第03章 导数与定积分 变式题答案

第三章 导数与定积分
例3.1变式1
解析因为()()()()()000000
02233
lim lim 2232
x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-'==⋅=∆∆，故选B
解析
()()()()()()()
00000000
033lim
lim
x x f x x f x x f x x f x f x f x x f x x x
∆→∆→+∆--∆+∆-+--∆'==∆∆ ()()()()()()()()000000000
00033lim
lim lim 3lim 3x x x x f x x f x f x f x x f x x f x f x f x x x x x x
∆→∆→∆→∆→+∆---∆+∆---∆=+=+⋅∆∆∆∆
()()()00034f x f x f x '''=+=。

故选D 。

例3.2变式1
解析 （1
）2313y x -'== （2）111ln ln 2222x
x
y ⎛⎫⎛⎫
'==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
（3）1
ln 3
y x '=
（4）()cos sin y x x ''==-。

例3.3变式1
分析 灵活运用复合函数的求导。

解析 （1）3
214y x x '=+；（2）ln 1y x '=+； （3）()()()
2211x
x x x x x x e e xe x
y e e e ---'===；
（4）()sin cos x
y e x x '=+ ；
（5）()()()()()()()()()
222
23123121232351111x x x x x x x y x x x x '''-+--++---⎛
⎫'==== ⎪+⎝⎭+++ 例3.3变式2
解析 （1）2
3221111y x x x x x x ⎛
⎫=+
+=++ ⎪⎝
⎭，故2323y x x
'=-； （2）()2
2cos sin 2cos sin y x x x x x x x x '=-=-； （3）2
cos sin x x x
y x -'=
； （4）
()()()()2222sin cos sin cos cos sin sin sin 1tan cos cos cos cos x x x x x x x x y x x x x x '''---⎛⎫
''===== ⎪
⎝⎭
例3.4变式1
解析 （1）221y x '=+； （2）2cos 24y x π⎛
⎫'=- ⎪⎝⎭：
（3）21
2233
22
ln 22ln 23535
x x y x x ++'=⋅+
=+
++： （4）()()()
2222222213x x x y x e x x e x e ---'=+-+-=-
例3.5变式1
解析 因为函数()f x 是偶函数，其图像关于y 轴对称，所以函数()f x 在点()()
1,1f 处的切线斜率与在点()()
1,1f --处的切线斜率相反，故曲线在点()()
1,1f --处的切线的斜率为-1。

评注 可导偶函数的导函数为奇函数，可导奇函数的导函数为偶函数。

例3.6变式1
解析 依题意，函数()f x 在点()()
2,2f 处的导函数值为
3
2
，即()()312,2x x f f x ae ae
''==-，令2x =，得()2213
22f ae ae '=-=，所以22ae =或
212ae =-，又0a >，故22a e =，又()23f =，得2213ae b ae
++=，所以1
2b =。

例3.6变式2
解析 依题意，()()()
()1111f g f g =⎧⎪⎨
''=⎪⎩，得1123a b a b +=+⎧⎨=+⎩，所以33a b =⎧⎨=⎩。

例3.6变式3
解析 （1）()()2
366,10f x ax x a f ''=+--=，即2
3660ax x a +-=，所以2a =-。

（2）设曲线()y f x =在点()()
11,x f x 的切线方程为()()()111y f x f x x x '-=-，即
()()()3221111112312116612y x x x x x x x --++-=-++-，则2
113
2
11
661243119k x x x x ⎧=-++⎨--=⎩①②曲线()y g x =在点()()
22,x f x 处的切线方程为()()()222y f x f x x x '-=-，即
()()()2
2222361266y x x x x x -++=+-，则22
2663129
x k x +=⎧⎨-+=⎩③④，由④得，21x =±，当21x =时，12k =代入①得211661212x x -++=，则10x =或11x =，显然10x =或11
x =均不满足②式，故舍去。

当11,0x k =-=代入①得21166120x x -++=，即2
1120x x ---=，所以11x =-或12x =，
将11x =-代入②中不满足方程②；将12x =代入②中满足方程，综上所述，公切线是9y =，此时0k =。

例3.7变式1
解析 利用互为反函数的函数图象性质结合导数求解。

由题意知函数12
x
y e =
与()ln 2y x =互为反函数，其图像关于直线y x =对称，两曲线上点之间的最小距离是y x
=与12x y e =
上点的最小距离的2倍，设1
2
x y e =在点()00,x y 处的切线与y x =平行，有00011,ln 2,12
x e x y ===，所以y x =与1
2x y e =
上点的最小距离是)1ln 22-，所求距
))1ln 221ln 2-⨯=-，故选B ， 例3.8变式1
分析 利用导函数与原函数的关系判断，关键是找合适的图像作原函数和导函数。

解析 有原函数与导函数的关系：当()f x 递增时，()0f x '>；当()f x 递减时，
()0f x '<；当()f x 取到极值时，()0f x '=，在选项D 中，无论是导函数()f x '的图像
在上或在下，()f x 都应是单调函数，由此可判断选项D 不可能，故选D 。

例3.8变式2
解析 由()y xf x '=的图像知，()()110f f ''=-=，结合图像知1x =±是函数()f x 的极值点，又因为函数()f x 在()1,0-上，()0f x '<；函数()f x 在()0,1上，()0f x '<，因此在()1,1-上，()f x 单调递减。

故选C 。

例3.8变式3
解析 设()()x h x f x e =，
则()()()()
2222x x x h x ax b e ax bx c e ax ax bx b c e '=++++=++++。

由1x =-为函数()x f x e 的一个极值点，得当1x =-时，
220ax ax bx b c c a ++++=-=，所以c a =，所以()2f x ax bx a =++，若方程
20ax bx a ++=有两根12,x x ，则121a
x x c
=
=，D 中图像一定不满足该条件，故选D 。

