物理粤教版2教学设计：第二章第二节 向心力含答案

教学设计
第二节向心力
整体设计
圆周运动的问题仍然属于动力学部分内容，主要是利用牛顿第二定律研究做圆周运动的物体受力与运动规律.在直线运动中物体所受的外力可以改变物体的速度大小或方向,而在匀速圆周运动中物体受到始终与速度垂直的外力，此种外力只改变速度的方向而不改变速度的大小，这样的力就是向心力.本节从向心力的产生、效果出发研究物体受力与运动的关系。

重点是掌握物体所受的向心力是按效果命名的，它不是一种什么特殊性质的力。

它的存在是圆周运动的必要条件.对向心力的理解和认识是通过演示、实验、探究得出的.在此基础上利用牛顿第二定律进一步认识物体做圆周运动的向心加速度.
教学重点
1.圆周运动的向心力。

2.圆周运动的向心加速度.
教学难点
1.向心力是物体受到的外力产生的效果。

2。

向心加速度大小和方向。

教学方法
启发式、自主探究、互动式。

课时安排
2课时
三维目标
知识与技能
1。

掌握向心力的产生.
2.向心加速度以及向心力与向心加速度的关系.
过程与方法
1.通过实验探究物体的受力与各运动量之间的关系。

2.圆周运动的必要条件是受到指向圆心的力来改变物体运动的方向，引出向心力.
情感态度与价值观
通过对圆周运动向心力的实验探究使同学们认识人类对自然规律的认识均来自于生产实践活动。

课前准备
细线、有通过球直径小孔的小球、空心圆珠笔杆、向心力演示器。

教学过程
导入新课
同学们知道力是改变物体运动状态的原因,而圆周运动物体的速度时刻在改变，即物体的运动状态时刻在改变,那么是什么力来改变物体的速度方向呢？这就是我们要学习的向心力.
推进新课
一、向心力
师
请同学们观察下面物体的运动,分析一下物体的受力并说出改变物体运动状态的是什么力，这个力有何特点。

演示1：如图2—2-1所示，在绳的一端系一小球,另一端用手提住绳头让小球在光滑桌面上做匀速圆周运动.
图2—2-1
演示2:如图2—2-2所示,将一圆环（或圆桶）放在水平桌面上,给小球一定的初速度使小球沿圆环内侧边缘做圆周运动。

图2—2—2
生1
演示1中,在桌面上的小球受到重力、支持力和绳的拉力.物体在垂直桌面方向上的重力和支持力合力为零，绳的拉力与速度方向垂直，只改变小球运动的方向，绳的拉力方向总是指向圆心。

生2
演示2中，在桌面上的小球受到重力、支持力和圆环内侧面对小球的弹力，物体在垂直桌面方向上的重力和桌面对球的支持力的合力为零，圆环内侧对小球弹力垂直该点的切线指向圆心，正是这个力改变小球做圆周运动的速度方向.这个弹力的方向总是指向圆心。

师
非常正确，同学们看到绳的拉力、圆环内侧的弹力仍是我们所学习过的三种性质的力之一.只是这个力始终指向圆心，在物理学中我们把它称为向心力。

在演示1、2中小球在运动过程中一段时间内都没有发现小球的速度有明显的变化，由此我们设想一下如果桌面和圆环内侧面光滑,小球的运动会停下来吗？这又说明了什么呢？
生3
根据以前研究惯性定律的经验可知，如果桌面光滑、圆环内侧面光滑，小球将不停地运动下去，说明向心力不改变速度的大小,只改变小球的运动方向。

师
上面我们只研究了向心力的存在及方向，那么向心力的大小到底与哪些因素有关呢？下面同学们先利用桌面上现有的材料感受一下向心力的存在，并探究向心力会与哪些因素有关。

实验材料：
1。

拴有细线的质量分别为m、M的不同小球。

2。

拴有细线的质量分别为m、M的不同小方物块.
生1
小球质量不同感觉不同.
生2
小球运动快慢不同感觉不同。

生3
绳长短不同感觉不同.
生4
质量相同的小球和方物块没有什么区别。

师
很好，同学们找到了做圆周运动的物体与向心力有关的不同因素，有了这些感性的认识,那么再进一步进行深入的探讨，这些因素与向心力有怎样的定量关系呢？下面根据所给的器材请同学们设计一个实验来探究向心力与上述量的关系.
实验与探究
实验器材：质量不同的小物体若干，空心圆珠笔杆，细线（长约60 cm）,弹簧秤。

