天津市南开中学2015届高三数学统练17 理

天津市南开中学2015届高三数学统练17 理
一、选择题（共8小题，每题5分）
1.如图，是某几何体的三视图，其中正视图、侧视图均是边长为2，一个角为60︒的菱形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）．
A
． B
．
C. 3
D.
2.若将函数
(
)1
cos 4f x x x =
-的图象向右平移
()
0m m π<<个单位，使平移后的图象关于原点对称，则m =（ ）．
A ．5π6
B ． π6 C.2π3 D.π
3
3.已知
()
0,, 4.30a b A b A ==，解三角形时有且只有一个解，则a 的取值范围是（ ）.
A ．24a a =≥或
B ．2a ≥
C 4a ≥ D.24a ≤≤
4.已知点F 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且
垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）．
A ．()∞1，+
B ．
()1，2
C.(1，
D.(2，
5.设F1、F2为曲线126:221=+y x C 的焦点,P 是曲线1
3:22
2=-y x C 与C1的一个交点,则
12
12||||PF PF PF PF ⋅⋅的值为（ ）
A ．31-
B ．41
C . 31 D. 32
正视图 侧视图
俯视图
60︒
第1题
60︒
6.已知双曲线)0,0(122
2
2>>=-b a b y a x ，被方向向量为)6,6(=k 的直线截得的弦的中点为
（4，1），则该双曲线离心率的值是（ ）.
A ．25
B ．26
C . 310
D. 2
7.已知圆O 的半径为1,,PA PB 为圆O 的两条切线,,A B 是两切点,那么PA PB ⋅的最小值为 ( ) .
A
．4-+
．3-
C. 4-+
D. 3-+
8. 在正三棱锥ABC S -中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且AM MN ⊥，若侧 棱32=SA ，则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是（ ）． A ．π12 B ．π32 C.π36 D.π48
二、填空题（共6个小题，每题5分）
9.设圆C 与双曲线22
1
916x y -=的渐近线相切，且圆心与双曲线的右焦点重合，则圆C 的标准
方程为 .
10.已知实数,x y 同时满足下列条件:220,240,330x y x y x y +-≥-+≥--≤,
22x y +的最大值是 ,最小值是 .
11. 设首项为
1
a ,公差为d 的等差数列
{}n a 的前n 项和为n S ,56150S S ⋅+=,则公差d 的取
值范围是 .
12.正四面体ABCD 的棱长为1,AB α平面,则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成图形面积的取值范围是 . 13.
满足条件2,AB AC ==
的ABC ∆的面积的最大值是 .
14.已知偶函数()f x 满足：()(2)f x f x =-，且当x ∈(0,1)时，
()21x
f x =+,则12
(log 19)
f 的值为 .
三、解答题（共6个小题）
15.
已知函数
17()()cos (sin )sin (cos ),(,).12f t g x x f x x f x x π
π=
=⋅+⋅∈
(Ⅰ)将函数()g x 化简成sin()A x B ωϕ++（0A >，0ω>，[0,2)ϕπ∈）的形式； (Ⅱ) 函数()g x 的值域.
16. 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的. （Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的均值.
17． 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒， EB ⊥平面ABCD ，
EF//AB ，=2AB
，==1EB EF
，=BC M 是BD 的中点.
（Ⅰ）求证：EM//平面ADF ； （Ⅱ）求二面角D-AF-B 的大小；
（Ⅲ）在线段EB 上是否存在一点P ， 使得CP 与AF 所成的角为30︒？ 若存在，求出BP 的长度；若不 存在，请说明理由.
18. 已知点
()
1,1A ，过点
()
0,3B 的直线l 与函数
3
194y x =
+的导函数的图象交于,P Q 两点，
且AP AQ ⊥.
（Ⅰ）求直线l 的方程,并求线段PQ 的长
PQ
;
（Ⅱ）设函数()3ln 4g x x m =+,若函数31
94y x =+的图象恒在函数()y g x =图象的上方,
C
A
F
E
B
M
D
求实数m 的取值范围.
19. 已知各项均为正数的数列
{}{},n n a b 满足对任意的正整数n ，
都有1,,n n n a b a +成等差数列，
11
,,n n n b a b ++成等比数列,且
1210,15
a a ==.
（Ⅰ）求证:
数列是等差数列:
（Ⅱ）求数列
{}{},n n a b 的通项公式;
（Ⅲ）设
12
111
,n n S a a a =
+++
如果对任意的正整数n ，不等式22n n n b aS a <-恒成立,求实
数a 的取值范围.
20. 已知椭圆C ：22
2
21x y a b +=()0a b >>的中心O 关于直线250x y --=的对称点在直线
2x a =上，C 的离心率为1
2．
（Ⅰ）求椭圆
C 的方程；
（Ⅱ）过点
A ⎛ ⎝⎭的直线l 交椭圆C 于两点,M N ，设MA AN λ=，动点P 满足：MP PN λ=-，求点P 的轨迹方程；
（Ⅲ）过右焦点F 的直线l '交椭圆C 于两点,S T （异于长轴的端点），在x 轴上是否存在定点
E ，使直线,ES ET 的倾斜角总是互补的？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由
天津南开中学2015届高三数学统练17（理科）答案
一、选择题 BAAB CADC
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）
9. 16)5(22=+-y x 10. 13 ； 4
5
11.