例3.8变式4
解析 ()()
()
()()
()1
1
1
111111m
n n m m m f x max x ax n x ax x m x nx ----'=-+⋅-⋅-=---⎡⎤⎣⎦
()
()1
1
1n m ax
x m m n x --=--+⎡⎤⎣⎦
令()0f x '=，得0,1x =或
m m n +。

依题意1
02
m m n <<+，得m n <，故选B 。

例3.9变式1
解析 （1）()3
46422f x x x x x x ⎛
'=-=+
- ⎝⎭⎝⎭
，令()0f x '<，
即4022x x x ⎛
+
-< ⎝⎭⎝⎭，得,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪ ⎪⎝⎭和0,2x ⎛∈ ⎝⎭
；令()0f x '>，
即40x x x ⎛+-> ⎝⎭⎝⎭，得x ⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭和x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭。

因此，()f x 在区间,⎛
-∞ ⎝⎭和⎛ ⎝⎭上是减函数；()f x 在⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
和
⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
上是增函数。

（2）设点P 坐标为()()
00,x f x ，由l 过原点知，l 的方程为()0y f x x '=，因此
()()000f x x f x '=，即()4230
000036460x x x x x -+--=，整理得()()22
00120x x +-=，解
得0x =0x =y =-或y =。

评注 在求函数单调区间时，若导函数比较简单，也可以直接令()00f x '>或
()00f x '<，从而解出单调区间，而不必列表。

例3.9变式2
解析 （1）因为函数()()2g x f x =-为奇函数，所以对任意的x R ∈，有
()()g x g x -=-，即()()22f x f x --=-+，又()323f x x ax bx c =+++。

所以3
2
3
2
3232x ax bx c x ax bx c -+-+-=----+， 所以22
a a
c c =-⎧⎨
-=-+⎩，解得0,2a c ==。

（2）由（1）知()332f x x bx =++，所以()()2330f x x b b '=+≠，
当0b <时，由()0f x '=得x =x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如表3-13所示：
表3-13
所以当0b <时，函数()f x 在,-∞和+∞上单调递增，在上单调递减；
当0b >时，()0f x '>，此时()f x 在(),-∞+∞上单调递增。

评注 由于题目中的参数b 未知，所以要对b 进行分类讨论，针对b 的不同范围，分别研究函数的单调性，而对b 分类的标准时看()2
330f x x b '=+=是否又不等实根，即
4330b ∆=-⨯⨯>时又不等实根，4330b ∆=-⨯⨯<时无不等实根。

例3.9变式3
解析 令函数()()24g x f x x =--，则()()20g x f x ''=->，所以()g x 为R 上的单调递增函数，又因为()()()112140g f -=--⨯-+=⎡⎤⎣⎦，所以当1x >-时()0g x >，也即()24f x x >+，故所求的不等式()24f x x >+的解集为()1,-+∞，故选B 。

例3.10变式1
解析 由()21x a f x x +=+的定义域为{}1x x ≠，可得()()
22
21x x a
f x x +-'=+。

（1） 因为函数()f x 在点()()
1,1f 处的切线为1
2
y x b =
+， 所以()()112112
f f b ⎧'=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得112
a b =⎧⎪⎨=⎪⎩。

（2）令()0f x '>，得2
20x x a +->。

（*）
①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，不等式（*）在定义域内恒成立，所以此时函数()f x 的单调增区间为(),1-∞-和()1,-+∞；
②当440a ∆=+>，即1a >-时，不等式（*）
的解为1x >-+
1x <-。

又因为1x ≠-，所以()f x
的单调递增区间为(,1-∞-
和()
1-+∞，单
调递减区间为()11--
和(1,1--。

综上所述，当1a ≤-时，()f x 的单调区间为(),1-∞-和()1,-+∞，当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间
为(
,1-∞-
和()
1-++∞，单调递增区间
为
()11--
和(1,1--+。

评注 求解函数的单调区间，不要忽略了定义域。

例3.10变式2
解析 函数()f x 的定义域为()()222
220,,1a x ax f x x x x
-+'+∞=+-=。

设()2
2g x x ax =-+，二次函数()0g x =的判别式2
8a ∆=-。

①当0∆≤时，又0a >
，即0a <≤0x >都有()0f x '≥，此时()f x 在
()0,+∞上是增函数；
②当0∆>时，又0a >，
即a >，方程()0g x =有两个不同的实
根
1222
a a x x ==，且120x x <<。

当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如表3-14所示，
表3-14
此时，()f x 在⎛ ⎝⎭，⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
上单调递增，在
22a a ⎛+ ⎪⎝⎭
上单调递减。

评注 含参讨论求解单调区间从导函数是否有根（变号零点）存在的角度，对k 进行分类讨论。

例3.11变式1
解析 函数()f x 的定义域为R
()()()()22212112122kx kx kx kx
f x ke x x e x kx kx x e kx k x e k ----⎛
⎫'⎡⎤=-+-++=--+++=-+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭ ()()()()2
222211kx
kx kx kx k x e
kx x e ke x x k ---⎛
⎫⎡⎤=-+--=--+=--+ ⎪⎣⎦⎝
⎭，
令()0f x '=，得2
x k
=或1x =-。

①当
21k <-时，即20k -<<，函数()f x 在区间()2,,1,k ⎛
⎫-∞-+∞ ⎪⎝
⎭上单调递增，在
区间2,1k ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递减； ②当
2
1k
=-，即2k =-时，函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递减； ③当210k -<
<，即2k <-时，函数()f x 在区间()2,1,,k ⎛⎫
-∞-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，在区间21,
k ⎛
⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递减。

例3.11变式2
解析 函数()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞U 。

()()2
22211111ax
ax ax ax a x ax a a a
f x ae a e ae a ae x x x
x x ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+++-=++-=⋅
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
①当1a =-时，()
()2
1x x e f x x -+'=
，函数()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间
()()1,0,0,-+∞上单调递增。

