3-4柯西积分公式及推论

第三章 复变函数的积分
哈 尔 滨 工 程 大 学
§3.4 柯西积分公式及其推论
学习要点
复 变 函 数 与 积 分 变 换
掌握柯西积分公式 掌握高阶导数公式
一、柯西积分公式
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1. 问题的提出
设 f ( z ) 在 以 圆 C :| z z 0 | r0 ( 0 r0 )为 边 界 的 闭 圆 盘 上 解 析 ， f ( z )沿 C 的 积 分 为 零 。 考虑积分
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( 缩 小 )
C
复 变 函 数 与 积 分 变 换

f ( z0 ) z z0
C
d z f ( z0 )
C
d z 2 if ( z 0 ).
2. 柯西积分公式
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定理3.9 (柯西积分公式)
设 D是 以 有 限 条 简 单 闭 曲 线 C为 边 界 的 有 界 区 域 , 设 f ( z )在 D 及 C 所 组 成 的 闭 区 域 D 上 解 析 ， 那 么 在 D内 任 一 点 z， 有
4 dz 2 z 1
sin


z1 1 2
2 sin z 4 z1
z1
dz

z
2 i
4 z1
z 1

2 2
i;
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sin 2)

sin z

z dz

z 1 1 2
4 dz 2 z 1

z 1 1 2
4 z1 z1
复 变 函 数 与 积 分 变 换
I

f (z)
C
z z0
dz
1) 被积函数在C上连续，积分I必然存在；
2) 在 上 述 闭 圆 盘 上 不 一 定 为 0; f (z) z z0 不 解 析 ， I的 值
例 如 ： f ( z ) 1时 ， I 2 i .
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z 4

1 z1
dz
z 4

2 z3
d z 2 i 1 2 i 2 6 i .
复 变 函 数 与 积 分 变 换
3)

zi 1 2
1 z ( z 1)
2
dz.
1
f (z )
1 z ( z 1)
2

1 z ( z i )( z i )
若函数f
z在圆
1 2
z z 0 R上 及 其 内 部 解 析 ，
2
则
f
z0

f
0

z0 R e
i
d
复 变 函 数 与 积 分 变 换
即解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 平均值. 证明 令 C 表 示 圆 周 z z 0 R . 则
z z0 R e
zi
2 i
1 2i
2
i.
sin
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z
例2 计 算 积 分
1) z1
sin

C
4 dz, 其 中 C : 2 z 1 ; 2) z1 1 ; 3) z 2.
1 2

复 变 函 数 与 积 分 变 换
z
解 1)

z1 1 2
f
(n)
(z)
2 π i (
C
n!
f ( ) z)
n1
d
( n 1, 2 , )
其 中 C 为 在 函 数 f ( z )的 解 析 区 域 D 内 围 绕 z的 任 何 一 条 正 向 简 单 闭 曲 线 , 而 且 它 的 内 部全含于 D.
证 设 z为 D 内 任 一 点 , 先 证 n 1 的 情 况 ,
2! f ( ) ( z )
3
复 变 函 数 与 积 分 变 换
可 得 f ( z )
2 i
d .
C
至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是 解析函数.依次类推, 利用数学归纳法可证
f
(n)
(z)
2 i
n!
f ( ) ( z )
n1
dz.
C
[证毕]

z(z i) zi
z0 i ,
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因 为 f (z) 在 z i
1 2
内解析,
1 z(z i) zi dz

zi 1 2
1 z ( z 1)
2
dz

zi 1 2
复 变 函 数 与 积 分 变 换
2 i
1 z(z i)
2 i
1
C
z z
d ,
f
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z
1
z f z
z
f

2 i
C
1
f

2


z
d

[ 2 i
C


f

z z z
f

z z
]d
复 变 函 数 与 积 分 变 换
i
0 2
因 此 z z0 R e
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i
,
d z iR e
i
d
由柯西积分公式
f
z0
1 2 i
2 i
C
1
f
z
z z0
dz
i
复 变 函 数 与 积 分 变 换

2 0
f

z0 R e

i
iR e
i
d
Re
D
C
Cr
z
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f ( )
C
z
d

f ( )
Cr
z
d

f
Cr


z
d

f
Cr

f
z
f
z
f
z
d d 1 d
复 变 函 数 与 积 分 变 换

f
Cr

f (z)
z
复 变 函 数 与 积 分 变 换
f (z)
2 i
1
f ( )
C
z
d
C是D的正向边界，我们称它为柯西积分公 式。
证明： 设 z D , 显 然 函 数 F ( )
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f ( )
z
在满足
D , z的 点 处 解 析 。
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根据导数的定义,要证明
f
z 0
lim
z
z f z
z

