2021届浙江省温州市高三上学期期末数学试题

绝密★启用前
2021届浙江省温州市高三上学期期末数学试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知全集U =R ，{
}
2
230A x x x =-->，{}04B x x =≤≤，则(
)U
A B =（）
A ．{}
03x x ≤≤ B ．{}
34x x -≤≤ C ．{}
13x x -≤≤ D ．{}
14x x -≤≤
答案：D
先求出集合A ，再根据补集并集定义即可求出. 解：
{}
{22301A x x x x x =-->=<-或}3x >，
{}13U A x x ∴=-≤≤， (){}14U A B x x ∴⋃=-≤≤.
故选：D.
2．如图是一个几何体的三视图（单位：cm ），若它的体积是32cm ，则a=（）
A ．1
B 2
C 3
D ．2
答案：C
可得该几何体是一个四棱锥，表示出体积即可求出. 解：还原后，可得该几何体是一个四棱锥，如图所示， 则四棱锥的体积为1
223
a a ⨯⨯⨯=，解得3a =故选：C.
3．已知正数a 、b 满足1a b +=，则411a b
a b
+--的最小值是（） A ．1 B ．2
C ．4
D ．8
答案：C 化简得出
441
511a b a b b a +=+---，将代数式14a b
+与+a b 相乘，展开后利用基本不等式可求得411a b a b
+--的最小值. 解
：
已
知
正
数
a
、
b
满足
1
a b +=，则
()414141511b a b a a b b a b a --+=+=+---()4144524a b a b a b b a b a b a ⎛⎫
=++-=
+≥⋅= ⎪⎝⎭
， 当且仅当2b a =时，等号成立， 因此，
411a b
a b
+--的最小值是4. 故选：C.
点评：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
4．在平面直角坐标系中，点A ，B 分别是圆()2
221x y -+=与直线()0y x t t =+>上的动点，若
AB 的最小值为221，则t 的值为（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案：B
求出圆心到直线的距离，可知AB 的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即可求出.
解：圆心()2,0到直线y x t =+的距离为
22
2
t +=
， 可得AB 的最小值为12212
-=-，解得2t =. 故选：B.
5．三个平面将空间分成n 个部分，则n 不可能是（） A ．5 B ．6
C ．7
D ．8
答案：A
三个平面不重合，先按其中平行的平面的个数分类：三个平面两两平行，两个平面平行，没有平行的平面(两两相交)，对两两相交的情况，再根据三条交线互相平行，重合，交于一点，分别讨论. 解：按照三个平面中平行的个数来分类：
（1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成4部分；
（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成6部分；
（3）三个平面中没有平行的平面：
（i ）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成7部分； （ii ）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成8部分.
（iii ）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成6部分；
综上，可以为4，6，7，8部分，不能为5部分， 故选：A.
6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a ≥，530S ≤，则1a 的最小值是（） A ．1- B ．0
C ．1
D ．2
答案：B
由已知条件化简得出113
26
a d a d +≥⎧⎨+≤⎩，利用不等式的基本性质可求得1a 的最小值.
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由条件215
1351030a a d S a d =+≥⎧⎨
=+≤⎩，可得113
26a d a d +≥⎧⎨+≤⎩，
由不等式的性质可得()()111222360a a d a d =+-+≥⨯-=. 故选：B.
7．已知α，β∈R ，则“0αβ+<”是“sin sin αβαβ+<+”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．既不充分也不必要条件
D ．充分必要条件
答案：D
首先构造函数()sin x x x f -=，利用导数判断函数的单调性，再判断选项. 解：构造函数()sin x x x f -=，
()1cos 0f x x '=-≥恒成立，()f x ∴是单调递增函数，
0αβ+<，即αβ<-，
()()f f αβ∴<-，即()()sin sin ααββ-<---，
即sin sin αβαβ+<+，
反过来，若sin sin αβαβ+<+，即()()sin sin ααββ-<---，
αβ∴<-，即0αβ+<.
