Chapter1-2 波的复数与矢量表示

•微波：陆上微波中继接力; 卫星通信 •光波：因衰减大，光波在大气中只能在短距离上传输。长距 离传播要用低损耗光纤。1970年美国康宁玻璃公司研制出第 1条光导纤维（损耗为20dB/km，波长为0.8m）。目前工 作在1.45-1.65m波长的商用低损耗石英光纤损耗 <0.2dB/km。
从麦克斯韦方程到基尔霍夫电压、电流定理
时谐波A(z,t)，波的数学表示 （波函数） A(z,t)=A0cos(t-kz+0) 注意概念：波幅、角频度、传播常数、相位、 初相
Q: 波函数提供了什么信息？
A(z,t)含2个自变量，可以固定其中1个来看A的 变化情况
固定z,时间域中看波
设初相和z为零， A呈周期性变化，其周期为T 看A(0,t)的变化
麦克斯韦方程的 积分形式：
D dS
S


V
v dV
B dS
S
0
D lH dl S J t dS B lE dl S t dS
麦克斯韦方程包含电流连续与电荷守恒原理
J ds
S

Q t
E x ( x, y , z ) E1 ( x, y , z )e E x ( x , y , z , t ) Re E x ( x , y , z ) e
j1

j t

所以时谐标量 与复数
E x ( x, y, z, t)
E x ( x, 矢量表示
E x, y, z, t x 0 E x x, y, z, t y 0 E y x, y, z, t z 0 E z x, y, z, t
注意：相位为t+kz+0，则波的传播方向是-z
时谐标量波的复数表示
时谐标量波
u ( z , t ) U 0 c o s ( t k z 0 u ) U 0 c o s [ t u ( z )]
u ( z ) kz 0u
时谐标量波的复数“表示”（对应）：

t

V
V dV
从麦克斯韦方程到基尔霍夫电压、电流定理
t 0
（或所研究对象线度 比波长小得多时）

l
E dl
Q t
B
S
t

dS 0 U 0
J ds
S

t

V
V dV 0 I 0
基尔霍夫定理适用范围
r,t
ReH
r e
j t
E r,t H
r,t

1 T

T 0
E r,t H
r , t dt

1 2
Er H r
Ei H i
两时谐矢量叉积的时间平均值
E r,t H
r,t

1 T

T 0
E r,t H
r , t dt

微波波段
电磁波大气传输窗口
大气对于电磁波，有些频率范围是透明的，称为大气窗口. 大气窗口在通信、雷达、遥感等领域得到广泛应用。
不同波段电磁波的传播特性及其应用
长波可沿地球弯曲表面传播到很远——地波。 短波（低于30MHz）可借助60~300km高空 电离层折射回地面——天波。 超短波、微波和光波波段，电磁波穿过电离 层达到外层空间（视距传播）－－空间波。
u ( z, t )dt
u z, t t
U 0 sin t k z 0 u R e
U 0 s in t k z 0 u

j U 0 e
j
j u
e
j t

u z , t d t


U 0e u e Re j
j v ( z )
, v ( z ) kz 0v
可以证明:
因为
u ( z, t) v( z, t) U V
j t
u ( z , t ) v ( z , t ) R e{ (U V ) e
}
时谐标量波复数表示微分、积分运算规则
t u ( z , t ) j U U j
1 2
Er H r
Ei H i
E r H
r
*
Er H r Ei H i j Ei H r Er H i
E r,t H r,t
1 2
ReE r H
*
r
电磁波可以用波长或频率区分

c f
频率和波长的变化范围可以覆盖多个数量级，为了简化 数字，频率常用千赫、兆赫等表示，波长常用千米、毫 米等表示。
第一章 引言 1.3 1.4
主题：1、波的复数和复矢量表示 2、从麦克斯韦方程到基尔霍 夫电压、电流定理
波是物质运动的一种基本形式
波的共同特征： 1) 波有能量 2) 波有传播速度，c=3108m/s 3) 有些波具有线性特点：即一个波的传播不 影响另一波的传播
随时间作简谐变化的连续波的特征
频率：
固定t, 空间域中看波
图中t分别为0，/2, /时A的变化 A也呈周期性变化，其 周期为
传播常数k是2区间内 所包含波的个数
波的速度
A(z,t)=A0cos(t-kz+0) 波速？ 波速可以看图中波峰前进 的速度dz/dt
,
相位＝t-kz+0=const
对上式两边取d/dt, 则 －k(dz/dt)=0 v=dz/dt=/k
实际量u(z,t)与其复数表示U之间的关系
时谐标量波复数表示加法运算规则
2个时谐标量波：
u ( z , t ) U 0 c o s ( t k z 0 u ) u ( z, t ) U U 0e
j u ( z )
, u ( z ) kz 0u
v ( z , t ) V 0 c o s ( t k z 0 v ) v ( z , t ) V V0e
时谐矢量的复矢量表示
两时谐矢量叉积的时间平均值
时谐矢量引入复矢量表示后，两时谐矢量叉积的时间平均 值计算也可简化为取实部运算。
E r E r jE i , H
r
H r jH i ,
E r,t ReE r e H
j t

E r c o s t E i s in t H r c o s t H i s in t
电磁波谱
普通无线电波，包括甚低频、低频、中频、高频、甚高频，频率从几百kHz到300MHz。 波长从105m到1m。广义地说微波是指频率从300MHz到300GHz范围内的电磁波，其相 应的波长范围是1m至1mm。微波与红外的过渡段称为亚毫米波。光波所指的频率范围比 可见光（380THz到770THz）要宽。从现代激光和光学系统应用的频率来看，光波一般 是指频率从100THz到1000THz这段电磁波谱，相应的波长为3m至300nm。比可见光波 长更短的依次是紫外线，X射线、射线。 为什么说电磁波是一项宝贵资源？
频率低时（如1MHz） 基尔霍夫定理是适 用的 频率高时（如1GHz） 基尔霍夫定理不再 适用
小结、复习
作业
P61-62 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
j t

时间平均值
u (t )i (t )
1 2
R e [U I ]
*
解电路方程
时谐矢量的复矢量表示
E x, y, z, t x 0 E x x, y, z, t y 0 E y x, y, z, t z 0 E z x, y, z, t
E x ( x , y , z , t ) E 1 ( x , y , z ) cos( t 1 )