2 i
C
1
f

2

z
d
复 变 函 数 与 积 分 变 换
从柯西积分公式得
f (z)
2 i
1
f ( )
C
z
d , f ( )
f ( z z )
复 变 函 数 与 积 分 变 换
sin

z
4 2 i z1
z 1

2 2
i;
sin
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z
3)
z 2

4 dz 2 z 1
由闭路复合定理, 得
sin

z
sin

z
sin
π
z
复 变 函 数 与 积 分 变 换
z 2

4 dz 2 z 1

2、公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路 积分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个 积分表达式. (这是研究解析函数的有力工具) 柯西公式是解析函数的最基本的性质之一， 对于复变函数理论本身及其应用都是非常重 要的。
复 变 函 数 与 积 分 变 换
3. 解析函数的平均值定理
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故 在 圆 周 C r上 ， 亦 有 f

f
z
f

复 变 函 数 与 积 分 变 换

Cr
f

f
z
z
d

Cr
f

z
z
d
<

r
2 r 2
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于 是 有 lim
r 0

Cr
f

f
z
z
z1 1 2
4 dz 2 z 1

z 1 1 2
4 dz 2 z 1

2 2
i
2 2
i
2 i .
二、高阶导数公式
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定理3.10
解 析 函 数 f (z) 的 导 数 仍 为 解 析 函 数 ,
它 的 n 阶 导 数 为:
复 变 函 数 与 积 分 变 换
z 0 位 于 z 4 内,
复 变 函 数 与 积 分 变 换
由柯西积分公式
1 2 i
z 4

sin z z
dz
1 2 i
2 i sin z
z0
0;
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2 1 2) z 1 z 3 dz. z 4
2
dz.
sin

z
例2 计 算 积 分
1) z1

C
4 dz, 其 中 C : 2 z 1 ; 2) z1 1 2 ; 3) z 2.
1 2
例1 求下列积分
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解 1)
1 2 i
z 4

sin z z
d z;
因 为 f ( z ) sin z 在 复 平 面 内 解 析 ,
现在考虑f(z)为一般解析函数的情况。
作 以 z0 为 中 心 , 半 径 为 很 小 的 的 正 向 圆 周 C : z z0 ,
复 变 函 数 与 积 分 变 换
根据闭路变形原理知, 得

f (z)
C
z z0
dz

f (z)
C
z z0
dz
因此，I的值只与f(z)在z0点附近的值有关。
以 z为 心 ， 作 一 个 包 含 在 D内 的 圆 盘 ， 设 其 半 径 为 r， 边 界 为 圆 C r ,方 向 为 逆 时 针 。
复 变 函 数 与 积 分 变 换
在 D 上 ， 挖 去 以 C r为 边 界 的 圆 盘 ， 余 下 的 点 集 是 一 个 闭 区 域 Dr .
f ( ) 在 D r上 ， 解析，所以有 z
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并取
z 适 当 地 小, 1 2
C
z
d
D
满 足 z
d,
则 z d
复 变 函 数 与 积 分 变 换
1
z

1 d
,
z z z z
d 2
1
,
z z
ML

2 d
,
2 i
C
z
f


z

1 2

2
f
0
z
0
Re
i
d
例1 求下列积分
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1)
1 2 i
z 4

sin z z
1
dz
2 1 2) z 1 z 3 dz. z 4
3)
复 变 函 数 与 积 分 变 换

zi 1 2
z ( z 1)
由 f (z) 的 连 续 性 ,
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在 C上 函 数 f (z) 的 值 将 随 着 的 缩 小 而 逐 渐 接 近 于 它 在 圆 心 z0 处 的 值 ,

f (z) z z0
dz 将 接 近 于
C

f ( z0 ) z z0
1 z z0
dz.

2 i
C
z

z
2

z z
d
?
0
因 为 f (z) 在 C 上 解 析 , 所 以 在 C 上 连 续,
故 f ( z ) 在 C 上 有 界 , 于 是 M 0, 使得 f (z) M ,
设 d 为 从 z到 曲 线 C 上 各 点 的 最 短 距 离 ,
2

z z
d z
d
3
这里 L 为 C 的长度.
0 (z 0)
于 是 f ( z )
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2 i
1
f ( ) ( z )
2
dz,
C
再利用以上方法求极限
z 0
lim
f ( z z ) f ( z ) z
f
d 0
从而得到

Cr

z
d 2 if
z
z D
复 变 函 数 与 积 分 变 换
即
2 i
1
f
C

z
d f
z
[证毕]
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注解 1、对于某些有界闭区域上的解析函数，它 在区域内任一点所取的值可以用它在边界上 的值表示出来。 (这是解析函数的又一特征)
f f (z)
d

z
Cr
z

Cr
z
f f (z)
d f
z C z
r
z
Cr
z
d 2 if
因 为 f ( ) 在 z连 续 ,
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所 以 0 , ( ) 0 ,当 z 时 , 有 f ( ) f ( z ) 成 立 .
例3
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计算下列积分, 其中 C 为正向圆周: 1)
z r 1. dz.

co s z ( z 1)
5
d z;
2)
C

e
2
z 2
C
( z 1)
复 变 函 数 与 积 分 变 换
例4 求 积 分
z 1

e z
z n
dz.
(n 为 整 数 )
例3