正弦定理与余弦定理 教案

正弦定理与余弦定理 教案
教学目标 正弦定理与余弦定理
重点难点
理解定理证明过程，能够灵活运用
【命题规律】
1.考查本节内容时多数与其他三角函数知识相结合，题目多为容易题，主要考查正余弦定理、三角形面积公式及利用三角公式进行恒等变形的技能、运算，以化简、求值或判断三角形的形状为主；
2.从能力要求上看，主要考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转化思想的应用能力；
3. 在未来的高考中会以正弦定理、余弦定理为框架，以三角形为主要依据，来综合考查三角知识，同时我们也要关注应用两定理解决实际问题.
【要点回顾】
1、内角和定理：在ABC ∆中，A B C ++= ；sin()A B += ；
cos()A B += cos
2
A B +=
2．正弦定理：
形式一： (解三角形的重要工具)
形式二：
(边角转化的重要工具)
4.余弦定理：
形式一： ； ； (解三角形的重要工具)
形式二：cos A = ； cos B = ； cos C = 注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②C
B A c b a C
c B
b A
a sin sin sin sin sin sin ++++=
=
=。

Ⅱ。

几个公式:
⑴三角形面积公式：))(2
1(,))()((sin 2
121c b a p c p b p a p p C ab ah S ABC ++=
---=
=
=
∆；
⑵内切圆半径r=
c
b a S ABC ++∆2；外接圆直径2R=
;sin sin sin C
c B
b A
a =
=
⑶在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：⊿ABC 中，sin sin A B A B >⇔> Ⅲ．已知A b a ,,时三角形解的个数的判定： 其中h=bsinA, ⑴A 为锐角时：
①a<h 时，无解；
②a=h 时，一解（直角）；③h<a<b 时，两解（一锐角，一钝角）；④a ≥ b 时，一解（一
锐角）。

⑵A 为直角或钝角时：①a ≤ b 时，无解；②a>b 时，一解（锐角）。

【例题讲解】
1、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及c
B b sin 的值.
2、在△ABC 中，sin A =C
B C B cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状.
【自我测评】
一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．在△ABC 中，A B B A 2
2
sin
tan sin tan ⋅=⋅，那么△ABC 一定是 （ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
3．有分别满足下列条件的两个三角形：①∠B ＝30°，a ＝14，b ＝7；②∠B ＝60°，a =10,b =9，那么下面判断正确的是 ( ) A.①只有一解，②也只有一解 B.①、②都有两解
C.①有两解，②有一解
D.①只有一解，②有两解 3．若c C b B
a A
cos cos sin ==则△ABC 为
（ ）
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．有一个内角为30°的直角三角形
D ．有一个内角为30°的等腰三角形 13. 在△ABC 中，若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,则△ABC 是（ ） A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
5．设A 是△ABC 中的最小角，且1
1
cos +-=a a A ，则实数a 的取值范围是
（ ）
A ．a ≥3
B ．a ＞－1
C ．－1＜a ≤3
D ．a ＞0
8. 在∆ABC 中,已知a=x,b=2,B=45o
，如果利用正弦定理解三角形时有两解，则x 的取值范围是（ ） A.222<<x B.222≤<x C. x>2 D.x<2
7．已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为
（ ）
A ．41-
B ．41
C ．32
- D ．32
8．锐角△ABC 中，R B A Q B A P B A =+=+=+cos cos ,sin sin ,)sin(，则 （ ）
A ．Q>R>P
B ．P>Q>R
C ．R>Q>P
D ．Q>P>R
9．△ABC 的内角A 满足,0sin tan ,0cos sin <->+A A A A 且则A 的取值范围是（ ）
A ．（0，
4
π）
B ．（
4
π，
2
π） C ．（
2π
，π4
3
） D ．（
4π
，π4
3
） 10．关于x 的方程02
cos cos cos 2
2
=-⋅⋅-C B A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．钝角三角形
11．在△ABC 中，)13(:6:2sin :sin :sin +=C B A ，则三角形最小的内角是（ ）
A ．60°
B ．45°
C ．30°
D ．以上都错
12．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长
（ ） A ．1公里 B ．sin10°公里 C ．cos10°公里 D ．cos20°公里 二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）
13．在△ABC 中，a +c=2b ，A －C=60°，则sinB= .
14．在△ABC 中，已知AB=l ，∠C=50°，当∠B= 时，BC 的长取得最大值.
15．在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC 边的中线27
=AD ，那么BC= .
20. 在△ABC 中,S △ABC ＝310，A=60O ,且b:c=5:2，则此三角形内切园半径为_________ .
三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，设a +c=2b ，A －C=
3
π
，求sinB 的值.
18．设三角形各角的余切成等差数列，求证：相应各边的平方也成等差数列.
19．在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，且b
a b a B A +-=
-2
tan
，试判断△ABC 的形状.
20．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，求证：
C
B A c
b a sin )sin(2
2
2
-=
-.
21．已知A 、B 、C 成等差数列，求2
tan
2tan 32
tan
2
tan C A C A ⋅+
+的值.
22．在奥运会垒球比赛前，C 国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°方向把球击出，
根据经验，通常情况下，球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样布置，游击手能否接着球？
参考答案（12）
一、1.D 2. D 3.B 4.B 5.A 6.C 7.A 8.A 9.C 10.A 11.B 12.A 二、13．
8
39 14．40° 15．9 16．1:2:3
三、17．∵B R C R A R sin 22sin 2sin 2⨯=+ ∴2
cos 2
sin 22
cos 2
cos
B B
C A B ⋅⋅=-⋅
故4
32
sin =B ∴8
39sin =B
18．∵C A B B C
A B sin sin /sin
cos 2cot cot cot 22
⋅=∴+= 故R
c R a R
b
ac
b c a 22)
2(2)(22
2
22⋅=
-+∴a 2+b 2=2b 2 故证
19．△ABC 是等腰三角形或直角三角形 20．
C
B A C
B A
C C
A
B C
B
A c
b a sin )sin(sin
)
sin(sin sin 22cos 2cos sin
sin sin
2
2
2
2
2
22
2
-=
-⋅=
-=
-=
-
21．∵A+B+C=π A+C=2B ∴A+C=
π32
32
tan
=+C A
)2
tan 2tan 1(32tan 2tan C
A C A ⋅-=+ 故有 32
tan 2
tan
32tan
2tan
=
⋅+
+C A C A
22．如图：设接球点为B ，O 为守垒，A 为游击手出发点
︒
=
∠15sin sin AB OAB
OB
∴1264
26415sin sin >-
=
-⋅≥︒
⋅=∠vt vt AB
OB OAB 故不能接着球。