实验设计:细线穿过圆珠笔的杆中，一端拴住小物体,另一端与弹簧秤相连(弹簧秤的另一端固定),用手握住圆珠笔杆用力转动,使小球做圆周运动，作用在小球上的细线的拉力即弹簧秤的读数，近似等于小球做圆周运动所需的向心力.
实验过程：
(1）在小物体的质量和角速度不变的条件下,改变转动半径进行实验。

（2）在小物体的质量和转动半径不变的条件下，改变物体的角速度进行实验。

(3）换用不同质量的小物体，在角速度和半径不变的条件下，重复上述实验.
经过上面实验过程，你得到什么结论？请同学们进行交流并填下表：
保持不变的量变量向心力结论
1质量m、角速度ω半径r增大F增大向心力随着半径的增大而增
大
2 质量m 、半径r 角速度ω增大 F 增大 向心力随着角速度的增大而
增大
3 半径r 、角速度ω 质量m 增大 F 增大 向心力随着质量的增大而增
大
师
同学们得出上面的结论非常正确，那么我们再利用向心力演示器来探究向心力的大小与物体运动量间的关系，也同样得到上述实验结论.
实验和理论均可证明，匀速圆周运动所需向心力的大小为：
F ＝mrω2
式中m 表示物体质量，r 表示运动物体转动半径，ω表示物体转动的角速度.
上式反应了物体所受的向心力与角速度的关系,那么同学们是否可以根据线速度与角速度的关系导出向心力与线速度的关系呢？
生1
根据v ＝ωr 代入F ＝mω2r 中可得F=r
m v 2. 二、向心加速度
师
同学们知道牛顿第二定律适用于一切宏观物体的运动,物体合外力不为零，物体就一定有加速度，那么匀速圆周运动的加速度又怎样呢?由上面的关系我们是否能得出圆周运动的加速度的大小和方向？
生1
根据牛顿第二定律F ＝ma 以及匀速圆周运动的物体所受的合外力,
F ＝mω2r 和F=r
m v 2
可得匀速圆周运动的加速度大小：
a=ω2r=r
v 2。

生2
根据牛顿第二定律，加速度的方向与力的方向相同，因此在匀速圆周运动中物体的加速度指向圆心。

师
匀速圆周运动的加速度指向圆心，我们称之为向心加速度。

向心力和向心加速度的公式虽然是从匀速圆周运动中得出的,但也适用于非匀速圆周运动，在非匀速圆周运动中使用上述公式求质点在圆周上某点的向心力和向心加速
度的大小时，必须用该点的瞬时速度值。

师
据你的理解，谈谈匀速圆周运动是不是匀变速运动。

2.从a=rω2看a 与r 成正比，从a=r
v 2看a 与r 成反比,那么a 与r 到底成正比还是成反比？ 生1
匀速圆周运动的向心加速度的大小虽然不变,但向心加速度的方向时刻在改变，因此匀速圆周运动也不是匀变速运动。

生2
从a=rω2看a 与r 成正比，这个结论的前提是角速度恒定不变.
而从a=r
v 2
看a 与r 成反比，这个结论的前提条件是线速度恒定不变.二者的前提条件不同得出的结论当然不同。

因此a 与r 到底成正比还是成反比要看在什么条件下，不能一概而论，要具体问题具体分析.
三、生活中的向心力
师
在生活中你所看到的做圆周运动的实例都有哪些？
生1
汽车在水平的公路上转弯、杂技中摩托车在圆锥面上的某一高度做圆周运动。

