机器人概论第三章机械手的运动

机械手的运动
3.3 雅可比矩阵
3.3.1雅可比矩阵的定义 例：两自由度机械手的雅可比矩阵
x L1C1 L2C12
y L1S1 L2 S12
C1 cos1; S1 sin1;C12 cos(1 2 ); S12 sin(1 2 )
x
1 L1S1 L2 S12 ,
B R1

C1 S1
S1
C1

1p2

L1 0
,
1R2

C2 S2
S2
C2

2pE

L2 0
,
2RE

1 0
0
1

机械手的运动
3.2 手爪位置和关节变量的关系
3.2.3 齐次变换
C1 S1 0
B T1


S1
回转关节 棱柱关节 关节变量 手爪姿态 运动学
机械手的运动
3.1 机械手运动的表示方法
3.1.2 机械手的机构和运动学 手爪位置r;关节变量θ
有：
r

x

y,
θ
1

2

x L1 cos1 L2 cos(1 2 )
y L1 sin1 L2 sin(1 2 )

(x2
y2) 2 L1 L2
L12

L22

机械手的运动
3.1 机械手运动的表示方法
3.1.3 运动学、静力学、动力学的关系 手爪力F与 关节驱动力静态时 的关系：静力学
机械手的运动
3.1 机械手运动的表示方法
3.1.3 运动学、静力学、动力学的关系 驱动力矩与关节位置 关节速度、关节加 速度的关系动力学
机械手的运动
3.5 机械手运动方程式的求解
3.5.2 牛顿-欧拉方程式
mv C FC
ICω ω (ICω) N
机械手的运动
3.5 机械手运动方程式的求解
3.5.2 牛顿-欧拉方程式
0 Iω 0 ,
I
0 0 0
ω
Iω

0
其中：r1 f1 (1 2 , ,n )
( j 1,2, , m)
n>m:冗余机器人
机械手的运动
3.3 雅可比矩阵
3.3.1雅r可比J矩θ阵 的定义
ri fi (1,2 , n )
ri

fi
1
1
fi
2
2
fi
n
n
f1


L q


LKP
机械手的运动
3.5 机械手运动方程式的求解
3.5.3 拉格郎日运动方程式
L K1 K2 P1 P2 M(θ)θ c(θ,θ) g(θ) τ
M(θ)

M 11 M 21
M12
M
22

,
c(θ ,
θ)

c1 c2


0


0
I 0
0

N 0

mgLc cos
I mgLC cos
I IC mLC 2
机械手的运动
3.5 机械手运动方程式的求解
3.5.3 拉格郎日运动方程式
d dt

L q
J

f
(θ)


1


θT

f
m
1
f1

n1


f m

n
R mn
f1
r1 rm



1
fm

1

m
1
dr Jdθ J：雅可比矩阵
机械手的运动
3.1 机械手运动的表示方法
3.1.3 运动学、静力学、动力学的关系
机械手的运动
3.2 手爪位置和关节变量的关系
3.2.1 手爪位置和姿态的表示方法 ΣB 基坐标系 ΣE 手爪坐标系 BpE∈R3x1:手爪坐标系
原点在基坐标中的 位置向量 BRE ∈R3x3:坐标变换 矩阵
B RE B ex ,B e y ,B ez
L1 0

0 fy



L1 0
f
y

机械手的运动
3.5 机械手运动方程式的求解
3.5.1 惯性矩
mx F
x r
FN r
mr 2 N
I N
I mr 2
机械手的运动
3.5 机械手运动方程式的求解
3.5.1 惯性矩
J

L1S1 L2S12

L1C1

L2C12
L2S12 L2C12


L2

L1
L2
0


A

J
T
FA


L2 L2
B

JT
FB


L2 L2
L1 0

fx 0



L2 L2
f f
x x

L2 (S1C2
C1S2 )
L1
S1

1

C12 S12
0
S12 C12
0
L1C1 L2C12
L1S1

L2 S12

1
机械手的运动
3.3 雅可比矩阵
3.3.1雅可比矩阵的定义
机器人正运动学方程：r f (θ) ，这里
r r1 r2 , , rm T R m1 θ 1 2 , ,n T R n1
机械手的运动
3.2 手爪位置和关节变量的关系
3.2.3 齐次变换 两个坐标系中位姿关系：
Bp p BRE E p p BpE
B 1
p
p


B
TE
E 1
p
p

B TE


BR 0T
E
B
p
E


R
33
1
上式称为齐次变换矩阵
机械手的运动
作业
• P29 1、2、3
• P29 4, P29 5 • 1、求下图的2自由度
机械手，若从爪看到P 点位置 EPp=[0.2m,0.2m], 求BPp, 假定 L1=L2=0.2m,θ1=θ2 =∏/6
第三章 机械手的运动
3.1 机械手运动的表示方法 3.2 手爪位置和关节变量的关系 3.3 雅可比矩阵 3.4 手爪力和关节驱动力的关系 3.5 机械手运动方程式的求解
机械手的运动
3.1 机械手运动的表示方法
3.1.1 机械手的结构
机械手的运动
3.1 机械手运动的表示方法
3.1.2 机械手的机构和运动学
F f1,, fm T , Rm1 手爪力 τ 1,, m T , Rn1
关节驱动力
机械手的运动
3.4 手爪力和关节驱动力的关系
3.4.2 机械手静力学关系式的推导
W τT θ (F)T r τ T θ (F)T r 0
r Jθ
写为：r f (θ) 运动学方程式。
机械手的运动
3.1 机械手运动的表示方法
3.1.2 机械手的机构和运动学 正运动学与逆运动学
θ f 1 (r )
2
1

