y =-u u u u u r ，
0206(2,)2
y A P x =+u u u u r ，
∴
202200065
2(2)(2)
22
y A M A P x x x ⋅=-+=-+u u u u u r u u u u r ∵
022
x -<<，∴
22(0,10)A M A P λ=⋅∈u u u u u r u u u u r
……13分
21．解：（Ⅰ）因为
1
cos602122
p OA =⋅=⨯=o ,即2p =,所以抛物线C 的方程为24y x =. 设⊙M 的半径为r ,则122cos60OB r =⋅=o
,所以M e 的方程为22
(2)4x y -+=………6分 （Ⅱ）设(,)(0)P x y x ≥,则(2,)(1,)PM PF x y x y ⋅=----u u u u r u u u r =222
322x x y x x -++=++
所以当0x =时, PM PF ⋅u u u u r u u u r
有最小值为2
（Ⅲ）以点Q 这圆心,QS 为半径作⊙Q,则线段ST 即为⊙Q 与⊙M 的公共弦
设点(1,)Q t -,则2
2
2
45QS QM t =-=+,所以⊙Q 的方程为2
2
2
(1)()5x y t t ++-=+ 从而直线QS 的方程为320x ty --=(*)
因为230x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩一定是方程(*)的解,所以直线QS 恒过一个定点,且该定点坐标为
2
(,0)3
.………14分。