②当0a =时，()1f x =，函数()f x 在区间()(),0,0,-∞+∞不具有单调性； ③当1a >-且0a ≠时，
()()()()()22
1111111ax
ax a a e x x ae x a x a f x x x
⎛⎫++- ⎪++-⎡⎤+⎣⎦⎝⎭'== 令()0f x '=，解得1x =-或11x a =+，又1
11
a >-+。

i ）
当()10a a +>，即0a >时，函数()f x 在区间()1,1,,1a ⎛⎫
-∞-+∞
⎪+⎝⎭
上单调递增，在区间()11,0,0,
1a ⎛
⎫
- ⎪+⎝⎭
上单调递减。

ii ）
当()10a a +<，即10a -<<时，函数()f x 在区间()1,1,,1a ⎛⎫
-∞-+∞
⎪+⎝⎭
上单调递增，在区间()11,0,0,
1a ⎛
⎫
- ⎪+⎝⎭
上单调递增。

综上，当1a =-时，函数()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()()1,00,-+∞上单调递增；
当10a -<<时，函数()f x 在区间()1,1,,1a ⎛⎫
-∞-+∞
⎪+⎝⎭
上单调递减，在区间()11,0,0,1a ⎛
⎫- ⎪+⎝⎭
上单调递增；
当0a =时，函数在区间()(),0,0,-∞+∞上不具单调性； 当0a >时，函数()f x 在区间()1,1,,1a ⎛⎫
-∞-+∞
⎪+⎝⎭
上单调递增，在区间()11,0,0,
1a ⎛⎫
- ⎪+⎝⎭
上单调递减。

例3.12变式1
解析 ()()()
()
()
()
22
222
2
2
2
2
20a x b ax a x b ax ab
f x x
b x
b x
b +----+'=
=
=
≥+++在()1,1-内恒成立，
则2
0x b -≤在()1,1-内恒成立，得1b ≥，所以b 的取值范围是[)1,+∞。

例3.12变式2
解析 （1）当1a =时，()()
22x f x x x e =-，故()()
22x f x x e '=-，令()0f x '=，
得x =()(),f x f x '随x 的变化情况如表3-15所示。

由表3-15可知，x =()f
x 的极小值点，x =()f x 的极大值点。

（2）()(
)
2
2
222ax
f x ax a x a e ⎡⎤'
=-+-+⎣
⎦
，由函数()f x 在区间(上单调递
增可知，()0f x '≥对任意的)
x ∈恒成立，当0a =时，()2f x x '=-，显然不
满足条件；
当0a >时，()0f x '≥等价于()
2
2
2220ax a x a ---≤。

令()()
2
2
222g x ax a x a =---，由开口向上的二次函数性质可知，若在
)
2上恒
有()0g x ≤，只要()020g g ⎧≤⎪
⎨≤⎪⎩，即)()22
22220422220
a a a a a a ⎧--≤⎪⎨---≤⎪⎩，
解得11
a a a a ≥⎧⎪
⎨≥
⎩≤-≤⎪或，故a
的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎣⎭。

评注 对于第（2）问依然利用二次函数的有关结论解题。

例3.12变式3
解析 （1）由题意知，()12f -=且()13f '-=-，即()()12
1323
f a b f a b -=-+=⎧⎪⎨
'-=-=-⎪⎩，解
得13
a b =⎧⎨
=⎩。

所以()32
3f x x x =+。

（2）()3
36f x x x '=+，令()0f x '≥得2x ≤-或0x ≥，所以()f x 在区间(],2-∞-和
[)0,+∞上均是增函数。

由题意，()f x 在区间[],1m m +上单调递增，则[](],1,2m m +⊆-∞-或
[][)
,10,m m +⊆+∞，所以12m +≤-或0m ≥，故m 的取值范围是
(][),30,-∞-+∞U 。

评注 本题中，函数()f x 的解析式不含参数，而区间[],1m m +含有参数，应着眼于
[],1m m +与()f x 的增区间的关系解题。

例3.13变式1
解析 依题意，()()2
3215f x x k x k '=+-++，因为函数()f x 在()0,3上不单调，
过意导函数()f x '在区间()0,3上存在变号零点，也即()0f x '=存在变号实根。

令()()2
32150f x x k x k '=+-++=，分离自变量x 与参数变量k ，则
()2325,0,321x x k x x -+-=∈+，令()()2325,0,321
x x h x x x -+-=∈+，由题意，需k 在
()h x 的值域内，令()1
211,7,2
t t x x -=+∈=
，则 ()()()
2
1315316395221,1,7442
t t h x g t t t t t t t t -⎛⎫-+-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭===--++-=-++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
由[)9
6,10t t
+
∈，则k 的取值范围为(]5,2--。

经检验，2k =-时，()()2
2363310f x x x x '=-+=-≥在区间()0,3上恒成立，即函数()f x 在区间()0,3上单调递增，与已知矛盾，故k 的取值范围为()5,2--。

评注 本题也可以利用补集的思想求解，易知对(),x R f x ∀∈都不是常量函数，又若
()f x 在()0,3上单调递增()()(]2325
,5,221
x x k h x h x x -+-⇒≥=
∈--+，所以()max 2k h x ≥=-，又若()f x 在()0,3上单调递减()()(],5,2k h x h x ⇒≤∈--，所以5k ≤-，
综上，当(][),52,k ∈-∞--+∞U 时，函数()f x 在()0,3上是单调函数，所以，当k 属于以上范围的补集时，即()5,2k ∈--时，()f x 在()0,3上不单调。

例3.14变式1
解析 依题意，知()[)2210,2,f x mx x x '=+->∈+∞有解等价于[)2
12,2,x
m x x ->∈+∞有解，令()22
1212
x x x x x
ϕ-=
=-，设110,2t x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦。

