大学物理 圆周运动及其描述
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dv dnv
即，
dv d nv d(R ) nv 1 ds nv v nv
dt dt Rdt R dt R
因此
a
dv dt
v
v2 R
nv
e t
oe n
d
ds
e t
P
v
dv
d v
P
切向加速度和法向加速度
即圆周运动的加速度可分解为两个正交 分量：
2R cos
(7.27 105 )2 6.73106 cos
3.37 102 cos (m/s 2 )
P点加速度的方向在运动平面上由P指向地轴。
线量与角量之间的关系
例如:已知北京、上海和广州三地的纬度分别 是北纬3957、3112和 2300，则三地的v 和 an 分别为：
如图所示 一质点作圆周运动：
在t 时间内，质点的角位移为，则 A、B间的有向线段与弧将满足下面的
关系
t+t B 0+
lim AB lim AB
t 0
t 0
R
A t0
+
O
x
两边同除以t，得到速度与角速度之间的关系：
v R
线量与角量之间的关系
上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加 速度之间的关系：
显然，轨迹上各点处，坐标轴的方位不断变化。
切向加速度和法向加速度
2 自然坐标系下的加速度
由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因
此，自然坐标系中可将速度表示为：
vr
vv
ds v
dt
由加速度的定义有
a
ddvt
dv vv
dt
dv
dt
切向加速度和法向加速度
以圆周运动为例，有几何关系：
a n
v2 R
R 2
法向加速度也叫向心加速度。
例1
例2
思考题
线量与角量之间的关系
例题1 计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。
解：地球自转周期T=246060 s，角速度大小为：
2 2
7.27 105 s1
T 24 60 60
如图，地面上纬度为 的
P点，在与赤道平行的平面内 作圆周运动, 其轨道的半径为
r R cos
r
p
R
赤道
线量与角量之间的关系
P点速度的大小为
v r Rcos 7.27105 6.73106 cos 4.65 102 cos (m/s)
P点速度的方向与过P点运动平面上半径为R的圆相切。
P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为
a 2r n
(1) 角加速度对运动的影响：
等于零，质点作匀速圆周运动； 不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动； 随时间变化，质点作一般的圆周运动。
圆周运动的角量描述
(2) 质点作匀速或匀变速圆周运动时的角速度、角位移与 角加速度的关系式为
0 t
0
0t
t2
/
2
a v2 nR
a
dv dt
oe a
n
a n
a
e t e t
Pt
aτ称切向加速度，表示质点速率变化的快慢； an称法向加速度，反映质点速度方向变化的快慢。
上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用，但式中半
径R 要用曲率半径 代替。
切向加速度和法向加速度
由
a
dv dt
v
v2 R
2
02
2 (
0
)
与匀变速直线运动的几个关系式
v v0 at
x
x0
v0t
at 2
/
2
v2 v02 2a( x x0 )
比较知：两者数学形式完全相同,说明用角量描述,可把
平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题。
线量与角量之间的关系
3. 线量与角量之间的关系
的弧长为
s v0t bt2/2
v02/2b
它与圆周长之比即为圈数：
s
τ
n
o
n s v02
R
2R 4Rb
思考题
思考题 质点作匀变速圆周运动，则
切向加速度的方向不变，大小变化
切向加速度的方向变化，大小不变
法向加速度的大小和方向都在变化 切向加速度的大小和方向都在变化
质点作匀变速圆周运动，速
at R
将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式， 得到法向加速度与角速度之间的关系：
a n
v2 R
R 2
法向加速度也叫向心加速度
例1
例2
思考题
线量与角量之间的关系
将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速
度之间的关系：
a R t
将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，
得到法向加速度与角速度之间的关系：
度的大小方向都在变化；切向加
o
速度和法向加速度的大小方向都
R
在变化。
o
R
线量与角量之间的关系
得
t v0 / b
（3）当a = b 时，t = v0/b ，由此可求得质点历经
的弧长为
s v0t bt2/2
v02/2b
它与圆周长之比即为圈数：
s
τ
n
o
n s v02
R
2R 4Rb
线量与角量之间的关系