故选：D
点评：关键点点睛：本题的关键是通过条件观察后构造函数()sin x x x f -=，通过判断函数的单调性，比较大小.
8．设抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，M 为抛物线上异于顶点的一点，且M 在直线1x =-上的射影为N ，若MNF 的垂心在抛物线C 上，则MNF 的面积为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
答案：B
设点200,4y M y ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则点()01,N y -，求出MNF 的垂心H 的坐标，再由MH FN ⊥可求得0y 的值，进而可求得MNF 的面积.
解：设点2
00,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则点()01,N y -，设点M 在第一象限， 抛物线C 的焦点为()1,0F ，设MNF 的垂心为H ， 由于FH
MN ⊥，则点H 的横坐标为1，可得点()1,2H ，
MH FN ⊥，则0HM FN ⋅=，2
00
1,24y HM y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
，()02,FN y =-，
()()222
00000012122220422y y HM FN y y y y ⎛⎫⋅=--+-=-+=-= ⎪⎝⎭
，解得02y =，
所以，点M 的坐标为()1,2，所以，2MN =，1
2222
MNF S =⨯⨯=△. 故选：B.
点评：关键点点睛：解决本题的关键在于利用已知条件求出点M 的坐标，本题特殊的地方在于
MN y ⊥轴，可得出垂心与焦点的连线垂直于x 轴，再结合垂心在抛物线求出垂心的坐标.
9．在编号分别为(0,1,2,,1)i i n =⋅⋅⋅-的n 名同学中挑选一人参加某项活动，挑选方法如下：抛掷两枚骰子，将两枚骰子的点数之和除以n 所得的余数如果恰好为i ，则选编号为i 的同学．下列哪种情况是不公平的挑选方法（） A ．2n = B ．3n =
C ．4n =
D ．6n =
答案：C
首先求出两枚骰子的点数之和可能的取值对应的概率，再分别讨论四个选项中n 的取值对应的余数的概率，若每一个余数的概率都相等则是公平的，若不相等则不公平，即可得正确选项. 解：由题意知两枚骰子的点数之和为X ，则X 可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，
()1236P X ==，()2336P X ==，()3436P X ==，()4536P X ==，()5
636P X == ()6736P X ==
，()5836P X ==，()4936P X ==，()31036P X ==，()21136P X ==，()1
1236
P X ==
， 对于选项A ：2n =时，0,1,i =
()1
351023636362P i ⎛⎫==++⨯= ⎪⎝⎭
，()246421136363636362P i ==++++=，
所以2n =是公平的，故选项A 不正确； 对于选项B ：3n =时，0,1,2i =，
()254110363636363P i ==+++=，()3631
13636363P i ==++=， ()145212363636363
P i ==
+++=，所以3n =是公平的，故选项B 不正确；
对于选项C ：4n =时，0,1,2,3i =
()351103636364P i ==++=，()442136369P i ==+=， ()153123636364P i ==
++=，()2625336363618
P i ==++= 因为概率不相等，所以4n =不公平，故选项C 正确； 对于选项D ：6n =时，0,1,2,3,4,5i =
()511036366P i ==+=，()611366P i ===，()151236366P i ==+=， ()241336366P i ==
+=，()331436366P i ==+=，()421536366
P i ==+=， 所以6n =是公平的，故选项D 不正确， 故选：C
点评：关键点点睛：本题解题的关键点是理解题意，对于所给n 的值的每一个余数出现的概率相等即为公平，不相等即为不公平.
