高考数学二轮2 第二篇 专题五 第1课时 直线与圆

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专题五解析几何高考小题
第1课时直线与圆
直线方程
1．“a＝－3”是“直线l1：ax－(a＋1)y＋1＝0与直线l2：2x－ay－1＝0垂直”的() A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】选A.由直线l1：ax－(a＋1)y＋1＝0与直线l2：2x－ay－1＝0垂直，可得2a＋a(a＋1)＝0，解得a＝0或a＝－3，所以“a＝－3”是“直线l1：ax－(a＋1)y ＋1＝0与直线l2：2x－ay－1＝0垂直”的充分不必要条件．
2．(2021·鹰潭三模)过点(1，3)且平行于直线x＋2y＋3＝0的直线方程为____________．
【解析】设与直线x＋2y＋3＝0平行的直线方程为x＋2y＋c＝0，
把点(1，3)代入可得1＋2×3＋c＝0，c＝－7，
故所求的直线的方程为x＋2y－7＝0.
答案：x ＋2y －7＝0
3．直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为____________．
【解析】由⎩⎨
⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1，
解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)， 所以可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k －1＝0.
在直线l 上任取一点(1，2)，由题设知点(1，2)到直线l 1，l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得
|k －2＋2k －1|k 2＋1 ＝|2－2＋3|
22＋1 ，
解得k ＝1
2 (k ＝2舍去)， 所以直线l 2的方程为x －2y ＝0. 答案：x －2y ＝0
4.直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3 )为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为__________________． 【思维通关】
关键点 画出图形，弄清直线的变化情况 障碍点
直线的倾斜角与斜率的关系
易错点
分别求出临界直线的斜率，误认为斜率的范围为⎣⎡⎦⎤－3，1
【解析】如图，因为k AP ＝1－0
2－1
＝1，
k BP ＝3－00－1
＝－3 ，
所以k ∈(－∞，－3 ]∪[1，＋∞). 答案：(－∞，－3 ]∪[1，＋∞)
(1)若将本题中P (1，0)改为P (－1，0)，其他条件不变，求直线l 斜
率的取值范围．
(2)若将本题中的B 点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围．
【解析】(1)因为P (－1，0)，A (2，1)，B (0，3 )， 所以k AP ＝1－0
2－（－1） ＝1
3 ，k BP ＝3－00－（－1）
＝3 .
由图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13，3 . (2)如图，直线P A 的倾斜角为π
4 ，
直线PB 的倾斜角为3
4 π，由图象知l 的倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 ∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫34π，π .
直线方程及其应用的关注点
(1)倾斜角α与斜率k 的关系
当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2 时，k ∈[0，＋∞)，当α＝π
2 时，斜率k 不存在，当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 时，k ∈(－∞，0).
(2)设直线的方程时要注意其适用条件，如设点斜式时，要注意斜率不存在的情况；设截距式时要注意截距为零的情况．
(3)已知直线的平行、垂直关系求参数值时，可以直接利用其系数的等价关系式求值，也要注意验证与x ，y 轴垂直的特殊情况．
圆的方程
1. (2021·张家口三模)“a ＞0”是“点(0，1)在圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋a ＋1＝0外”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】选B.将x 2＋y 2－2ax －2y ＋a ＋1＝0化为标准方程，得(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－a .当点(0，1)在圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋a ＋1＝0外时，有
⎩⎨
⎧a 2－a ＞0，（0－a ）2＋（1－1）2＞a 2－a ，
解得a ＞1.所以“a ＞0”是“点(0，1)在圆x 2＋y 2
－2ax －2y ＋a ＋1＝0外”的必要不充分条件．
2．(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( ) A ．5
5 B ．255 C ．35
5
D ．455
【解析】选B.因为已知圆与两坐标轴都相切，所以可设圆心坐标为⎝⎛⎭⎫a ，a (a >0)，则半径为a ，由此圆过点(2，1)得，⎝⎛⎭⎫a －2 2＋⎝⎛⎭⎫a －1 2＝a 2
，解得a ＝1或5，所
以圆心坐标为(1，1)或(5，5)，圆心到直线2x －y －3＝0的距离都是255 . 3．已知点(x ，y )在圆(x －2)2
＋(y ＋3)2
＝1上，则y
x 的最大值和最小值分别为
__________．
【解析】y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y
x 的最大值和最小值就是与该圆
有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|
k 2＋1
＝1，解得k ＝－2＋233 或k ＝－2－233 ，所以y
x 的最大值为－2＋233 ，最小值为－2－233 . 答案：－2＋233 ，－2－23
3 本题条件不变，
求
x 2＋y 2＋2x －4y ＋5 的最大值和最小值．
【解析】x 2＋y 2＋2x －4y ＋5 ＝
（x ＋1）2＋（y －2）2 ，求它的最值可视为
求点(x ，y )到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1，2)的距离为34 ，所以x 2＋y 2＋2x －4y ＋5 的最大值为34 ＋1，最小值为34 －1.