得()()2
2
1211,0,2
g t t t t t ⎛⎤=-=--∈ ⎥⎝
⎦
函数()g t 在10,2⎛⎤ ⎥⎝
⎦
上单调递减，所以()min 34g t =-，故()min 3
4
m g t >=-，因此，实
数m 的取值范围为3,4⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭。

例3.16变式1
解析 利用极值的存在条件判定，
当2x <-时，()()10y x f x '=->，得()0f x '>； 当21x -<<时，()()10y x f x '=-<，得()0f x '<； 当12x <<时，()()10y x f x '=->，得()0f x '<； 当2x >时，()()10y x f x '=-<，得()0f x '>。

所以()f x 在(),2-∞-上是增函数，在()2,2-上是减函数，在()2,+∞上是增函数，所以函数()f x 有极大值()2f -和极小值()2f ，故选D 。

例3.16变式2
解析 ()21222f x x ax b '=--，因为()f x 在1x =处有极值，所以
()
112220f a b '=--=，所以6a b +=，又0,0a b >>，所以a b +≥
所以6≤，所以9ab ≤，当且仅当3a b ==时等号成立，所以ab 的最大值为9，故选D 。

例3.17变式1
解析 （1）函数()f x 的定义域为()()2210,,a x a
f x x x x
-'+∞=
-=，因为0a <，所以()0f x '>，函数()f x 在其定义域()0,+∞上是单调递增的。

（2） 令()0f x '=得x a =（分析导函数的零点与区间位置关系）
①当1a ≤时，()0f x '≥，函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，其最小值为()11f a =≤，这样函数在[]1,e 上的最小值是
3
2
相矛盾； ②当1a e <<时，在[)1,e 上有()0f x '<，函数()f x 单调递减，在(],a e 上有()0f x '<，
函数()f x 的最小值()ln 1f a a =+，由3
ln 12
a +=
，得a = ③当a e ≥时，在[]1,e 上有()0f x '≤，函数()f x 单调递减，其最小值为()12a
f e e
=+≥，这与最小值是
3
2
相矛盾。

综上所述，a
例3.17变式2
解析 （1）()()()1,1,1x a ax f x x x --'=∈-+∞+，依题意，令()20f '=，解得1
3
a =，
经检验，1
3
a =
符合题意。

（2）①当0a =时，()1
x
f x x '=
+，故()f x 的单调递增区间是()0,+∞，单调递减区
间是()1,0-。

令()0f x '=，得121
0,1x x a
==-。

②当1
10a
->，即01a <<时，()f x 与()f x '的情况如表3-16所示。

表3-16
所以，()f x 的单调递增区间是10,1a ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间时()1,0-，11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭。

③当
1
10a -=，即1a =时，()f x 的单调递减区间是()1,-+∞。

④当1
10a
-<，即1a >时，()f x 与()f x '的情况如表3-17所示。

表3-17
所以，()f x 的单调递增区间是11,0a ⎛⎫-
⎪⎝⎭，单调递减区间是11,1a ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭，()0,+∞。

⑤当0a <时，1
11a
-<-，()f x 的单调递增区间是()0,+∞，单调递减区间是()1,0-。

综上，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间是()0,+∞，单调递减区间是()1,0-，当
01a <<时，()f x 的单调递增区间是10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间是()1,0-，11,a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭。

当1a =时，()f x 的单调递减区间是()1,-+∞，当1a >时，()f x 的单调递增区间是
11,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间是()11,1,0,a ⎛
⎫--+∞ ⎪⎝⎭。

（3）由（2）知当0a ≤时，()f x 在[)0,+∞上单调递增，由()()[)00,0,0,f f x x =≥∈+∞与题意不符，故舍去。

当01a <<时，()f x 在[)0,+∞上的最大值为11f a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，由()1100f f a ⎛⎫
->= ⎪⎝⎭
知不符合题意。

当1a ≥时，()f x 在[)0,+∞上单调递减，可得()f x 在[)0,+∞上的最大值是()00f =，符合题意。

所以()f x 在[)0,+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[)1,+∞。

例3.18变式1
分析 在第（2）问中，可构造()()()F x f x g x =-，将问题转化为()0F x =在[)2,0-上有两个不同的根的问题。

解析 （1）()2
321f x ax bx '=+-，且1x =和2x =时，()f x 取得极值，所以
()()132********f a b f a b '=+-=⎧⎪⎨'=+-=⎪⎩，得1634
a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩，故()321364f x x x x =-+-。

（2）令()()()32321313
326464
F x f x g x x x x x m x x x m =-=-
+-++=-+++。

由题意()y f x =与()3g x x m =--在[]2,0-上有2个交点等价于()0F x =在[]2,0-上有2个不等根，令()213
2022
F x x x '=-
++=，得4x =-或1x =-。

如表3-18所示，()F x 在1x =-处取得极小值，在4x =处取得极大值，此时()F x 在
[]2,1--上单调递减，在[]1,0-上单调递增。

若要()0F x =在[]2,0-上有两个不同的交点，只需要()()()201000F F F -≥⎧⎪
-<⎨⎪≥⎩
，
即()()()()()()32321
322220641
3112106
40m m m ⎧-⨯-+⨯-+⨯-+≥⎪⎪
⎪-⨯-+⨯-+⨯-+<⎨⎪≥⎪⎪⎩
解得13012m ≤<
，故m 的取值范围是130,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭。

评注 第（2）问构造新函数后，问题转化为()F x 在[)2,0-上有两个实根的问题，结合()F x 在[)2,0-上的单调性先减后增，只需要()F x 在区间的端点处函数值大于等于0并且
()0F x <极小即可。

对于在某个区间只有一个极值点的函数()F x 的根的分别情况，可以类比二次函数根的分布模型讨论，二次函数的对称对称轴2b
x a
=-
本质上是极值点，判别式0,0∆>∆<或0∆=本质上是极值0>，极值0<或极值0=，所以通过类比二次函数根的分布，可以找到在给定区间上只有一个极值点的类二次函数根的分布的充要条件，这点在解题中很有用处。