10．已知函数3
2
()(2)(,,)f x x a x bx c a b c =++++∈R ，若存在异于a 的实数m ，()n m n ≠，使得()()()f m f n f a ==，则b 的取值范围为（） A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞
C ．4,5⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
D ．4,15⎛⎫
⎪⎝⎭
答案：D
由题可得,m n 是方程
()()0f x f a -=的两个不等实根，整理可得
()()()()22
2222f x f a x a x a x a a b ⎡⎤-=-+++++⎣⎦
，
则
可
得
,m n
是方程
()2222220x a x a a b +++++=的两个不等实根，利用判别式可得21b a <-+，即1b <，再由a
不可能是()2
2
22220x a x a a b +++++=的根，可得2540a a b ++≠对任意a R ∈恒成立，由
判别式即可求出. 解：
()()()f m f n f a ==，且,,m n a 两两不相等，
()()()
()00f m f a f n f a ⎧-=⎪∴⎨-=⎪⎩，即,m n 是方程()()0f x f a -=的两个不等实根，
()()3232
(2)(2)x a x bx c f x f a a a ba c a ⎡⎤++++-++++-⎣=⎦
()()()()33222x a a x a b x a =-++-+-
()()222222x a x a x a a b ⎡⎤=-+++++⎣⎦，
,m a n a ≠≠，∴,m n 是方程()2222220x a x a a b +++++=的两个不等实根， ()()2
2224220a a a b ∴∆=+-++>，即21b a <-+，
211a -+≤，1b ∴<，
方程()2
2
22220x a x a a b +++++=最多两个根，所以a 不可能是该方程的根，
即()2
2
22220a a a a a b +++++≠对任意a R ∈恒成立，
即2540a a b ++≠对任意a R ∈恒成立，
2
4450b ∴∆=-⨯<，解得4
5
b >
， 综上，
4
15
b <<. 故选：D.
点评：本题考查函数与方程的综合应用，解题的关键是将题目转化为,m n 是方程()()0f x f a -=的两个不等实根，进而得出,m n 是方程()2
2
22220x a x a a b +++++=的两个不等实根，且a 不
可能是该方程的根，利用判别式求解. 二、填空题
11．近年来，各地着力打造“美丽乡村”，彩色田野成为美丽乡村的特色风景，某乡村设计一块类似于赵爽弦图的巨型创意农田（如图所示），计划从黄、白、紫、黑、绿五种颜色的农作物选种几种种在图中区域，并且每个区域种且只种一种颜色的农作物，相邻区域所种的农作物颜色不同，则共有______种不同的种法．（用数字作答）
答案：420
先考虑区域E 所种农作物的种数，然后依次分析区域A 、B 区域所种农作物的种数，对区域C 与区域A 所种农作物的颜色是否相同进行分类讨论，确定区域D 所种农作物的种数，利用分类加法和分步乘法计数原理可得结果.
解：区域E 有5种选择，区域A 有4种选择，区域B 有3种选择. ①若区域C 和区域A 所种的农作物颜色相同，则区域D 有3种选择；
②若区域C 和区域A 所种的农作物颜色不同，则区域C 有2种选择，区域D 有2种选择. 综上所述，共有()5431322420⨯⨯⨯⨯+⨯=种不同的种法. 故答案为：420.
点评：方法点睛：涂色问题常用方法：
（1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域涂色问题的基本方法；
（2）根据共用了多少种颜色，分别计算出各种情形的种数，再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数；
（3）根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数.
12．已知平面单位向量a ，b 满足1a b -≤．设向量2a b +与向量2a b -的夹角为θ，则cos θ的最大值为______． 答案：2114
-
设,a b 的夹角为α，由题可得1cos 2
α≥，则可化简得出
21
cos 3
2516cos θα
=--即可求出最值.
解：
,a b 是单位向量，1a b ∴==，设,a b 的夹角为α，
则由1a b -≤可得2
1a b -≤，即2
2
2cos 1
a a
b b α-⋅
⋅+
≤，可得1
cos 2
α≥
， 则()()22
2
2
2
2
22cos 224444a b a
b a b a b
a a
b b a a b b
θ+⋅-=
=+⋅-+⋅+⋅-⋅
+
==-=-
当1cos 2α=
时，cos θ取得最大值为14
-. 故答案为：14
-
. 点评：本题考查数量积的运算律，解题的关键是先得出,a b 的夹角为α
满足的1
cos 2
α≥
，再将所
求化为
cos θ=-. 13．已知正数数列{}n a 满足()11
1n n
n
n a na a ++=+，且对任意*n ∈N ，都有2n a ≤，则1a 的取值范围为
______． 答案：2⎡⎤⎣⎦
由已知可得出
()()11
121n n n
n a na n a ++=+
≤+，解得
11n n n a n n ++≤≤，结合2n a ≤，可得12n n a n
+≤≤，
令1n n c n
+=，求出数列{}n c 的最大项的值，可得出n a 的取值范围，进而可得出1a 的
取值范围.
