求圆锥曲线离心率的几种方法

关于椭圆离心率
设椭圆x a y b
a b 222
210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果
椭圆上存在点P ，使∠=︒F PF 1290，求离心率e 的取值范围。

解法1：利用曲线范围
设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则
F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 121212122222
9000→→
→
→
→
→
=+=-∠=︒⊥⋅=+-+=+=()()()()，，，由，知，
则，
即得
将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得
x a c a b a b F PF x a
a c a
b a b
a 2
2222
22
1222
2222
222
9000=
--∠=︒
≤<≤--<但由椭圆范围及知即
可得，即，且从而得，且所以，）
c b c a c c a e c a e c a e 2222222
2212
2
1≥≥-<=
≥=<∈[
解法2：利用二次方程有实根
由椭圆定义知
||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=⇒++=
又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此
∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()
||||()
∆=--≥⇒=≥
⇒≥
4801
22
2
2222
22a a c e c a e ()
因此，e ∈[
)2
2
1 解法3：利用三角函数有界性
记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有
||sin ||sin ||
sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cos
PF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222
122
βααβ
αβαβαβαβ
==
︒⇒++=+====+=+-=
-又，，则有
而知从而可得09002
45222
12
2
1
≤-<︒≤
-<︒<-≤≤<||||
cos αβαβαβ
e
解法4：利用焦半径 由焦半径公式得
||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x c a e x c x c a e P x y x a x a 1212221222222222
2
2
2
2
2
22
2
22224220=+=-+=+++-+=+==
-≠±≤<，又由，所以有
即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即
022
2
1222
2≤-<∈c a e a
e 得，）
[
解法5：利用基本不等式
由椭圆定义，有212a PF PF =+|||| 平方后得
42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||
得c a
2212≥ 所以有，）e ∈[2
21 解法6：巧用图形的几何特性
由∠=︒F PF 1290，知点P 在以||F F c 122=为直径的圆上。

又点P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P 故有c b c b a c ≥⇒≥=-2222
由此可得，）e ∈[
2
2
1
演练
一、直接求出或求出a 与b 的比值，以求解。

在椭圆中，，
1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于_____
2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为
_____
3.若椭圆经过原点，且焦点为,则椭圆的离心率为____
4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为___
5.若椭圆短轴端点为满足，则
椭圆的离心率为___
6..已知
则当mn 取得最小值时，椭圆的的离心率为____
7.椭圆的焦点为，，两条准线与轴的
交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范
围是_________
8.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭
a c ，e a c
e =22222221a
b a b a a
c a c e -=-===)0,3(),0,1(21F F )0(,122
22>>=+b a b
y a x P 21PF PF ⊥=e )0.0(12
1>>=+n m n
m 122
22=+n y m x 22
221(0)x y a b a b
+=>>1F 2F x M N ，12MN F F 2≤
圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为___________
9.P 是椭圆+=1（a ＞b ＞0）上一点，是椭圆的左右焦点，已
知 椭圆的离心率为_____ 10.已知是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若
， 则椭圆的离心率为
_______
11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为_______
二、构造的齐次式，解出
1．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是____
2．以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是_____ 3．以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是_____ 4．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆
于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_____ 5．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是_____ 三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。

1．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
_______
22a x 22
b
y 21F F 、,2,1221αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F =e 21F F 、 75,151221=∠=∠F PF F PF 2a c ，e 1F 2F 120MF MF ⋅=M
2．已知是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且
，椭圆离心率e 的取值范围为
_______
3．已知是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且
，椭圆离心率e 的取值范围为
______
4．设椭圆（a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，若椭圆上存在一
点Q ，使∠F 1QF 2=120º，椭圆离心率e 的取值范围为
_______
5．在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率____
6．设分别是椭圆（）的左、右焦点，若
在其右准线上存在 使线段的中垂线过点，则椭圆离心
率的取值范围是
______-
21F F 、 9021=∠PF F 21F F 、 6021=∠PF F 122
22=+b
y a x ABC △AB BC =7
cos 18
B =-A B ，
C e =
12F F ，22
221x y a b
+=0a b >>,P 1PF 2F。