tan 1
y x


tan 1
L1
L2 sin2 L2 cos2



c os1
y
1

L1C1

L2C12 ,
J

L1S1 L2 S12 L1C1 L2C12
x
2 L2 S12
y
2

L2C12
L2 S12
L2 S12

机械手的运动
3.3 雅可比矩阵
3.3.2 关节速度和手爪速度的几何学关系
J J1 J 2 ,
J i R 21
C1
0

0
0 1
C2 S 2 L1
1 T2


S
2
C2
0

0 0 1
1 0 L2
2 TE 0 1
0

0 0 1
机械手的运动
3.2 手爪位置和关节 变量的关系
3.2.3 齐次变换
C1 S1 0 C2 S2 L1 1 0 L2
J1

L1S1

L1C1

L2 S12 L2C12
,
J2

L2 S12

L2
C12

r J11 J 22
则J1、J2分别为单位关节速度 在手爪位置产生的速度分量。即 由图中的PE,1,PE,2反时针转动 90度而成
机械手的运动
3.3 雅可比矩阵
3.5.3 拉格郎日运动方程式
c1 m2 L1LC2S2 (22 212 ) c2 m2 L1LC2S212
g1 m1gLC1C1 m2 g(L1C1 LC2C12 ) g 2 m12 gLC 2C12
M(θ)θ 惯性力； c(θ,θ) 离心力； g(θ) 重力项


J1
cos( / 2) sin( / 2)
sin( / 2)
0
cos( / 2)
p E,2
1
1L2C12
0

L2
S12


L2 S12
机械手的运动
3.4 手爪力和关节驱动力的关系
3.4.1 虚功原理
3.3.2 关节速度和手爪速度的几何学关系
cos( / 2) sin( / 2)
sin( / 2)
0
cos( / 2)
p E,1

1
1L1C1 L2C12
0


L1
S1

L2 S12


L1S1 L2 S12

L1C1

L2C12

,
g(θ)


g1 g2

M11 m1LC12 IC1 m2 (L12 L22 2L1LC2C1) IC2
M12 m2 (LC22 L1LC2C2 ) IC2
M12 M 21
M 22 m2 LC22 IC2
机械手的运动
3.5 机械手运动方程式的求解
(τT FT J)θ 0 τT FT J 0 τ JTF
机械手的运动
3.4 手爪力和关节驱动力的关系
3.4.2 机械手静力学关系式的推导
• 2自由度的机械手如图所示。取θ1=0(rad)θ2= ∏/2（rad) 的姿态时,分别 求解生成手爪力FA=[fx,0]T FB=[0,fy]T 时的驱动力τ A τ B 。
机械手的运动
3.2 手爪位置和关节变量的关系
3.2.3 齐次变换 利用上式的确步骤： 1）建立连杆坐标系，并用
连杆长度和关节变量， 求相邻坐标系的位姿关系 2）求相邻坐标系的齐次变换 矩阵； 3）利用上式求总变换
机械手的运动
3.2 手爪位置和关节变量的关系
3.2.3 齐次变换
B p1

0 0,
dm dV
dI dmr 2 r 2dV
I dI r 2dV
绕一端旋转惯性矩
I
L 0
x 2dx


M L
x3 L
3
0
1 ML2 3
绕重心旋转惯性矩
I C

2
L/2 0
x 2dx

2

M L
x3 L/2
3
0
1 ML2 3
B TE S1 C1
0

S
2
C2
0

0
1
0

0 0 10 0 1 0 0 1
C1C2 S1S2 S1C2 C1S2
0
C1S2 S1C2 S1S2 C1C2 0
L2 (C1C2 S1S2 ) L1C1
B R1 0T
B
p1

1
1p 1
p

1
T2
2p 1
p

2p 1
P


2
TE
E 1
p
p

1 T2


1R 0T
2
1
p
2

1
2 TE


2R 0T
E
2
p
E

1
B TE B T1 1 T2 2 TE
机械手的运动
3.2 手爪位置和关节变量的关系
3.2.3 齐次变换
对二自由度机械手
B 1
p
p

B
TE
E 1
p
p

B TE


BR 0T
E
B
p
E

1
B 1
p
p


B
T1
1p 1
p

B T1


FAxA FBxB 0
xA LA ,
xB LB
(FA LA FB LB ) 0
FA LA FB LB 0
FB
LA LB
FA
机械手的运动
3.4 手爪力和关节驱动力的关系
3.4.2 机械手静力学关系式的推导
r r1,rm T , Rm1 手爪的虚位移 θ 1,n T , Rn1 手爪的虚位移