()
,⎡-∞-⋃+∞⎣
12. 1,42⎤
⎥⎣⎦
13. 3516
三、解答题：（本答题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15.
已知函数
17()()cos (sin )sin (cos ),(,).12f t g x x f x x f x x π
π=
=⋅+⋅∈
(Ⅰ)将函数()g x 化简成sin()A x B ωϕ++（0A >，0ω>，[0,2)ϕπ∈）的形式；(Ⅱ) 函数()g x 的值域.
15.解：（Ⅰ）
1sin 1cos ()cos sin 1sin 1cos x x
g x x
x
x x --=+++ 2
2
22(1sin )(1cos )cos sin cos sin x x x
x
x
x --=+
1sin 1cos cos sin .cos sin x x
x
x x x
--=+
17,,cos cos ,sin sin ,12x x x x x π⎛⎤∈π∴=-=- ⎥⎝⎦1sin 1cos ()cos sin cos sin x x
g x x x x x --∴=+--
sin cos 2x x =+-＝ 2.
4x π⎛
⎫+- ⎪⎝⎭
（Ⅱ）由
1712x ππ<
＜，得55.443x πππ
+<＜
sin t 在53,42ππ⎛⎤ ⎥
⎝⎦上为减函数，在35,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，
又
5535sin
sin ,sin sin()sin 34244x πππππ∴≤+＜＜（当17,2x π⎛⎫∈π ⎪
⎝⎭），
即1sin()2)2344x x ππ
-≤+≤+--＜＜，
故
g(x)的值域
为
)
2,3.
⎡-⎣
16. 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的. （Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的均值. 16解：记A 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，记B 表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，记C 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，记D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种. （Ⅰ）C A B A B =⋅+⋅.
()()P C P A B A B =⋅+⋅()()P A B P A B =⋅+⋅()()
()()P A P B P A P B
=⋅+⋅
0.50.40.50.6=⨯+⨯0.5= （Ⅱ）D A B =⋅.()()
P D P A B =⋅()()P A P B
=⋅0.50.4=⨯0.2=.
()()
10.8
P D P D =-=
则（Ⅲ）
()
3,0.8B ξ
，故
ξ的分布
列:
()300.20.008
P ξ===,
()1
2310.80.20.096
P C ξ==⨯⨯=
()2
2320.80.20.384P C ξ==⨯⨯=,
()330.80.512
P ξ===. 30.8 2.4E ξ=⨯=
17． 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒， EB ⊥平面ABCD ，EF//AB ，=2AB
，==1EB EF
，=BC M 是BD 的中点.
（Ⅰ）求证：EM//平面ADF ； （Ⅱ）求二面角D-AF-B 的大小； （Ⅲ）在线段EB 上是否存在一点P ， 使得CP 与AF 所成的角为30︒？
C
A
F
E
B
M
D
若存在，求出BP的长度；若不
存在，请说明理由.
17.证明：（Ⅰ）取AD的中点N，连接MN,NF.在△DAB中，M是BD的中点，N是AD的
中点，所以
1
=
2
MN//AB,MN AB
，又因为
1
=
2
EF//AB,EF AB
，所以MN//EF且MN=EF.所
以四边形MNFE为平行四边形，所以EM//FN.又因为FN⊂平面ADF，⊄
EM平面ADF，故EM//平面ADF.
解法二：因为EB⊥平面ABD，AB BD
⊥，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-
B xyz. 由已知可得(0,0,0),(0,2,0),
B A
3
(3,-2,0),(
2
C E F M
（Ⅰ）
3
=(,0,-3)(3,-2,0)
2
EM,AD=
，
=
AF.
设平面ADF的一个法向量是()
x,y,z
n=.
由
0,
0,
AD
AF
n
n
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩得
32
x-y=0,
=0.
⎧⎪
⎨
⎪⎩
令
y=3，则n=. 又因为
3
(=3+0-3=0
2
EM n⋅=⋅
，
所以EM n
⊥，又EM⊄平面ADF，所以//
EM平面ADF.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面ADF的一个法向量是n=.因为EB⊥平面ABD，所以EB BD
⊥.又因为AB BD
⊥，所以BD⊥平面EBAF.故(3,0,0)
BD=是平面EBAF的一个法向量.所以
1
cos<=
2
BD
BD,
BD
n
n
n
⋅
>=
⋅
，又二面角D-AF-B为锐角，故二面角D-AF-B的大小为60︒.
（Ⅲ）假设在线段EB上存在一点P，使得CP与AF所成的角为30︒.不妨设(0,0,t)
P
（
0t≤≤，则=(3,-2,-),=
PC AF
t.