生2
让一个小球以一定初速度沿圆环内侧面边缘做圆周运动。

生3
游乐园中过山车、汽车或摩托车经过拱形桥面、公园里小孩荡秋千都是在一段圆弧上做圆周运动.
师
同学们列举了大量的事例,那么这些生活中做圆周运动的物体是什么力来提供它们做圆周运动的向心力呢?请同学讨论研究一下.（说明：由于现在我们所学知识深度有限，在竖直平面上运动的物体不会做匀速圆周运动，作用力的效果比较复杂,因此对在竖直平面上做圆周运动的物体只限对最高点和最低点的进行受力分析)
生1
汽车在水平的公路上转弯，重力和支持力合力为零，汽车靠车轮与路面间的静摩擦力F 提供向心力.
生2
让一个小球以一定初速度沿圆环内侧面边缘做圆周运动时小球所受重力和支持力合力为零,只有圆环内侧边缘对小球的弹力作为向心力.
生3
杂技中摩托车在圆锥面上的某一高度做圆周运动，物体受到重力和支持力的作用.向心力应该是二者的合力，如图2-2-3所示。

图2—2—3
生4
游乐园中过山车轨道最高点、汽车或摩托车经过拱形桥面最高点、在公园里小孩荡秋千在圆周的最低点时的受力分别如上面图2-2-4甲、乙、丙图所示。

图2-2-4
师
同学们分析了生活中做圆周运动的一些物体的受力情况，那么这些物体在运动中所受重力是恒定的，但这些弹力的大小会随速度而改变，那么怎样求出这些弹力呢?
圆周运动的分析方法
（1)选取研究对象，确定轨道平面、圆心位置和轨迹半径.
（2）分析受力情况，明确向心力来源.
（3）沿向心加速度方向建立方程。

生1
根据圆周运动向心力公式,可知上图2-2—4中的甲图：
v2
mg+N=
R
式中关系说明物体的速度越小，弹力越小.
当N＝0,物体所受的合外力最小为mg,
v=gR
此速度值是物体做圆周运动在最高点的最小速度.如果速度再小，人将从圆周顶点掉下来。

生2
汽车或摩托车经过拱桥顶时,受力如图2—2—4乙，由圆周运动向心力公式可得： mg-N=m R
v 2
,车的速度越大,对桥面的压力越小， 当N ＝0时v=gR
这是汽车在圆弧顶点运动的最大速度，如果汽车的速度再增大，汽车所受的重力将不足以提供圆周运动的向心力,使汽车离开桥面飞起来。

生3
小孩荡秋千在最低点受力如图2-2—4丙图，由圆周运动向心力公式得: N-mg=m R
v 2
秋千的速度越大，对板的压力越大.
讨论与交流
师
杂技演员表演的水流星，水在最高点为什么不会流下来,分析并解释其中的道理.
生
当杂技演员使水流星运动后，速度较大，因为惯性，水有远离圆心的趋势，这样由水桶给水的弹力和水所受的重力作用，使水桶里面的水不能远离水桶。

当水桶的速度v=
gR 时水就不会流出来，如果水流星的速度v ＜gR
水将从桶内流出.
师
好，我们继续再研究一下下面的问题。

取一条细绳,一端系一个小球，另一端用手挥动细绳，使小球在竖直平面内做匀速圆周运动。

小球受几个力作用？能不能说小球受到重力、绳的拉力和向心力三个力的作用？
生
小球受到重力和绳的拉力作用，二者的合力作为圆周运动的向心力，不能说物体又受到向心力的作用。

向心力是根据效果来命名的,它不是特殊性质的力.
课堂训练
1。

在汽车顶棚上拴着一根细绳，细绳下端悬挂一个物体,当汽车在水平面以10 m/s 的速度匀速向右转弯时，细绳与竖直方向的夹角为30°角，汽车转弯半径为多大？（g 取10 m/s 2）
2。

一根长度为r=40 cm 的细杆，一端可绕水平固定轴O 转动，一端固定一个质量为m=1 kg 的小球.
(1）当小球以速度v=4 m/s 的速度经过圆周运动的最低点时，球对杆的作用力是多大？
（2）当小球以v=1 m/s 的速度通过最高点时，小球对杆的作用力是多大？(g 取10 m/s 2）
3.铁路转弯处的弯道半径r 是根据地形决定的.弯道处要求外轨道比内轨道高，其内外轨高度差h 的设计不仅与r 有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率.下图表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r 及与之对应的轨道的高度差h 。