例3.18变式2
解析 （1）()()2
323,13230,f x ax bx f a b ''=+-=+-= ①
()132f a b =+-=- ②
由①， ②得()3
1,0,3a b f x x x ===-
（2）由()()32
3,33f x x x f x x '=-=-，令()0f x '=，即2
330x -=，解得
121,1x x =-=，函数()f x 在[](]2,1,1,2--上单调递增，在()1,1-上单调递减，()f x 在
[]2,2-上的最大值为()(){}max 1,22f f -=，最小值为()(){}min 1,22f f -=-，故
[]12,2,2x x ∀∈-时，()()()()12max min 4f x f x f x f x -≤-=，所以4c ≥，即实数c 的
最小值为4。

（3）依题意，设曲线3
3y x x =-上的切点坐标为()
2
000,3x x x -，切线方程为
()()()320000333y x x x x x --=--，即()23
00332y x x x =--，又切线过点()2,m ，则()2332
00002332266m x x x x =--=-+-，若过点()()2,2M m m ≠可以作曲线()y f x =的三条切线，则方程32
00266m x x =-+-有三个不等式实根。

令()()()322266,.61262g x x x x R g x x x x '=-+-∈=+=--，令()0g x '=，解得
120,2x x ==。

函数()g x 在(),0-∞和()2,+∞上单调递减，在()0,2上单调递增，()g x 在
(),0-∞和()2,+∞上单调递减，在()0,2上单调递增，()g x 的极小值()()06,g g x =-的
极小值为()22g =。

所以当()6,2m ∈-时，过点M 可作曲线()y f x =的三条曲线。

例3.19变式1
解析 （1）函数的定义域为()1,-+∞，()()()2212111
x x f x x x x +⎡
⎤'=+-
=⎢⎥++⎣
⎦， 由1,10,20x x x >-+>+>，故()f x '的符号由x 的符号确定，由()0f x '>得0x >；由
()0f x '<得10x -<<，所以()f x 的单调增区间是()0,+∞，单调递减区间是()1,0-。

（2）当1
1,1x e e ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦
时，不等式()f x m <恒成立等价于()max f x m <。

由（1）知()
f x 在11,0e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，在[]0,1e -上递增，又()2
211
12,12f f e e e e
⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭，且22122e e ->
+，所以当11,1x e e ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦
时，()f x 的最大值为22e -，故当2
2m e >-时，不等式()f x m <恒成立。

（3）由方程()2
f x x x a =++得()12ln 10x a x -+-+=，
记()()()12ln 1,1,g x x a x x -+-+∈-+∞。

则()21
111
x g x x x -'=-
=++，由()0g x '>，得1x >或1x <-（舍）；由()0g x '<，得11x -<<。

所以()g x 在[]0,1上单调递减，在[]1,2上单调递增，为使方程()2
f x x x a =++在区间[]0,2上恰好有两个相异的实根，只需要
()0g x =在[]0,1和(]1,2上各有一个实根，如图3-19所示，
于是有
()
()
()
00
10
20
g
g
g
≥
⎧
⎪
<
⎨
⎪≥
⎩
，解得22ln232ln3
a
-<<-，所以a的范围是()
22ln2,32ln3
--。

评注在第（3）问中，()
1
1
x
g x
x
-
'=
+
在[]
0,1上递减，在[]
1,2上递增，1
x=为极小值点，其形式类似于开口向上的二次函数，故()0
g x=在[]
0,2上有两个相异的实根，可类比二次函数根的分布写出所需的充要条件。

例3.19变式2
解析()1
ax
f x ae
'=-，令()0
f x
'=，得
1
ax
e
a
=。

当0
a<时，()0
f x
'<，函数()
f x 是R上的单调递减，且()01
f=，故当0
x>时，()1
f x<，则与题设中对一切x R
∈，()1
f x≥相矛盾，又0
a≠，故0
a>，由()0
f x
'=得
11
ln
x
a a
=。

当
11
ln
x
a a
<时，()()
0,
f x f x
'<单调递减；当()()
11
ln0,
x f x f x
a a
'
>>单调递增；
故当
11
ln
x
a a
=时，()
f x取最小值
11111
ln ln
f
a a a a a
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
，于是对一切()
,1
x R f x
∈≥恒成立，当且仅当()()
111
ln10,*
a
a a a
-≥>
令
1
t
a
=，则()ln
g t t t t
=-，则()ln
g t t
'=-。

当01
t<<时，()0
g t'>，()
g t单调递增，当1
t>时，()0
g t'<，()
g t单调递减，故当1
t=时，()
g t取最大值()11
g=，因此当且仅当
1
1
a
=，即1
a=时()*式成立，综上所述，a的取值集合为{}1。

例3.20变式1
解析 （1）函数()f x 的定义域为{}
x x a >-，令()11
10x a f x x a x a
+-'=-
==++，得1x a =-，
当(),1x a a ∈--时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当()1,x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增。

则当1x a =-时，()f x 取得最小值为()()11ln 110f a a a a a -=---+=-=，得1a =。

（3）由（1）知，()()ln 1f x a x =-+，故()00f =，满足()00f ≤，故构造函数
()()2ln 1,0g x x x kx x =-+-≥，由()()1100,g 12211g x kx x k x x ⎛⎫'==-
-=- ⎪++⎝⎭
， 又当0x ≥时，()0g x ≤恒成立，则0
1201x k x =⎛⎫
-≤ ⎪+⎝⎭，得1120,2k k -≤≥。

当1
2
k <
时，()00,x ∃∈+∞，使得()00,x x ∈时，()0g x '>恒成立。

函数()g x 在()00,x 上单调递增，故()()00g x g >=与已知矛盾， 故实数k 的最小值为
12。

例3.20变式2
解析 （1）函数()f x 的定义域为{}
0x x >，()1ax
f x x
-'=。

当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增， 当0a >时，令()10f x a x '=
-=，得1x a =，当10x a
<<时，()0f x '>，当1
x a >时，
()0f x '<，故函数()f x 的单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭。