得
t v0 / b
（3）当a = b 时，t = v0/b ，由此可求得质点历经
§1-5 圆周运动及其描述
一. 切向加速度和法向加速度
采用自然坐标系，可以更好地理解加速度的物理 意义。
1 自然坐标系
在运动轨道上任一点建立正交坐
标系,其一根坐标轴沿轨道切线方向, 正方向为运动的前进方向；一根沿轨
nv
道法线方向，正方向指向轨道内凹的
一侧。
切向单位矢量 v
法向单位矢量 nv
v vnv
nv
a的大小为
a
a2 a2
t
n
dv dt
2
v2 R
2
a的方向由它与法线方向的夹角给出为 tan1 at an
讨论：下列情况时，质点各作什么运动？
at 等于0, an等于0, 质点做什么运动？
at 等于0, an不等于0 , 质点做什么运动？
at 不等于0, an等于0 , 质点做什么运动？
运动，v0、b都是正的常量。求：
（1） t 时刻质点的总加速度的大小； （2） t 为何值时，总加速度的大小为b ；
（3）当总加速度大小为b 时，质点沿圆周运行
了多少圈。
s
解：先作图如右，t = 0 时，
质点位于s = 0 的p点处。
τ
n
o
P
在t 时刻，质点运动到位
R
置 s 处。
线量与角量之间的关系
角位置为
角位移为
规定逆时针为正
平均角速度为 t
圆周运动的角量描述
角速度
lim d
t t0
dt
角加速度
d d2
dt dt2
角 速 度 的 单位： 弧度/秒(rad•s-1) ；
角加速度的单位： 弧度/平方秒(rad •s-2) 。
讨论：
北京： v 356 (m/s),
a 2.58102 (m/s2 ) n
上海： v 398 (m/s), a 2.89102 (m/s2 ) n
广州： v 428 (m/s), a 3.1010Байду номын сангаас2 (m/s2 ) n
线量与角量之间的关系
例题2 一质点沿半径为R的圆周按规律 s v0t bt2 / 2
（1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:
aτ
dv dt
d2s dt 2
b
an
v2 R
(v 0
bt)2 R
a
aτ2 an2
(v0 bt)2 (bR)2 R
（2）令a = b ，即
a (v0 bt)2 (bR)2 b R
s
τ
n
at 不等于0, an不等于0 , 质点做什么运动？
圆周运动的角量描述
2. 圆周运动的角量描述
用位矢、速度、加速度描写圆周运动的 方法，称线量描述法； 也可用一个角度来确定其位置，称角量 描述法。
y
B：t+t
A：t
o
x
设质点在oxy平面内绕o点、沿半径为R的轨道作 圆周运动，如图。以ox轴为参考方向，则质点的
即，
dv d nv d(R ) nv 1 ds nv v nv
dt dt Rdt R dt R
因此
a
dv dt
v
v2 R
nv
e t
oe n
d
ds
e t
P
v
dv
d v
P
切向加速度和法向加速度
即圆周运动的加速度可分解为两个正交 分量：
2R cos
(7.27 105 )2 6.73106 cos
3.37 102 cos (m/s 2 )
P点加速度的方向在运动平面上由P指向地轴。
线量与角量之间的关系
例如:已知北京、上海和广州三地的纬度分别 是北纬3957、3112和 2300，则三地的v 和 an 分别为：
如图所示 一质点作圆周运动：
在t 时间内，质点的角位移为，则 A、B间的有向线段与弧将满足下面的
关系
t+t B 0+
lim AB lim AB
t 0
t 0
R
A t0
+
O
x
两边同除以t，得到速度与角速度之间的关系：
v R
线量与角量之间的关系
上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加 速度之间的关系：
显然，轨迹上各点处，坐标轴的方位不断变化。
切向加速度和法向加速度
2 自然坐标系下的加速度
由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因
此，自然坐标系中可将速度表示为：
vr
vv
ds v
dt
由加速度的定义有
a
ddvt
dv vv
dt
dv
dt
切向加速度和法向加速度
以圆周运动为例，有几何关系：
a n
v2 R
R 2
法向加速度也叫向心加速度。
例1
例2
思考题
线量与角量之间的关系
例题1 计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。
解：地球自转周期T=246060 s，角速度大小为：
2 2
7.27 105 s1
T 24 60 60
如图，地面上纬度为 的
P点，在与赤道平行的平面内 作圆周运动, 其轨道的半径为
r R cos
r
p
R
赤道
线量与角量之间的关系
P点速度的大小为
v r Rcos 7.27105 6.73106 cos 4.65 102 cos (m/s)
P点速度的方向与过P点运动平面上半径为R的圆相切。
P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为
a 2r n
(1) 角加速度对运动的影响：