解：由题意可知，对任意*
n ∈N ，都有2n a ≤，则12n a +≤，则()()11
121n n n
n a na n a ++=+
≤+， 整理可得()2
2110n n na n a -++≤，()2
24144440n n n n ∆=+-=++>，
解不等式()2
2110n
n na n a -++≤
n a ≤≤
， 当*
n ∈N
212n n +>>
2n a ≤≤，
令
111n n n n c n
+++=
=
=
，
则数列{
}n c 为单调递减数列，所以，()1max 2
n c c ===
22n a ∴≤≤，
所以，122a ≤≤.
下面来说明，当122a ≤≤时，对任意的n *∈N ，2n a ≤. 由双勾函数的单调性可知，函数1
y x x
=
+
在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数， 12a ⎡⎤∈-⎣⎦，则[]211
1
22,4a a a =+∈，可得[]21,2a ∈， 由双勾函数的单调性可知，函数1
2y x x
=+在[)1,+∞上为增函数， 则[]322
1
323,6a a a =+
∈，可得[]31,2a ∈， 假设当()2,n k k k N
*
=≥∈时，[]1,2k
a ∈，
由于函数1y kx x =+在[)1,+∞上为增函数，则()()1111,21k k k
k a ka k k a ++=+∈++⎡⎤⎣⎦，
可得[]11,2k a +∈.
由上可知，当12a ⎡⎤∈⎣⎦
时，对任意的n *∈
N ，2n a ≤. 综上所述，1a
的取值范围是2⎡⎤⎣⎦. 故答案为：2⎡⎤⎣⎦.
点评：关键点点睛：本题考查利用数列不等式恒成立求数列首项的取值范围，解题的关键就是由
12n a +≤得出关于n a 的不等式，通过解不等式可得出关于数列不等式恒成立，进而转化为数列最值
来求解. 三、双空题
14．已知复数z 满足(12)5z i ⋅+=，则z 的虚部是______，z =______． 答案：2
-先根据复数除法运算求出z ，即可求出虚部和模. 解：
(12)5z i ⋅+=，
()()()
512512121212i z i i i i -∴=
==-++-， ∴z 的虚部是2-，
z ==故答案为：
2-15
．二项式6
1x ⎛- ⎝的展开式中的常数项为______，各个二项式系数的和为______． 答案：24064
求出展开式通项，令x 的指数为0，即可求出常数项，根据公式可直接计算各个二项式系数的和.
解：61x ⎛- ⎝
的展开式中的通项为(()6362
166
12r
r
r r
r r
r T C C x
x --+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅ ⎪⎝⎭
，
令
3602
r -=，解得4r =，所以常数项为()4462240C -=， 各个二项式系数的和为01
66666264C C C ++
+==.
故答案为：240；64.
16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()11f x f x =+-，且当[]1,1x ∈-时，
()1,10log ,01b ax x f x x x +-≤≤⎧=⎨<≤⎩，其中a ∈R ，0b >且1b ≠．若
13122f f ⎛⎫
⎛⎫
+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则a =______，b =______．
答案：1
14
推导出函数()f x 是周期为2的周期函数，可得出131112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
+=+-=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
再结合()()11f f -=可得出关于a 、b 的方程组，即可解得a 、b 的值.
解：已知定义在R 上的函数()f x 满足()()11f x f x =+-，则()()2f x f x =+，
所以，函数()f x 是周期为2的周期函数， 当[]1,1x ∈-时，()1,10
log ,01b
ax x f x x x +-≤≤⎧=⎨
<≤⎩，其中a ∈R ，0b >且1b ≠．
由()()11f f -=，可得10a -+=，解得1a =，
11log 22b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，311112222f f ⎛⎫⎛⎫
=-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
由13122f f ⎛⎫
⎛⎫+
= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭可得11log 122b +=，可得11log 22b =，可得1
21
2
b =，解得14b =.