（2）当1x ≥时，()ln 1x f x x ≤
+恒成立，即()ln ln 11
x x a x x --≤+，得()2
ln 10x x a x --≤。

令函数()()
()2
ln 11F x x x a x x =--≥，由()()10,F 1ln 2F x x ax '==+-，要使得
()0,1F x x ≤≥恒成立，则()10F '≤，即120a -≤，得1
2
a ≥（()10F '≤是()0F x ≤恒
成立的必要条件）。

当12a ≥
时，令()()1ln 2g x F x x ax '==+-，则()1
20g x a x
'=-≤，即
()1
20F x a x
'=
-≤，因此()F x '在[)1,+∞上单调递减，故()()10F x F ''≤=，所以函数()F x 在区间[)1,+∞上单调递减，故()()10F x F ≤=。

因此，当12a ≥
时，()()ln 11x f x x x ≤≥+恒成立。

所以，a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。

例3.21变式1
解析 （1）由()222
1a b x ax b
f x x x x --'=--=，得()110,1f a b a b '=--=+= （2）函数定义域为()0,+∞，()()()()222
111x x a x ax a f x x x
---⎡⎤---⎣⎦'==，令()0f x '=得()121,11x x a a ==->。

①当11a -<时，得12a <<，函数()f x 在()()0,1,1,a -+∞上单调递增，在()1,1a -上单调递减；
②当11a -=时，得2a =，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；
③当11a ->时，得2a >，函数()f x 在()()0,1,1,a -+∞上单调递增，在()1,1a -上单调递减。

（3）当3a >，即12a ->时，函数()f x 在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
上为增函数，在(]1,2上为减函数，所
以函数()f x 的最大值为()120f a =-<，因为函数()g x 在1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，所以
()g x 的最小值为2
13024
a
g ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以()()g x f x >在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立。

要存在121,,22m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得()()129f m g m -<成立，只需要()1192g f ⎛⎫
-< ⎪⎝⎭
，即
2
3294
a a ++-<，解得84a -<<，又3a >，所以a 的取值范围是()3,4。

评注 本题的问题是不等式存在性问题，假若问题变为对任意的[]12,0,4ζζ∈，使得
()()121f g ζζ-<成立，求a 的取值范围，则可将其转化为()()12f g ζζ-的最大值小
于1。

例3.21变式1
解析 （1）函数的定义域为{}
0x x >，
()()()()()2
21212221ax a x ax x f x ax a x x x
-++--'=-++==， ①当0a =时，()()
2x f x x
--'=，函数()f x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减；
②当12
a =时，()()()2
11222a x x x a f x x x ⎛
⎫--- ⎪⎝⎭'==，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；
③当12a >
时，()10,2a ∈，函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞上递增，在1,2a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上递增； ④当102a <<
时，12a >，函数()f x 在()10,2,,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减；
⑤当0a <时，
1
2a
<，函数()f x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减。

综上，当0a ≤时，函数()f x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞单调递减； 当102a <<
时，函数()f x 在()10,2,,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，在12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减； 当1
2
a =时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增； 当12a >
时，函数()f x 在()10,,2,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减。

（2）依题意，()()(]()max max max ,0,2,0f x g x x g x <∈=，即()max 0f x <，由（1）知，当1
2a ≤
时，()f x 在(]0,2上递增，()()max 2222ln 20,1ln 2f x f a a ==--+<>-+ 则11ln 2,2a ⎛
⎤
∈-+ ⎥⎝
⎦，当1
2a >
时，
()f x 在(]
0,2上的最大值为
1122ln 02f a a a ⎛⎫
=---< ⎪⎝⎭
，成立。

综上，a 的取值范围是()1ln 2,-++∞。

评注 对于12,x M x I ∀∈∃∈，使得()()12f x g x >，转化为()()12min min f x g x >，
1x M ∈，2x I ∈，对于12,x M x I ∀∈∃∈，使得()()12f x g x <，转化为()()12max max ,f x g x < 12,x M x I ∈∈，可以这样理解，先定()(),f x g x 中的一个，不防先定()f x ，若12,x M x I ∀∈∃∈，()()12f x g x <，则理解为()()12max f x g x <，存在2x I ∈，不等式
成立，再利用反面思考，假如不存在，则()()21max max g x f x ≤，故存在，即为()()21max max g x f x >，对于()(),f x g x 的存在性与恒成立问题先静止一个量是解决问题的关键。

例3.21变式2
解析 （1）()22211122
a
a f x x a x a ax ax '=+-=+-++，
()()21,1210,10,2120,20,0,2
22212
a a f a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫
'=+-=+-=+-+=--== ⎪+⎝⎭+=->=或又得
（2）证明：()()()1221211
a ax x a x a ax a f x ax ax ⎛
⎫+- ⎪
+-+⎝⎭'==++，当02a <≤，
1020111
10
222ax ax a x a ⎧
⎪+>⎪>⎨⎪⎪+-≥+-=⎩
得()0f x '≥，所以()f x 在1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增。