1．圆的方程的求法
(1)设圆的标准方程或一般方程，利用条件确定方程中的系数，即待定系数法； (2)利用与圆相关的定理、性质确定圆的圆心和半径，写出圆的标准方程． 2．应用圆的方程求最值的策略
(1)根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解． (2)利用平方关系，把圆上的动点坐标设为三角形式，用三角函数求最值．
直线(圆)与圆的位置关系
1．(2021·泰安一模)已知直线x ＋y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0有公共点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．[0，2)
D ．(－∞，2)
【解析】选A.依题意可知，直线与圆相交或相切．圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0即为(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝2－a .由|－1＋1＋2|2
≤2－a ，解得a ≤0.
所以实数a 的取值范围为(－∞，0].
2.已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22 ，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离
【思维通关】
关键点 确定圆M 的圆心与半径 障碍点 如何由题意求出a 的值
易错点
求a 的值时，误认为
R 2－d 2 ＝22
【解析】选B.圆的标准方程为M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a ＞0)，则圆心为(0，a )，半径R ＝a ，
圆心到直线x＋y＝0的距离d＝a
2
，
因为圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，
所以2R2－d2＝2a2－a2
2＝2a2
2＝22，
即a2
2＝2，即a
2＝4，a＝2，
则圆心为M(0，2)，半径R＝2，
圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为N(1，1)，半径r＝1，则MN＝12＋12＝2，因为R＋r＝3，R－r＝1，
所以R－r＜MN＜R＋r，即两个圆相交．
3．(2020·浙江高考)设直线l：y＝kx＋b(k>0)，圆C1：x2＋y2＝1，C2：(x－4)2＋y2＝1，若直线l与C1，C2都相切，则k＝________；b＝________．
【解析】由题意作图如下：
易知直线l经过(2，0)，所以b＝－2k，l：y＝kx－2k，由直线与圆相切得，(0，
0)到直线的距离为半径，d＝2k
k2＋1
＝1，解得k＝
3
3，b＝
－23
3.
答案：3
3－23
3
关于直线(圆)与圆的位置关系
(1)熟练掌握与切线、弦长等问题相关的基础知识和方法；
(2)综合运用化归思想，将问题进行转化，再利用圆的性质解题；
(3)注意圆与其他圆锥曲线、三角等知识结合应用解题．
1．若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是()
A．(－∞，1) B．(121，＋∞)
C．[1，121] D．(1，121)
【解析】选C.x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36.
圆心距为d＝（0＋3）2＋（0－4）2＝5，若两圆有公共点，则|6－m |≤5≤6＋m ，所以1≤m≤121.
2．(2021·惠州一模)“a≥－3”是“直线y＝x＋1与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点”成立的________条件()
A．充分不必要
B．充要
C．必要不充分
D．既不充分也不必要
【解析】选C.根据题意，圆(x－a)2＋y2＝2的圆心为(a，0)，半径r＝2，
圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝|a ＋1|
2
，
若直线y ＝x ＋1与圆(x －a )2
＋y 2
＝2有公共点，则必有d ≤2 ，即|a ＋1|
2
≤2 ，
变形可得|a ＋1|≤2，解可得－3≤a ≤1， 即a 的取值范围为[－3，1]， 因为[－3，1]
[－3，＋∞)，
故“a ≥－3”是“直线y ＝x ＋1与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点”成立的必要不充分条件．
3．已知直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则圆C 的面积为________．
【解析】圆C ：x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0，化为(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1，且圆心C (a ，1)，半径R ＝
a 2－1 .
因为直线y ＝ax 和圆C 相交，△ABC 为等边三角形，
所以圆心C 到直线ax －y ＝0的距离为R sin 60°＝3
2 ×a 2－1 ，即d ＝|a 2－1|a 2
＋1
＝
3（a 2－1）
2
.计算得出a 2
＝7. 所以圆C 的面积为πR 2＝π(7－1)＝6π. 答案：6π
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