因此，1a =，1
4
b =. 故答案为：1；
14
. 点评：方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
17．已知点1F 、2F 分别为双曲线2
221(0)x y a a
-=>的左、右焦点，点P 是双曲线与以12F F 为直
径的圆在第一象限内的交点，直线1F P 与直线0x ay +=交于点H ，且点H 是线段1F P 的中点，则
1F H =______，双曲线的离心率为______．
答案：
设1HOF α∠=，可得1
tan a α=
，则可得cos a c
α=，进而求出11HF =，表示出22PF a =，12PF =，利用定义可求出a ，进而求出c ，即可得出离心率.
解：
P 是圆上一点，12PF PF ∴⊥，
,O H 是121,F F PF 中点，2//OH PF ∴且21
=
2
OH PF ， 直线OH 方程为0x ay +=，设1HOF α∠=，1tan a
α∴=
， 即sin 1cos a αα=，即222
1cos 1
cos a
αα-=，解得cos a c α=， 在直角三角形1HOF 中，1
cos OH OF α=
，则OH a =，则2211HF c a b =
-==，
22PF a ∴=，12PF =，
由双曲线定义可得122PF PF a -=，即222a a -=，解得1
2
a =， 则2252
c a b =
+=
，5c e a ∴==.
故答案为：1；5.
点评：本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键是利用直线0x ay +=，在直角三角形1HOF 中得出1
tan a
α=，进而求出各线段长. 四、解答题
18．已知a ，b ，c 分别是ABC 三个内角A ，B ，C 3sin cos a C c A c =+． （Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）在①ABC 的周长为623+，②ABC 3，③
13
cos c B -=
任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求B 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：已知2b =，______?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 答案：（Ⅰ）3
A π
=
；（Ⅱ）选①，6
B π
=
；选②，3
B π
=
；选③，三角形不存在，
cos 1A A =+，再根据二倍角的正弦、余弦公式即可求解. （Ⅱ）根据题意选择条件，分别利用正弦定理、三角形的面积公式以及余弦定理进行求解即可. 解：（Ⅰ）在ABC
sin cos C c A c =+，
sin sin cos sin A C C A C =+，
sin 0C ≠
cos 1A A =+，
即2cos 2cos 222
A A A
=，由0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
cos 22A A =
，所以tan 23
A =， 所以
26A π
=，解得3
A π=. （Ⅱ）选①ABC
的周长为6+， 由2b =
，则4a c +=+
又sin sin sin sin sin a b c a c A B C A C +====
+，
sin sin 2c c
C A a a ==
=，
222a
=
，解得4a c +=+（i ） 又22222cos 42a b c bc A c c =+-=+-，（ii ） 由（i ）（ii
）可得a =4c =，
2
sin sin sin a b A B B =⇒=
，解得1sin 2
B =，
由因为a b >，所以6
B π
=
.
选②，ABC 的面积为3，2b =，3
A π
=
，
则13sin 322
ABC
S
bc A c ===，解得2c =， 所以ABC 为等边三角形，所以3
B π
=
.
选③，
13
cos 2
c B -=
，3A π=，2b =， 由余弦定理可得2222234
1324a c b a c c ac ac
+-+--=⋅=⋅
，（iii ） 又22222cos 42a b c bc A c c =+-=+-，（iv ） 由（iii ）（iv ）联立，无解，三角形不存在.