（3）112,2a x <<≥
，由（2）知()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，由01,12x ⎡⎤
∃∈⎢⎥⎣⎦
，不等式()()201f x m a >-成立，得()()2max 1f x m a >-，
即()()()211ln 11,1,22a f a m a a +⎛⎫=+->-∈
⎪
⎝⎭
令()()()()21
ln
11,1,2,10,2
a g a a m a a g +=+-+-∈= ()()()2221221211
121212111
ma m a a ma m g a ma ma a a a a +-+-'=⋅-+=-+==++++，导
函数的零点122m
a m
-=
； ①当0m ≤时，()0g a '<则()()()10,1,2g a g a <=∈，不合题意； ②当
1212m m -≤且0m >，即1
4
m ≥时，()0g a '>，()g a 在()1,2上单调递增，故()()10g a g >=；
③当12122m m -<
<，即1164m <<时，()g a 在1212m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，上递减，在1222m m -⎛⎫
⎪⎝⎭
，上递增，不合题意；
④当
1222m m -≥，即1
6
m ≥时，()g a 在()12，上递减，不合题意. 综上，实数m 的取值范围是1
+4
⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭
，
. 【例3.23变式1】
解析 （1）由()()2
1ln 2ln 0f x x x a x x =--+>
得()()2ln 22ln 210x a x x a
f x x x x x
-+'=-
+=> ()()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>.
于是()()2210x F x x x x
-'=-
=>. 如表3-19所示，()F x 在()0,2内是减函数，在()2,+∞内是增函数，所以在2x =处取得极小值()222ln 22F a =-+.
表3-19
（2）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值()222ln 220F a =-+>，于是由表3-19知，
对一切()0,x ∈+∞，恒有()()0F x xf x '=>，从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在()0,+∞内单调递增，所以当1x >时，()()10f x f >=，即21ln 2ln 0x x a x --+>，故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+. 【例3.23变式2】 解析 （1）()2
=b f x a x '-
，则有()()1011
f a b c f a b =++=⎧⎪⎨'=-=⎪⎩，解得112b a c a =-⎧⎨=-⎩. （2）由（1）知，()1
12a f x ax a x
-=+
+-，令()()ln g x f x x =-= [)112ln ,1,a ax a x x x -++--∈+∞，则()()21110,a g g x a x x
-'==--
()()2
22
111a a x x ax x a a x x -⎛⎫
-- ⎪---⎝⎭==.
①当
11a a ->时，即102a <<时，若11a
x a
-<<
，则()0g x '<，()g x 是减函数，所以()()10g x g <=，即()ln f x x <，故()ln f x x ≥在[)1+∞，上不恒成立;
②当
11a a -≤时，即1
2
a ≥时，若1x >，则()0g x '>，()g x 是增函数，所以()()10g x g >=，即()ln f x x >，故当1x ≥时，()ln f x x ≥.
综上所述，所求a 的取值范围为1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
. （3）解法一：由（2）知，当12a ≥
时，有()()ln 1f x x x ≥≥.令1
2
a =，有()()11=ln 12f x x x x x ⎛⎫-≥≥ ⎪⎝⎭，且当1x >时，11ln 2x x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，令1
k x k
+=，有
111111ln
112121k k k k k k k k ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，即
()111ln 1ln 21k k k k ⎛⎫
+-<
+ ⎪+⎝⎭
()1,2,3,k n =L .将上述n 个不等式次相加得：()()
11111
ln 122321n n n ⎛⎫+<
+++++
⎪+⎝⎭L ，
整理得()()
()1111ln 112321n n n n n +
+++>++≥+L . 解法二：要证明()()
()1111ln 112321n
n n n N n n *+
+++>++≥∈+L ，， 只需证明：
()
111ln 1+21n n n n ⎛⎫
>+ ⎪+⎝⎭，即1111ln 121n n n ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，
令(]1
0,1x n
=
∈，()()1ln 121x g x x x x ⎛⎫
=+-+ ⎪+⎝⎭
， ()()()()2
222
1+1111111021211121x x x g x x x x x x ⎡⎤⎡⎤-'=+-=+-=>⎢⎥⎢⎥+++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， 故()g x 在(]0,1上单调递增，则()()00g x g >=，故()0g x >， 即
()1ln 1021x x x x ⎛⎫+-+> ⎪+⎝⎭
， 得
1111ln 121n n n ⎛⎫⎛⎫
+>+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
， 故原不等式得证.
评注 本题最后一问的解答依然是根据前面证明的不等式
11ln 2x x x ⎛⎫
-> ⎪⎝⎭
构造出()111ln 1ln 21k k k k ⎛⎫
+-<
+ ⎪+⎝⎭
，由第（2）问的结论证明第（3）问，这种题型要多注意. 【例3.23变式3】
解析 （1）()ln x x k f x e +=，得()()()
211ln ln x x x x e x k e x k
x x f x e e ⋅-+--'==， 依题意，()110k
f e
-'=
=，得1k =. （2）函数()f x 的定义域为()0+∞，，()1ln x
x x x
f x xe
--'=， 令()()()1ln ,0,,10h x x x x x h =--∈+∞=.
当()01x ∈，时，()10,ln 0,0x x x h x ->->>； 当()1,x ∈+∞时，()10,ln 0,0x x x h x -<-<<；
又0x e >，所以，当()01x ∈，时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<. 因此，()f x 的单调递增区间为()01，，单调递减区间为()1,+∞. （
3
）
因
为
()()()()()()2211ln 1ln ,x x
x x x x x x x g x x x f x x x xe e
+----'=+=+⋅
=()0,x ∈+∞. 令()()1,0,10x
x
x e x x x e ϕϕ'=--≥=-≥，得()1x
x e x ϕ=--在[)0,+∞上单调递
