2013年高考文科数学分类解析(平面向量)

2013年高考数学（文科）分类解析
专题4：平面向量
一、选择题
1 ．（2013年高考辽宁卷（文3））已知点()()1,3,4,1,A
B AB -则与向量同方向的单位向量为（
）
A ．3
455⎛⎫ ⎪⎝⎭
，-
B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-
C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
【答案】A
【解析】(3,4)AB =-，所以||5AB =，这样同方向的单位向量是
134
(,)555
AB =-，选A.
2 ．（2013年高考湖北卷（文））已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ,则向量AB 在CD 方向上的投
影为（ ）
A B C ．D ． 【答案】A
【解析】本题考查向量的投影以及数量的坐标运算。

因为(2,1),(5,5)AB CD ==,所以
(2,1)(5,5)15AB CD ⋅=⋅=，25CD ==AB 在CD 方向上的投影为
15cos ,25AB CD AB AB CD CD
⋅<>=
=
=，选A.
3 ．（2013年高考大纲卷（文3））已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=
+=++⊥-若则（
）
A ．4-
B ．3-
C ．-2
D ．-1
【答案】B
【解析】0)62()1,1()3,32()()(=+-=--•+=-⊥+λλn m n m ，所以3-=λ，故选B.
4 ．（2013年高考湖南（文8））已知a,b 是单位向量,a·b=0.若向量c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____
____ （ ）
A 1- B
C 1
D 2+
【答案】C
【命题立意】本题考查数量积的应用。

因为0a b ⋅=，即a b ⊥，又1a b ==，所以2a b +=，不妨让
,a b 固定，设u a b =+，则1c u -=，即c 的终点在以u 对应点为圆心，半径为1的圆上。

则当c 与u 方向
相同时，max
21c
=+，选C.
5 ．（2013年高考广东卷（文10））设a 是已知的平面向量且≠0a
,关于向量a 的分解,有如下四个命题:
①给定向量b ,总存在向量c ,使=+a b c ;
②给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+a b c ;
③给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使λμ=+a b c ; ④给定正数λ和μ,总存在单位向量b 和单位向量c ,使λμ=+a b c ;
上述命题中的向量b ,c 和a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】本题是选择题中的压轴题，主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则.
利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须=+λμλμ+≥b c a
，所以④是假命题.综上，本题选
B.
6 ．（2013年高考陕西卷（文2））已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于
（ ）
A ．
B
C ．
D ．0
【答案】C
【解析】因为(1,),(,2),//,a m b m a b ==且所以12m m m ⋅=⋅⇒=,所以选C
7 ．（2013年高考辽宁卷（文9））已知点()()(
)3
0,0,0,,,.O A b B a a
若ABC ∆为直角三角形，则必有
（ ）
A ．3
b a = B ．31
b a a
=+
C ．(
)3
3
10b a
b a a ⎛⎫
---= ⎪⎝⎭
D ．3
3
1
0b a b a a
-+--
= 【答案】C
【解析】若A 为直角，则根据A 、B 纵坐标相等，所以3
0b a -=；若B 为直角，则利用1OB AB K K =-得
31
0b a a
--
=，所以选C
8 ．（2013年高考福建卷（文））在四边形ABCD 中,)2,4(),2,1(-==BD AC
,则该四边形的面积为（ ）
A ．5
B ．52
C ．5
D ．10
【答案】C
【解析】本题考查的是向量垂直的判断以及向量的模长．因为022)4(1=⨯+-⨯=⋅BD AC ，所以
BC AC ⊥，所以四边形的面积为
52
2)4(212|
|||2222=+-⋅+=⋅BD AC ，故选C
二、填空题
9 ．（2013年高考四川卷（文12））如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点
O ,AB AD AO λ+=,则λ=_____________.
【答案】2 【解析】AO AC AD AB 2==+
，所以2=λ，故填2.
10．（2013年高考天津卷（文12））在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·
1AC BE =, 则AB 的长为______. 【答案】
1
2
【解析】因为E 为CD 的中点，所以11
22
BE BC CE AD DC AD AB =+=-
=-. AD AC AB =+因为·
1AC BE =，所以22111·()()1222AC BE AD AB AD AB AD AB AB AD =-
⋅+=-+⋅=，即211
1cos60122
AB AB -+=，所以211024AB AB -+=，解得12
AB =。