19．如图，已知在三棱锥P ABC -中，ABC 是边长为2的正三角形，PAC △是以AC 为斜边的等腰直角三角形，若直线PB 与平面ABC 所成的角为
6
π
．
（Ⅰ）若PB PC >，求证：平面PAC ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）若PB PC <，求直线AB 与平面PAC 所成角的正弦值． 答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
3
4
（Ⅰ）取AC 中点M ，连接PM ，BM ，可得P 在平面ABC 的投影在直线BM 上，即6
PBM π
∠=，
由余弦定理求出2PB =，即可由勾股定理判断PM BM ⊥，结合PM AC ⊥即可证明；
（Ⅱ）取BM 中点O ，连接PO ，可得PO ⊥平面ABC ，利用等体积法求出点B 到平面PAC 的距离，即可求出直线AB 与平面PAC 所成角的正弦值. 解：（Ⅰ）取AC 中点M ，连接PM ，BM ，
,BC BA PA PC ==，,BM AC PM AC ∴⊥⊥，
PM
BM M =，AC ∴⊥平面PMB ，
AC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面PMB ，
P ∴在平面ABC 的投影在直线BM 上，则PBM ∠即为直线PB 与平面ABC 所成的角，
6
PBM π
∴∠=
，
1
1,32
PM AC BM =
==, 由余弦定理可得()2
22
31cos
6
23PB PB
π
+-=
⋅，解得1PB =或2，
PB PC >，2PC =，2PB ∴=，
则满足222PM BM PB +=，PM BM ∴⊥，
,PM AC AC BM M ⊥⋂=，PM ∴⊥平面ABC ，
PM ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）若PB PC <，则由（Ⅰ）可得1PB =， 取BM 中点O ，连接PO ，
1PM =，PO BM ∴⊥，
由（Ⅰ）AC ⊥平面PMB ，AC ⊂平面ABC ，
∴平面ABC ⊥平面PMB ，平面ABC
平面PMB BM =，
PO ∴⊥平面ABC ，且1
2PO ==， 设点B 到平面PAC 的距离为d ， 则由P ABC B PAC V V --=可得1
133
ABC
PAC
S PO S d ⋅=⋅，
即1111122132
232d ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得d =
设直线AB 与平面PAC 所成角为θ，则sin 4
d AB θ=
=
. 点评：本题考查线面角的求解，解题的关键是利用等体积法求出点B 到平面PAC 的距离，即可建立关系求出正弦值.
20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12a =，()
2*
12n n S S n n ++=+∈N ．
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n T 为数列21n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和，求证：对任意*n ∈N ，都有3n T <． 答案：(1)*1,21
,3,2n n n k a k N n n k
+=-⎧=∈⎨
-=⎩(2)证明见解析 （1）利用递推关系(
)2
*
12n n S S n n ++=+∈N
知，当2n ≥时，2Sn-1+an=2(n-1)’+1，两式作差
可得121n n a a n ++=-，进—步得到22n n a a +-=．然后分n 为偶数和n 为奇数求得数列通项公式； （2）写出n T ，按规律添加部分项，将n T 放大为22
2
11
1
223(1)n +
+++
+，再利用
()()21111211n n n n n n
<=-≥--，继续放大并求和，即可证明. 解：（1）
()2*12N n n S S n n ++=+∈，
当1n =时，1123a a a ++=，解得21a =-， 当2n =时，121236a a a a a ++++=，解得34a =. 当2n ≥时，2
12(1)2n n S a n -+=-+， 作差，可得121n n a a n ++=-，
122(1)1n n a n a +++=+-∴，
作差，22n n a a +-=，
当n 为偶数时，22
232n n a a n -=+⨯=-, 当n 为奇数时,33
212
n n a a n -=+⨯=+, 经检验，1n =也符合.
综上，*1,21,3,2n n n k a k N n n k
+=-⎧=∈⎨
-=⎩ （2）由（1）知，
222
2222
22
111111111
22(1)4163
23
(1)n T n =
++++++<+
+++
-+，（添项）
()()21111211n n n n n n
<=-≥--， 22
211
1111
111
22133,23(1)223
11
n T n n n n ⎛⎫∴<+
+++
<+-+-+
+
-=-< ⎪+++⎝⎭ 点评：关键点点睛：由递推关系可得121n n a a n ++=-，继续推导可得22n n a a +-=，分n 为奇数偶数可利用等差数列写出通项公式，在求和时，写出n T ，给和式添加项放大，再利用裂项相消法求和可证明结论.