所以
2cos <2PC AF PC,AF PC AF
⋅>=
=
⋅
=
，
化简得35-=， 解得
t =<.
所以在线段EB 上不存在点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒.
18. 已知点
()
1,1A ，过点
()
0,3B 的直线l 与函数
3
194y x =
+的导函数的图象交于,P Q 两点，
且AP AQ ⊥.
（Ⅰ）求直线l 的方程,并求线段PQ 的长
PQ
;
（Ⅱ）设函数()3ln 4g x x m =+,若函数31
94y x =+的图象恒在函数()y g x =图象的上方,
求实数m 的取值范围.
18解. （Ⅰ）函数
319
4y x =
+的导函数为
234y x =,把:3l y kx =+代入23
4y x =得,234120x kx --=.设()()1122,,,P x y Q x y ,则
12124,43k
x x x x +=
=-,所以
2
1246
3
k y y +=+()2
12129916
y y x x =
=,因为
()
1,1A ,则()111,1,AP x y =--()
221,1AQ x y =--,
()()()()
12121111AP AQ x x y y ⋅=--+--.由于
AP AQ ⊥0
AP AQ ⋅=,
则
有
()()12121212110x x x x y y y y -+++-++=,2
4410
33k k --=,解得 31
,22k k =-=
或.
(ⅰ)当
3
2k =-
时,:3260l x y +-=, PQ =;
(ⅱ) 当
1
2k =
时,:230l x y -+=
,
PQ =
. （Ⅱ）设函数()3139ln 44f x x x m ⎛⎫
=+-+ ⎪⎝⎭,定义域为()0,+∞,
()()
3314x f x x -'=, 当01x <<时,
()0
f x '<,函数
()
f x 递减; 当1x >时,
()0
f x '>,函数
()
f x 递增; 当=1
x 时,
()=0
f x '.所以函数
()
f x 的最小值为
()3714f m =
-.函数()3
ln 4g x x m =+,若函数
3194y x =
+的图象恒在函数()y g x =图象的上方等价于()37104f m =->即
37
4m <. 19. 已知各项均为正数的数列
{}{},n n a b 满足对任意的正整数n ，都有1,,n n n a b a +成等差数列，
11
,,n n n b a b ++成等比数列,且
1210,15
a a ==.
（Ⅰ）求证:
数列是等差数列:
（Ⅱ）求数列
{}{},n n a b 的通项公式;
（Ⅲ）设
12
11
1,n n
S a a a =
+++如果对任意的正整数n ，不等式
22n
n n b aS a <-
恒成立,求实
数a 的取值范围.
19. 解: （Ⅰ）由已知1
2n n n b a a +=+ ①,
211
n n n a b b ++=⋅
②.
由②得对2n ≥,
1n
a += ,
n a
=代入①得
2n b
=
,
整理得
=所以数列
是等差数列.
（
Ⅱ
）
设
数列
的公差为
d
,由
1210,15
a a ==,则
12
25
,182b
b =
=
,
d
==
.所
以(
(14n n =+-=+.因而()()()
2
434,2
2
n
n n n n b a +++=
=
.
（Ⅲ）由 （Ⅰ）得
()()121
123434n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭
,所以
1
1244n S n ⎛⎫=- ⎪
+⎝⎭.
不等式
22n n n b aS a <-
⇔11442443n a n n +⎛⎫-<- ⎪++⎝⎭⇔()()213680a n n n -+--<. 记()()()21368f x a x a x =-+--,问题等价于()0f n <对n N *
∀∈恒成立. (ⅰ)当1a =时,适合;(ⅱ) )当1a >时,不适合;(ⅲ) 1a <函数()f x 的对称轴
()()32021a x a -=-<-,则()f n 递减, 则()15104f a <⇔<,所以1a <.综上,1a ≤.
20．解：（Ⅰ）设O 的对称点为()
20,a y ，则200250,21,2y a y a ⎧--=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 解得24a =，又12e =，得1c =，3b ，所以椭圆方程为22
143x y +=．
（Ⅱ）由题设，3311,M M N N x y x y λ⎛⎫⎛-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则()11M N x x λ-=-，同理有
()P M N P x x x x λ-=--；由两式消去λ：11N M P
M N P x x x x x x --=---，整理得 ()()22P M N M N M N x x x x x x x +-=-+．设l ：()31y k x =-，即
3y kx k ⎛=- ⎝⎭，代入椭圆方程并整理得
()(2224342344390k x k k x k k +-+--=． (2423
436
2243M N k k k x x k ++-=-=+，
()()(22224439423
4318
24343M N M N k k k k k x x x x k k ---+-+==-++，于是
()
243186112
436233M N M N P M N x x x x k x x x k k -++===+≠+-++，将321P P y k x -=-代入， ()()()
()616
1233233123321P P P P P P x x y y x x --==--+-+-，于是()()323316P P y x -+-=，。