11．（2013年高考重庆卷（文14））OA 为边,OB 为对角线的矩形中,(3,1)OA =-,(2,)OB k =-,则实数
k =____________.
【答案】4
【解析】本题考查向量的坐标运算以及向量的数量积的运算。

在矩形中，(3,1),(2,)OA OB k =-=-，所以
(2,)(3,1)(1,1)AB OB OA k k =-=---=-，因为AB OA ⊥，所以0AB OA ⋅=，即310k -+-=，解得
4k =。

12．（ 2013年高考山东卷（文15））在平面直角坐标系xOy 中,已知(1,)OA t =-,(2,2)OB =,若90o
ABO ∠=,
则实数t 的值为______ 【答案】5
【解析】(3,2)BA t =--,因为90o
ABO ∠=，所以(3,2)(2,2)6240BA OB t t •=--•=-+-=，故5t
=。

13．（2013年高考浙江卷（文17））设e 1.e 2为单位向量,非零向量b=xe 1+ye 2,x.y∈R..若e 1.e 2的夹角为
6π
,则x b
的最大值等于_______.
【答案】
2
12cos
6
2
e e π
⋅==
，所以22222
122b x y xye e x y =++⋅=++。

所以2
222x x y
b
==+y t x =，则
2
2111(44t t +=+≥，所以04<≤，即2
2x b
的最大值为2，所以x b 的最大值为2. 14．（2013年高考安徽（文））若非零向量,a b 满足32a b a b ==+,则,a b 夹角的余弦值为_______.
【答案】1
3
-
【解析】等式平方得：
2222
944a b a b a b ==++⋅
则2
2
2
44|||
|cos a a b a b θ=++⋅，即2
2
0443||cos b b θ=+⋅，得1
cos 3
θ=- 15．（2013年上海高考数学试题（文科16））已知正方形ABCD
A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为1a 、
2a 、3a ;以C 为起点,其余顶点为终点的向量分别为1c 、2c 、3c .若{},,,1,2,3i j k l ∈且,i j k l ≠≠,
则()()
i j k l a a c c +⋅+的最小值是________.
【答案】5-
【解析】 根据对称性，的模最大时
互为相反向量，且它们与当向量)()(l k j i c c a a ++
,,,,))((CB c CA c AD a AC a c c a a l k j i l k j i ====++最小。

这时， 5|)|))((2-=+-=++j i l k j i a a c c a a 。

16．（2013年高考课标Ⅱ卷（文14））（14）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则
AE BD ⋅=_______。

【答案】2
【解析】在正方形中，1
2
AE AD DC =+
,BD BA AD AD DC =+=-,所以2222111
()()222222
AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯=。

17．（2013年高考课标Ⅰ卷（文13））已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)=+-c ta t b ,若0⋅=b c ,则
t =_____.
【答案】2
【解析】因为1
cos602
a b a b ⋅==
，所以[(1)]0b c ta t b b ⋅=+-⋅=，即2(1)0ta b t b ⋅+-=，所以102
t
t +-=，解得2t =。

18．（2013年高考北京卷（文））已知点(1,1)A -,(3,0)B ,(2,1)C .若平面区域D 由所有满足
AP AB AC λμ=+10λμ≤≤≤≤（2，1）
的点P 组成,则D 的面积为__________. 【答案】3
【解析】当μλ,两个变量均发生变化时，可以先固定一个变量，让另外一个变量改变，如分别令2,1=λ，μ
在[0,1]变化，令1,0=μ，λ在[1，2]变化。

可知D 为一个平行四边形，其面积为三角形ABC 面积的两倍。

AB ：032=--y x ，514||=+=AB ，5
35
|
322|=
--=
d ，则面积为3。