21．已知椭圆22
:142
x y C +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共
点P （点P 在第一象限），且与x ，y 轴分别交于G ，E 两点，过点P 做直线l 的垂线分别交x ，y 轴于M ，H ，过点1F ，H 的直线交椭圆C 于A ，B 两点．记2ABF ，MOH ，EOG △的面积分别为1S ，2S ，3S ．
（Ⅰ）求证：23S S ⋅为定值；
（Ⅱ）是否存在点P ，使得1243S S =?如果存在，写出一个点P 的坐标即可；如果不存在，请说明理由．
答案：（Ⅰ）231S S ⋅=为定值；（Ⅱ）存在，2656P ⎝⎭
（1）设直线EG 方程:l y kx m =+，得点,E G 坐标，写出31
2
S OG OE =
⋅，联立直线与椭圆方程，由0∆=得2242m k =+，求点P 坐标写出直线PM 方程，并求出,M H 坐标，推出2S 即可得结果；
（2）设直线11:AB y k x m =+，，联立直线AB 与椭圆方程结合韦达定理可得两根关系，再分析
12
12
1AF F BF F S S
S
=+代入1243S S =解得,k m 值，从而可得P 坐标.
解：（Ⅰ）设()00,P x y ，:l y kx m =+，(0)k < 令0x =可得：y m =，所以()0,E m ， 令0y =可得：m x k =-
，所以,0m G k ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， 由22
24
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得()222214240k x kmx m +++-=， 因为(
)(
)
2
2
2
2
16421240k m k m ∆=-+-=可得2242m k =+，
且024221km x k -=+，所以02221km x k -=+，20022
22121
k m m
y kx m m k k -=+=+=++， 所以直线PH 的方程为：22122121m km y x k k k ⎛⎫
-
=-+ ⎪++⎝⎭
，
令0x =，解得221m y k -=
+，令0y =，解得221
km
x k -=+，
所以20,21m H k -⎛⎫ ⎪+⎝⎭，2
,021km M k -⎛⎫
⎪+⎝⎭
， 所以2322111
122221212m km m S S OH OM OE OG m k k k
--⋅=
⋅⨯⋅=⨯⨯⨯⨯⨯++ ()()()()()()
2
2
2
2
2
2
4
22222222424211112221421421421k k k m m m
k k k k k ++=⨯⨯⨯====++++， 所以231S S ⋅=为定值；
（Ⅱ）设存在点P
，使得12S =，
直线11:AB y k x m =+，()22,A x y ，()33,B x y
，又因为()
1F ，2
0,21m H k -⎛
⎫ ⎪+⎝⎭
，
可得()2
12221m
k k -==+，1221m m k -=+， 联立1122
24
y k x m x y =+⎧⎨+=⎩可得()222
1111214240k x k m x m +++-=， 所以112321421m k x x k -+=+，21232124
21
m x x k -=+
所以()2111
2312311
221142222121
m k m y y k x x m m k k -+=++=+=++， ()()()222312113112311231y y k x m k x m k x x k m x x m ⋅=++=+++ 22222
111111
111222
111
2444212121m m k m k k k m m k k k ⎛⎫---=⨯+⨯+= ⎪+++⎝⎭， 所以2
12
12
112231
2
ABF AF F BF F
S S
S
S
F F y
y ==+=⨯
-
1
2
=⨯==
则
1S ==
由（1）知()222
21
221k
m S k =⨯+
当12
S =
()22
21
221k m k =⨯+
则
()
()
22
2
4
2
2
2
2
32121k m m k k =
+++得
()
()
()
222
4
2
2
2
3242
242121k k k
k k
+=
++++
所以
()
()
()
222
4
2
2
324292121k k k k
+=
++
则221227k k +=即2
1
25k =所以15
k =（舍去），
15k =-
所以m =
=
由（1）知02221km x k -=+，200
2222121k m m
y kx m m k k -=+=+
=++， 所以
P 坐标为99⎛ ⎝⎭
.