弯道半径r/m
660 330 220 165 132 110 内外轨高度
差h/mm
50 100 150 200 250 300
（1)根据表中数据，试导出h 和r 关系式,并求出当r=440 m 时，h 的设计值；
（2)铁路建成后,火车通过弯道时,为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内外轨的间距设计值为L=1 435 mm ，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v （以km/h 为单位，g=9.8 m/s 2,结果取整数）;（路轨倾角很小时，正弦值按正切值处理）
(3）随着人们生活节奏的加快,对交通运输的快捷提出了更高的要求。

为了提高运输力，国家对铁路不断进行提速,这就要求铁路转弯速率也需要提高.请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施。

参考答案
1.解:细绳与竖直方向成30°角，小球只受重力和绳的拉力作用，二者的合力 F ＝mgtan30°.是小球做圆周运动的向心力,由公式F=r m v 2
可得:mgtan30°＝m r
v 2
， 解得：r=g
v 30cot 2, r=17。

32 m.
2。

解：小球通过最高点时对杆的作用力可能是压力，可能是拉力，也可能没有作用力，这取决于小球在最高
点的速度.当球对杆的作用力为零时，由mg ＝m r
v 2
v=gr 得:v ＝2 m/s,这个速度是小球对杆作用力的一个临界值。

（1)当v=4 m/s ＞2 m/s 时，小球所受的重力不足以提供给小球做圆周运动的向心力，此时杆对球的作用力为拉力。

根据小球的受力得:
mg+T ＝m r
v 2
，得T ＝30 N 。

（2）当小球以v=1 m/s ＜2 m/s 的速度通过最高点时,小球所受的重力大于小球做圆周运动所需的向心力,因此杆对小球的作用力为支持力。

根据小球受力
mg-N ＝m r
v 2
，得N ＝37.5 N. 3.解:(1）h=r
k h=75 mm. (2)v=54 km/h
（3)增大轨道半径、增大倾斜角度。

课堂小结
本节重点介绍向心力是根据效果来命名的，通过一些具体实例说明向心力的产生并通过实验感受向心力，得出向心力与质点做圆周运动的物理量之间的关系.
板书设计
第二节 向心力
向心力 1.在圆周运动中物体受到沿半径指向圆心的力，这个力就叫向心力
2。

向心力的方向总是指向圆心的
3.向心力不是特殊性质的力，而是根据效果来命名的
向心力
的大小 1。

向心力与角速度的关系：F=mω2r 2.向心力与线速度的关系：F=r
m v 2
向心加
速度 1。

向心加速度与角速度的关系:a=r
v 2 2。

向心加速度与线速度的关系：a=r
v 2
3。

向心加速度的方向时刻指向圆心
生活中
的向心
力 1.摩擦力作为向心力:公路上汽车转弯 2。

弹力作为向心力：小球在圆环内侧靠弹力 3。

合力作为向心力：圆锥面内侧小球的圆周运动
4.重力作为向心力：水流星表演中水桶里的水在最高点速度恰当时,水只受重力作
用
讨论与
交流 做圆锥摆的小球的向心力是绳的拉力和小球重力的合力
课后习题详解
1.物体做匀速圆周运动时，下列说法是否正确？为什么？
(1）物体必须受到恒力作用；
（2）物体所受合力必须等于零；
（3)物体所受合力的大小可能变化；
（4）物体所受合力大小不变，方向不断改变。

答案：正确答案是（4）。

解析：做圆周运动的物体，由于受到指向圆心的合外力，该力只改变速度的方向，不改变速度的大小，因此物体才能做匀速圆周运动.由于向心力总是指向圆心,方向时刻改变，它不是恒力,也不是零。

根据向心力公式F=mω2r
或F=r
m v 2
可知匀速圆周运动的物体所受合力是大小不变,而方向不断改变.因此答案是（4）。

2.甲、乙两球做匀速圆周运动，向心加速度a 随半径r 变化的关系图象如图2-2-5所示,由图象可以知道( )
图2—2-5
A.甲球运动时，线速度大小保持不变
B.甲球运动时，角速度大小保持不变
C.乙球运动时，线速度大小保持不变
D 。