等于零，质点作匀速圆周运动； 不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动； 随时间变化，质点作一般的圆周运动。
圆周运动的角量描述
(2) 质点作匀速或匀变速圆周运动时的角速度、角位移与 角加速度的关系式为
0 t
0
0t
t2
/
2
a v2 nR
a
dv dt
oe a
n
a n
a
e t e t
Pt
aτ称切向加速度，表示质点速率变化的快慢； an称法向加速度，反映质点速度方向变化的快慢。
上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用，但式中半
径R 要用曲率半径 代替。
切向加速度和法向加速度
由
a
dv dt
v
v2 R
2
02
2 (
0
)
与匀变速直线运动的几个关系式
v v0 at
x
x0
v0t
at 2
/
2
v2 v02 2a( x x0 )
比较知：两者数学形式完全相同,说明用角量描述,可把
平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题。
线量与角量之间的关系
3. 线量与角量之间的关系
的弧长为
s v0t bt2/2
v02/2b
它与圆周长之比即为圈数：
s
τ
n
o
n s v02
R
2R 4Rb
思考题
思考题 质点作匀变速圆周运动，则
切向加速度的方向不变，大小变化
切向加速度的方向变化，大小不变
法向加速度的大小和方向都在变化 切向加速度的大小和方向都在变化
质点作匀变速圆周运动，速
at R
将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式， 得到法向加速度与角速度之间的关系：
a n
v2 R
R 2
法向加速度也叫向心加速度
例1
例2
思考题
线量与角量之间的关系
将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速
度之间的关系：
a R t
将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，
得到法向加速度与角速度之间的关系：
度的大小方向都在变化；切向加
o
速度和法向加速度的大小方向都
R
在变化。
o
R
线量与角量之间的关系
得
t v0 / b
（3）当a = b 时，t = v0/b ，由此可求得质点历经
的弧长为
s v0t bt2/2
v02/2b
它与圆周长之比即为圈数：
s
τ
n
o
n s v02
R
2R 4Rb
线量与角量之间的关系
得
t v0 / b
（3）当a = b 时，t = v0/b ，由此可求得质点历经
§1-5 圆周运动及其描述
一. 切向加速度和法向加速度
采用自然坐标系，可以更好地理解加速度的物理 意义。
1 自然坐标系
在运动轨道上任一点建立正交坐
标系,其一根坐标轴沿轨道切线方向, 正方向为运动的前进方向；一根沿轨
nv
道法线方向，正方向指向轨道内凹的
一侧。
切向单位矢量 v
法向单位矢量 nv
v vnv
nv
a的大小为
a
a2 a2
t
n
dv dt
2
v2 R
2
a的方向由它与法线方向的夹角给出为 tan1 at an
讨论：下列情况时，质点各作什么运动？
at 等于0, an等于0, 质点做什么运动？
at 等于0, an不等于0 , 质点做什么运动？
at 不等于0, an等于0 , 质点做什么运动？
运动，v0、b都是正的常量。求：
（1） t 时刻质点的总加速度的大小； （2） t 为何值时，总加速度的大小为b ；
（3）当总加速度大小为b 时，质点沿圆周运行
了多少圈。
s
解：先作图如右，t = 0 时，
质点位于s = 0 的p点处。
τ
n
o
P
在t 时刻，质点运动到位
R
置 s 处。
线量与角量之间的关系
角位置为
角位移为
规定逆时针为正
平均角速度为 t
圆周运动的角量描述
角速度
lim d
t t0
dt
角加速度
d d2
dt dt2
角 速 度 的 单位： 弧度/秒(rad•s-1) ；
角加速度的单位： 弧度/平方秒(rad •s-2) 。
讨论：
北京： v 356 (m/s),
a 2.58102 (m/s2 ) n
上海： v 398 (m/s), a 2.89102 (m/s2 ) n
广州： v 428 (m/s), a 3.1010Байду номын сангаас2 (m/s2 ) n
线量与角量之间的关系
例题2 一质点沿半径为R的圆周按规律 s v0t bt2 / 2
（1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:
aτ
dv dt
d2s dt 2
b
an
v2 R
(v 0
bt)2 R
a
aτ2 an2
(v0 bt)2 (bR)2 R
（2）令a = b ，即
a (v0 bt)2 (bR)2 b R
s
τ
n
at 不等于0, an不等于0 , 质点做什么运动？
圆周运动的角量描述
2. 圆周运动的角量描述
用位矢、速度、加速度描写圆周运动的 方法，称线量描述法； 也可用一个角度来确定其位置，称角量 描述法。
y
B：t+t
A：t
o
x
设质点在oxy平面内绕o点、沿半径为R的轨道作 圆周运动，如图。以ox轴为参考方向，则质点的