增，则()()0=0x ϕϕ≥，故()()00x x ϕ≥≥，因此()+10x
e x x >>，所以()10+1
x
e x x ≥>. 对任意0x >，()2
1+g x e -<恒成立等价于不等式
()()
()21ln 11x
e x x x e x ---<
⋅++对任意0x >恒成立, 有（1）知()()()1ln ,0,,2ln h x x x x x h x x '=--∈+∞=--，令()0h x '=，得2x e -=，当()
20x e -∈，时，()0h x '>，函数()h x 在()20x e -∈，上单调递增；当()
2,x e -∈+∞时，
()0h x '<，函数()h x 在()2,e -+∞上单调递减，故()()22max =1h x h e e --=+.
因此，对任意0x >，()2
1+g x e -<.
评注 本题利用经典不等式()()ln 11x x x +≤>-的变形形式()+10x
e x x ≥≥进行合理放
缩，再利用求导求解最值. 【例3.24变式1】
解析 （1）因为容积为3803m π，所以32
480332r r l l r
πππ⎧+=⎪
⎨⎪≥⎩，解得02r <≤，所以
定义域为
{}
02r r <≤.由3248033
r r l πππ+=，得328043r l r -=
，所以2=64y rl r c
ππ+()33322
2
4816080416086443c r r r r r c r c r r r
ππππππππ-+--=⋅+=+= ()()2160=48+
02c r r r
π
ππ-<≤.
（2）由()()3
22
248160160=248c r y c r r r
πππ
πππ--'--=， 因为02r <≤，所以令0y '=，即()3
248160=0c r πππ--，因为3c >，所以
8160c ππ->，所以320
2r c =
-，解得r =
2>，即9
32c <<时，函数在(]0,2上单调递减，所以当=2r 时，函数有最
小值;
2>，即92c >时，函数在⎛ ⎝上单调递减，在⎫⎪⎪⎭
上为增函
数，所以当r 时，函数有最小值. 【例3.24变式2】
解析 （1）()()830,0,30
S x x x ==-∈, ()2
30830818002x x x x +-⎛⎫
-≤= ⎪⎝⎭
，当且仅当=30x x -，即=15x cm 时等号成立，
故2max =1800S cm ，此时x 的值为15cm .
（2）)
()2
23
V x =
=-，令()()2330,0,30g x x x x =-∈， ()()2603320g x x x x x '=-=-⇒当()0,20x ∈时，()0g x '>⇒()g x 单调递增；当()
20,30x ∈时
，
()0g x '<⇒()
g x 单调递减
()()
max max 204000g x g V ⇒==⇒=
3，
此
时
20x cm =，高
=
=1=2==⇒
高边长. 【例3.24变式3】 解析 （1）()()()2
10651011232
a a y f x x f a x ==
+-⇒=+=⇒=-. （
2
）
令
利
润
为
()
g x ，则
()()()()()222
=106310362
3g x x x x x x ⎡⎤+--=--+⎢⎥-⎣⎦
()
36x <<，
()()()()()()2
=1062036106312g x x x x x x '-+--=--，
()0g x '>⇒4x <或6x >，()046g x x '<⇒<<，所以()()max 442g x g ==，故x 的值为4时，利润最大为42.
【例3.25变式1】 解析
4
4
22
1ln ln 4ln 2ln 2dx x x
==-=⎰
.故选D . 【例3.25变式2】 解析
()()
()11
2
00
210x
x
e
x dx e x
e e e +=+=+-+=⎰.故选C .
【例3.25变式3】 解析
()()1
1
1
230
01133
f x dx ax c dx ax cx a c ⎛⎫
=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰
⎰，()200f x ax c =+，由题意
201
3
a c ax c +=+
，解得00=x x =（舍），故0x
【例3.25变式4】
解析 当1,14x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，
()1f x ≥，当[]1,2x ∈时，()1f x <，故
()2
14
k f x dx =
⎰
()()()1
2121212
11
111
111
44
4411=1ln k k k f x dx f x dx f x dx dx dx dx x x x
+=++=-⎰
⎰⎰⎰⎰⎰()1
ln1ln 212ln 214
=-+-=+.故选D .
评注 ()k f x 是分段函数，把()k f x 在各区间的解析式求出来，再利用定积分对区间的可加性分别求值. 【例3.26变式1】
解析 （1）根据定积分的几何意义，所求的定积分是一个底面边长分别是2,6，高为4的梯形，其面积是
2+6
4=162
⨯.故()40216x dx +=⎰.
（2）根据定积分的几何意义，所求的定积分是圆22
4x y +=在第二象限部分的面积，
其面积是
224
π
π⨯=
，故0
π-=⎰
.
（3）根据定积分的几何意义，在[]0,10π上正弦函数和x 轴所围成的图形的面积和为
0，故
100
sin 0xdx π
=⎰
.
（
4
）
由于
21cos 2sin 2
x
x -=
，所以
3332
4
4
44441cos 21=sin 22x y xdx dx dx ππππππ----⎛⎫== ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰3441cos 22xdx π
π--⎰，而在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，函数cos 2y x =与x 轴所围成图形的面积的代数和为0，故34
4
1cos 2=02xdx π
π-⎰.所以
332
44
441sin =2xdx dx π
πππ--⎛⎫ ⎪⎝⎭
⎰⎰，即1,02y y ==，3,44x x ππ=-=所围成的矩形的面积，该矩形的边长分别是12，4π，故其面积是2π，所以324
4
sin =2xdx π
ππ-⎰.
评注 根据正弦函数、余弦函数图形的对称性，在一个周期内正弦函数、余弦函数和x 轴所围成的图形的面积的代数和为0，利用这一性质可以方便地计算一定条件下三角函数的
定积分.
【例3.27变式1】
解析 根据()f x 的图像可设()()()()=110f x a x x a +-<，因为()f x 的图像过点
()
0,1，所以
=-1
a ，所以
()2
=1f x x -，故
()1
1
2311111133S x dx x x --⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎰14133⎛
⎫-+= ⎪⎝⎭.故选B .
【例3.27变式2】
解析 由题意，令2
2
t x =，得t x =，()()12222
32041+33t
t S t x dx x t dx t t =
--=-+⎰⎰， 即()()32241,4233S t t t S t t t '=
-+=-，令()0S t '=，得0t =或1
2
t =，()S t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在112⎛⎫
⎪⎝⎭
，上单调递增，当12t =时，S 取得最小值14.故选D . 【例3.27变式3】
解析 解法一：选用x 为积分变量.如图3-22所示，所求面积
为
(1
0+dx ⎡⎤-⎣⎦
⎰(
)
()
414
1
0124+24x dx dx x dx ⎡+=+⎣
⎰⎰⎰。