【点晴】
本题关键使用了设而不求思想，运用了韦达定理求得两根关系. 22．已知函数()()2
122ln 2
f x x ax a x a =
-+∈R ． （1）若函数()f x 在()0,∞+内是单调函数，求实数a 的取值范围； （2）已知1x 、2x 是函数()f x 的两个极值点，当21x ex >时，均有()()22
11222
2
f x x f x x λ
λ
->-
成
立，求实数λ的取值范围（e 为自然对数的底数）
答案：（1）[]0,2；（2）22
21,1e e e ⎡⎫
+-+∞⎪⎢-⎣⎭
. （1）求得()222x ax a
f x x
-+'=，对函数()f x 在区间()0,∞+上为增函数与减函数进行分类讨
论，结合已知条件可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围；
（2）由题意可知，1x 、2x 是方程2220x ax a -+=的两个正根，由()()221122
2
2
f x x f x x λ
λ
->-
化简得出
2
12
1
211ln 02x x x x x x λ⎛⎫+-
-> ⎪⎝⎭，令令21
x t e x =>，可得11ln 02t t t λ+⎛⎫--> ⎪⎝⎭，利用参变量分离法得出
21
ln 2
1t t t λ+>
-，设()()2
ln 1
t t
h t t e t =>-，利用导数分析函数()h t 的单调性，求出()h t 的值域，由此可解得实数λ的取值范围. 解：（1）函数
()2
122ln 2
f x x ax a x =
-+的定义域为()
0,∞+，且
()22222a x ax a
f x x a x x
-+'=-+=
. 设()2
22g x x ax a =-+.
（i ）若函数()f x 在()0,∞+内单调递增，则对任意的()0,x ∈+∞，()0g x ≥. 二次函数()g x 的图象开口向上，对称轴为直线x a =.
①若0a ≤，则函数()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()020g a =≥，解得0a ≥，此时0a =； ②若0a >，由题意可得2480a a ∆=-≤，解得02a ≤≤，此时，02a <≤. 所以，当02a ≤≤时，函数()f x 在()0,∞+上为增函数.
（ii ）若函数()f x 在()0,∞+内单调递减，则对任意的0x >，()0g x ≤， 若0∆≤，则对任意的0x >，()0g x ≥，不合乎题意；
若0∆>，解不等式()0g x ≤，即2220x ax a -+≤
，解得a x a ≤≤合乎题意.
综上所述，实数a 的取值范围是[]0,2；
（2）由题意可知，1x 、2x 是方程2220x ax a -+=的两个正根，则()2480
0020a a a g a ⎧∆=->⎪
>⎨⎪=>⎩
，解得2a >.
由韦达定理可得12122x x x x a +==.
()()22212221111122ln 22ln 22f x f x x ax a x x ax a x ⎛⎫⎛⎫
-=-+--+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭()()2
222121112ln
22
x a x x a x x x =+---
()()()()222
2221221212112211111ln
ln 22
x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-=--， 由()()22
11222
2
f x x f x x λ
λ
->-
，可得()()()2
2212
102
f x f x x x λ
--
-<，
即()222122111ln
02x x x x x x λ+--<，即2211121ln 02x x x x x x λ⎛⎫+--< ⎪⎝⎭
， 即
2
12
1
21
1ln 02x x x x x x λ⎛⎫+-
-> ⎪⎝⎭， 令21x t e x =>，可得11ln 02t t t λ+⎛⎫--> ⎪⎝⎭
，可得2
1ln ln 121t t t t t t
λ+>=--， 令()2
ln 1
t t
h t t =
-，其中t e >，()()()()
()()()
222
22
2
2
2
ln 112ln 11ln 011t t t t
t t t
h t t
t
+----+'==
<--，
所以，函数()h t 在区间(),e +∞上单调递减，当t e >时，()()2
1
e
h t h e e <=
-. 所以，21
21e e λ+≥-，解得22211
e e e λ+-≥-. 综上所述，实数λ的取值范围是22
21,1e e e ⎡⎫
+-+∞⎪⎢-⎣⎭
. 点评：结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行： （1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在异号零点； （4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.。