九年级上册数学 一元二次方程易错题(Word版 含答案)

九年级上册数学 一元二次方程易错题（Word 版 含答案）

一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）

1．如图，在四边形ABCD 中，9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=︒===，，点

P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动，点M 从点A 出发以15/cm s 的速

度沿AB 向点B 匀速移动，点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动．点

P M N 、、同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时

间为ts ． （1）如图①，

①当a 为何值时，点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值； ②连接AP BD 、交于点E ，当AP BD ⊥时，求出t 的值； （2）如图②，连接AN MD 、交于点F ．当38

83

a t ==

，时，证明：ADF CDF S S ∆∆=．

【答案】（1）① 2.5t =， 1.1a =或2t =，0.5a =；②1t =；（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）①当PBM PCN ≅△△时或当MBP PCN ≅△△时，分别列出方程即可解决问题； ②当AP BD ⊥时，由ABP BCD ≅△△，推出BP CD =，列出方程即可解决问题； （2）如图②中，连接AC 交MD 于O 只要证明AOM COD ≅△△，推出OA OC =，可得ADO CDO S S ∆∆=，AFO CFO S S ∆∆=，推出ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆-=-，即ADF CDF S S ∆∆=；

【详解】

解：（1）①90ABC BCD ∠=∠=︒，

∴当PBM PCN ≅△△时，有BM NC =，即5t t -=①

5 1.54t at -=-②

由①②可得 1.1a =， 2.5t =．

当MBP PCN ≅△△时，有BM PC =，BP NC =，即5 1.5t t -=③ 54t at -=-④，

由③④可得0.5a =，2t =．

综上所述，当 1.1a =， 2.5t =或0.5a =，2t =时，以P 、B 、M 为顶点的三角形与

PCN △全等； ②AP BD ⊥，

90BEP ∴∠=︒，

90APB CBD ∴∠+∠=︒，

90ABC ∠=︒，

90APB BAP ∴∠+∠=︒， BAP CBD ∴∠=∠，

在ABP △和BCD 中，

BAP CBD AB BC

ABC BCD ∠=∠⎧⎪

=⎨⎪∠=∠⎩

， ()ABP BCD ASA ∴≅△△，

BP CD ∴=， 即54t -=， 1t ∴=；

（2）当38a =，8

3

t =时，1DN at ==，而4CD =，

DN CD ∴<，

∴点N 在点C 、D 之间， 1.54AM t ==，4CD =， AM CD ∴=，

如图②中，连接AC 交MD 于O ， 90ABC BCD ∠=∠=︒， 180ABC BCD ∴∠+∠=︒， //AB BC ∴，

AMD CDM ∴∠=∠，BAC DCA ∠=∠， 在AOM 和COD △中， AMD CDM AM CD

BAC DCA ∠=∠⎧⎪

=⎨⎪∠=∠⎩

， ()AOM COD ASA ∴≅△△，

OA OC ∴=，

ADO CDO S S ∆∆∴=，AFO CFO S S ∆∆=， ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆∴-=-， ADF CDF S S ∆∆∴=．

【点睛】

本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

2．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒

（1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积

的7

9

，求t的值；

（2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值．

【答案】（1）t1＝2，t2＝4；（2）t 4

7

7

58．

【解析】

【分析】

（1）先求出△ABC的面积，然后根据题意可得AP＝t，CP＝6﹣t，然后再△PBC与△PAD

的面积和是△ABC的面积的7

9

，列出方程、解方程即可解答；

（2）根据不同时间段分三种情况进行解答即可.【详解】

（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，∴S△ABC＝1

2

×6×6＝18，

∵AP＝t，CP＝6﹣t，

∴△PBC与△PAD的面积和＝1

2t2+

1

2

×6×（6﹣t），

∵△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的7

9

，

∴1

2t2+

1

2

×6×（6﹣t）＝18×

7

9

，

解之，得t1＝2，t2＝4；（2）∵AP＝t，PQ＝2AP，∴PQ＝2t，

①如图1，当0≤t≤2时，S＝（2t）2﹣1

2

t2＝

7

2

t2＝8，

解得：t1＝4

7

7

，t2＝﹣

4

7

7

（不合题意，舍去），

②如图2，当2≤t≤3时，S＝1

2

×6×6﹣

1

2

t2﹣

1

2

（6﹣2t）2＝12t﹣

2

5

t2＝8，

解得：t1＝4（不合题意，舍去），t2＝4

5

（不合题意，舍去），

③如图3，当3≤t≤6时，S＝1

2

6×6﹣

1

2

t2＝8，

解得：t1＝25，t2＝﹣25（不合题意，舍去），

综上，t的值为4

7

7或25时，重叠面积为8．

【点睛】

本题考查了三角形和矩形上的动点问题，根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键.

3．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长．

【答案】（1）k＞3

4

；（215

【解析】【分析】