辽宁省本溪市中学2018-2019学年高三数学文期末试卷含解析

辽宁省本溪市中学2018-2019学年高三数学文期末试卷
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知复数为实数，为虚数单位，则实数m的值为()
A、-2
B、
C、2
D、
参考答案：
A
2. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形，若
，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是 A． B．
C． D．
参考答案：
A
3. 若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与点对(Q,P)为同一个“友
好点对”).已知函数f(x)=则f(x)的“友好点对”有（）个. A．0 B．1 C．2 D．4
参考答案：
C
4. 已知全集U = R，集合，，则
A．B．C．D．R
参考答案：
A
5. 集合，集合,则（）
A B C D
参考答案：
C
略
6. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x﹣6，则f（f（2））=
（）
A．﹣B．C．﹣2 D．2
参考答案：
D
【考点】3T：函数的值．
【分析】当x＜0时，f（x）=﹣+6，先求出f（2）=22﹣6=﹣2，从而f（f（2））=f （﹣2），由此能求出结果．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
当x＞0时，f（x）=2x﹣6，
∴当x＜0时，f（x）=﹣+6，
∴f（2）=22﹣6=﹣2，
f（f（2））=f（﹣2）=﹣+6=2．
故选：D．
7. 如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）设直角三角形有一内角为
30°，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为( )
A．134 B．67 C．182 D．108
参考答案：
B
设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为，，
则小正方形的边长为，小正方形的面积，
则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为
．
8. 已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC．则下列结论正确的个数是
①CD//平面PAF ②DF⊥平面PAF③CF//平面PAB ④CF//平面
PAD（）
A．1 B．2 试 C．3 D．4
参考答案：
C
略
9. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的体积为（）
A．B． C. D．
参考答案：
D
几何体为如图，所以外接球的半径R满足,体积为，选D
10.
已知实数满足不等式组,且的最小值为,则实常数的取值范围是( ).
A.
B. C.
D.
参考答案：
答案：B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数y＝|x－a|＋|x－1|的图象关于直线x＝－1对称，则实数的值是________．参考答案：
略
12. 已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边为x轴的正半轴，终边上有一点P的坐标为(3,－4)，则______.
参考答案：
【分析】
根据三角函数的定义，求出，，利用诱导公式即可求解.
【详解】由题意有，，
则.
故答案为
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，属于中档题.
13. 设等差数列的前项和为，已知.则公差的取值范围是。

参考答案：
14. 若点G为△ABC的重心，且AG⊥BG，则sinC的最大值为．
参考答案：
【考点】三角形五心．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系，设AB=2，点C的坐标为
（x，y），可得G（，）．根据AG⊥BG建立x、y的关系式，化简整理得x2+y2=9，得到点C在以原点为圆心，半径为3的圆上运动（x轴上两点除外）．运动点C并加以观察可得当C点在y轴时，∠C达到最大值，且sinC同时达到最大值，由此结合三角函数公式即可算出sinC的最大值．
【解答】解：设AB中点为O，连接AO，可得重心G在CO上且=
以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立如图所示直角坐标系
设AB=2，则A（﹣1，0），B（1，0），
设C（x，y），可得G（，）
∵AG⊥BG，∴点G在以AB为直径的圆上运动（A、B两点除外）
由此可得（）2+（）2=1，整理得x2+y2=9
因此，点C在以原点为圆心，半径为3的圆上运动（x轴上两点除外）
在点C的运动中观察∠C的变化，可得当C点在y轴时，∠C达到最大值
而且sinC同时达到最大值．
此时tan=，可得sinC==
故选：
【点评】本题给出三角形的重心G对A、B的张角为直角，求角C的正弦最大值，着重考查了三角形重心的性质、圆的标准方程和三角恒等变换等知识，属于中档题．
15. 不等式，对恒成立的实数的取值范围
参考答案：
略
16. 复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为．
参考答案：
4
分析：化简复数为a+bi（a，b∈R），然后由复数的实部等于零且虚部不等于0求出实数a的值．
解答：解：=．∵复数是纯虚数
∴，解得：a=4．
故答案为：4．
点评：本题考查了复数的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
17. 已知公差不为的等差数列的首项，且，，成等比数列，则数列
的通项公式为____________．
参考答案：
设等差数列的公差为．
∵，，成等比数列，，
∴，即，
解得或（舍去），
故的通项公式为，即．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（，为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
，若直线l与曲线C相切；
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）在曲线C上取两点M，N与原点O构成，且满足，求面积的最大值.
参考答案：
（Ⅰ）由题意可知直线的直角坐标方程为，
曲线是圆心为，半径为的圆，直线与曲线相切，可得：
；可知曲线C的方程为，
所以曲线C的极坐标方程为，
即.
(Ⅱ)由（1）不妨设M（），，（），
，
，
当时，，
所以△MON面积的最大值为.
19. 设为常数）
（1）当时，求的最小值；
（2）求所有使的值域为的的值.
参考答案：
解．(1)设
当即时，
（2）
当，即时，舍去
当，即
略
20. （本小题满分12分）
已知圆，点，以线段AB为直径的圆内切于圆，记点B的轨迹为.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）直线AB交圆于C，D两点，当B为CD中点时，求直线AB的方程.
参考答案：
（1）；（2）或.
其中，a＝2，，b＝1，则
曲线Γ的方程为．…5分
或．…12分
考点：椭圆的标准方程和几何性质、直线的标准方程和几何性质.
21. （1）求不等式（）x＞（）x﹣1的解集
（2）求函数的递增区间．
参考答案：
【考点】7J：指、对数不等式的解法．
【分析】（1）根据指数函数的性质得到关于x的不等式，解出即可；（2）根据复合函数的性质求出函数的递增区间即可．
【解答】解：（1）∵（）x＞（）x﹣1，
∴＜，
∴2x＜x﹣1，
解得：x＜﹣1，
故不等式的解集是：（﹣∞，﹣1）；
（2）令f（x）=x2+2x+2，对称轴x=﹣1，
故f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，
故在（﹣∞，1）递增．
22. （本小题满分12分）在中，、、分别是三内角、、的对边，已知
．
（1）求角的大小；
（2）若，判断的形状．
参考答案：
（1），又，∴.
（2）∵，∴
∴，
∴，∴，
∴，∵，∴, ∴为等边三角形．。