乙球运动时,角速度大小保持不变
答案：BC
解析：根据图象可知甲球的加速度a 与r 是经过圆点的直线，说明a 与r 成正比。

由向心力公式F=mω2r 可得甲球的角速度是大小不变的,因此选B.乙球的加速度a 与r 的乘积是一个恒量,说明乙球的加速度a 与r 成反比.由公式F=r
m v 2
可得乙球的线速度大小是不变的。

所以选C. 3.分析、比较汽车通过拱形路面和平直路面时对路面的压力大小.
解析：汽车在拱形路面时汽车是运动在圆周运动的一段圆弧上,其所受的重力和拱形路面的支持力的合力是汽车
做圆周运动的向心力，根据公式F=r m v 2,F=mg-N ，可得：mg-N=m r v 2, N=mg-m r
v 2。

而在平直公路上汽车在竖直方向上合力等于零，所以N=mg ，根据牛顿第三定律可知汽车对拱形路面的压力小于平直路面上的压力。

4。

在一段半径为R 的圆形水平弯道上，已知路面对汽车轮胎的最大静摩擦力是车重的μ倍（μ＜1)，则汽车拐弯时的安全速度是多大?
解析：由F=μmg=m R v 2得v=gR μ. 5。

如图2—2-6所示，飞机俯冲时，在最低点附近做半径为R 的圆周运动，这时飞行员超重达到其自身的3倍，求此时飞机的飞行速度为多大。

图2-2—6
解析：因为F —mg=m R v 2,所以F=m R
v 2
+mg=3mg ，解得v=gR 2.
备课资料
弯道如何适应火车提速
在平直轨道上匀速行驶的火车,所受的合力等于零，在火车转弯时，一定要有提供火车转弯做圆周运动的向心力。

如果在转弯处内外轨一样高,外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变,外轨对轮缘的弹力就是使火车转弯的向心力。

火车质量很大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间相互作用力很大,铁轨容易受到损坏.
图2-2-7
一般在火车转弯处使外轨略高于内轨，火车在转弯处,铁轨对火车的支持力N 的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G 的合力指向圆心,如图2-2-7所示。

设N 与G 的夹角为θ.
（1）若火车行驶速度选择合适，支持力N 与重力G 的合力F 刚好提供火车转弯所需的向心力，此时轮缘与铁轨间无相互挤压力。

由F ＝mgtanθ＝m R
v 2
v 0=θtan Rg
设内外轨间距为L,则内外轨高度差为:h ＝Lsinθ.当θ很小时,
sinθ＝tanθ＝gR v 2
所以：h=gR
Lv 2
0 上式表明，两轨高度差不仅与弯道的曲率半径有关，还与火车在弯道行驶速率有关.由于铁路内外轨宽度L 是一个定值，铁路弯道处曲率半径R 也是由当地地形条件决定的，所以,实际上某弯道处内外轨高度差仅由火车速率决定.这也表明,铁路弯道建成后，火车行驶速率是内外轨高度差约束的，而不是火车司机想快就快,想慢就慢的，必须要求司机按规定速度行驶.不然，铁路的内外轨都有可能受到火车轮缘的巨大侧推力而被破坏。

因此火车在弯道处提速时，需要重新调整铁路弯道内外轨的高度差。

（2）当火车在转弯处行驶速度v ＞θtan Rg 时，支持力N 与重力G 的合力F 不足以提供向心力,此时轮缘挤压外轨，外轨对轮缘有一个向里的侧向力N ，则 F ＋N ＝m R
v 2
mgtanθ＋N ＝m R
v 2
所以：N ＝m R
v 2
-mgtanθ 火车行驶速度越大，轮缘与外轨间的挤压力就越大.
（3)火车在转弯处行驶速度v ＜θtan Rg 时，此时轮缘挤压内轨，内轨对轮缘有一个指向外侧的侧向力N′，提供火车转弯所需的向心力为F 与N′的合力
F —N′＝m R v 2即mgtanθ—N′＝m R
v 2
所以 N′＝mgtanθ-m R
v 2。

火车行驶速度越小,轮缘与内轨间的挤压力就越大.。