平面一般力系

I
FD

(a) K
FB
(c)
（2）解析法 1.取制动蹬ABD作为研究对象。
y
A
2.画出受力图，并由力的可传性 化为共点力系。 3.列出平衡方程：
FD
O
45°
B

x
F
B
F
D
F F
x y
0 ，FB F cos 45 FD cos 0 0 ，FD sin F sin 45 0
C
F F
解得
x
0, 0,
y
FAB sin FAD sin 0 2 2 FAB cos FAD cos F 0 2 2
F 2 cos
β α
A
β
E D 压板
工件
B y
F
FAB FAD
2
A
FAB
2 2
x FAD
其次选择滚轮 B（或D）为研究对象，杆 BC 亦为二力杆，
Fx F cos Fy F cos F sin
力沿坐标轴的分解
Fy
A

F

Fx x
j
O
i
Fx
Fx Fx i , Fy Fy j F Fx Fy Fx i Fy j
注：投影是代数量，分力是矢量。问题：投影与分力的 大小一定相等么？
M
C
（2）取挡板C为研究对象
Fy 0, FM FCB cos 0
解得
FCB
C
F FM FCB cos cot 2
FNC FM
FCB
例题5 图a所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的 力F=212 N，方向与水平面成a = 45角。当平衡时，DA铅直，BC 水平，试求拉杆BC所受的力。已知EA=24 cm， DE=6 cm点E在 铅直线DA上 ，又B ，C ，D都是光滑铰链，机构的自重不计。 F 解：（1）几何法 A
F1 F2 A h C α B
α
C
α
P P
M P F1 α α K
Pl P F1 F2 2h 2 sin
由此式可知，柔度h越大，绳的张力越小；
h 0, F
N F2
如果要求绳张力不超过一定值，则α应满足什么条件？
四、 平面汇交力系合成的解析法
1.力的投影与分解
Fy y
B
力在坐标轴上的投影
这仍是一平面汇交力系的平衡问题。
y
作直角坐标系Bxy，列平衡方程:
F
x
0, FBC sin FBA sin

2
FBC
0
β

2
FBA
x
Fy 0, FN FBC cos FBA cos
解得 FN FBA (sin
代入 得
FBA FAB

2
0
B

2
cot cos
例题3 已知：P，a ，求：A、B处约束反力。 解： （1）取刚架为研究对象 （2）画受力图 （3）建立坐标系，列方程求解
P
a
C
2a
D
Fx 0, F y 0,
P FA cos 0 FB FA sin 0
y
A
B
FB
解上述方程，得
5 1 FA P , FB P 2 2
2.合力投影定理（合矢量投影定理） 合力FR与各分力矢在x轴和y轴上投影
y d2 c2 b2 e2 a2 F3 F2 F1 FR F4
的关系为
a1e1= a1b1+b1c1+c1d1+d1e1 a2e2= a2b2+b2c2+c2d2-d2e2 故 FRx= F1x + F2x+ F3x+ F4x
引 言
力系—作用在物体上所有力的总称（力的集合） 根据力的作用线是否共面可分为： 平面力系 空间力系 汇交力系 根据力的作用线是否汇交可分为： 平行力系 任意力系 平衡力系—作用在物体上使物体保持平衡的力系
引 言
设：共点力系 {F1 , F2 , , Fn }作用在质量为 m 的质点上。
R
F B G F
O

A
(a)
O h
FB

FA
FB sin F FA FB cos G
解得
F
(c)
FB
G
B
A
F FB 10 kN, FA G FB cos 11.34 kN sin
FA
(b)
F FB
2. 碾子能越过障碍的力学条件是
O
FA=0， 得封闭力三角形abc。 由此可得
FB
P
例题2 运输用的架空索道。钢索的两端分别固结在支架的A端和B端， 设钢索ACB长为2l，最大柔度为h，如略去钢索的重量及滑轮C沿钢 索的摩擦。试求当重为P的载荷停留在跨度中心时钢索的张力。 解：（1）取滑车为研究对象 （2）画受力图 （3）作力三角形
MN / 2 h sin KM l
FRy= F1y + F2y+ F3y + F4y
a1 b1 c1
d1 e1
x
推广到n个力 FRx= F1x + F2x+ F3x+… +Fnx=∑Fix FRy= F1y + F2y+ F3y +…+Fny=∑Fiy 合力（合矢量）投影定理：合力（合矢量）在任一轴上的投影 等于各分力（分矢量）在同一轴上投影的代数和。
i 1 结论：力系中 Fi 是反映其作用效应的物理量之一 i 1 F
n
n 根据牛顿第二定律有 ma Fi FR
A
F
A
F
B
问题: 如何用数学 工具描述非共点力
A
B
F
A
F
系对刚体的作用效
D
应?
第二章 平面力系
§2-1 平面汇交力系 §2-2 平面力对点之矩 平面力偶 §2-3平面任意力系的简化 §2-4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 §2-5物体系的平衡 静定和超静定问题
两个独立方程 可求解两个未知量
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个任选的坐
只要不平行即可
2. 解析法解题步骤：
（1）选取研究对象； （2）画出研究对象的受力图； （3）合理选取坐标系，列平衡方程求解； （4）对结果进行必要的分析和讨论。 几点说明： （1）投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个 未知数； （2）未知力的方向可以先假设，如果求出负值，说明与假设相 反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说 明物体受压力。
F1 A FR F3 F2 F4
合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端。
三、 平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。
F3 F2 F4
F
i 1
n

i
0
结论：平面汇交力系平衡的必要 和充分条件是，该力系的力多边 形自行封闭。 先画主动力，再画约束反力
(b)

G
B A
FA
FB

a FB
F G tan 11.5 kN
G FB 23.09 kN cos
FA F
(c)
G
c
Fmin
F
G b
3. 拉动碾子的最小力为
G FB 23.09 kN cos
例题8 气动夹具简图所示。气缸固定在工作台上，设活塞受到向 下的总压力为F=7.5 kN。四杆AB，BC，AD，DE均为铰链连接。 B，D为两个滚轮，杆和轮的重量均略去不计，接触均为光滑。 在图示位置α=150o，β=10o，试求压板受到的压力为多少？ F 解: 选择铰 A 为研究对象，AB 和 AD 均为二力杆。铰 A 的受力如图所示。 作直角坐标系Axy，列平衡方程：
F

2
FN
)
2 cos

2
,
滚轮 D 受到压板的约束力亦等
于FN，故压板受到的压力为：
FN1 2FN F 1 tan cot 166 kN 2
F FN (1 tan cot ) 2 2
§2-2 平面力对点之矩 平面力偶
1.力对点之矩
M O ( F ) F h 2 AOAB（N· m）
B
30°
30°
x
FAB G
例题7 如图轧路碾子自重G = 20 kN，半径 R = 0.6 m，障碍物高h = 0.08 m碾 子中心O处作用一水平拉力F，试求: (1)当水平拉力F = 5 kN时，碾子对地面 和障碍物的压力；(2)欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；(3)力F 沿什么方向拉动碾子最省力，此时力F为多大。 解： 1. 选碾子为研究对象，受力分析如图b所示。 各力组成平面汇交力系，根据平衡的几何条 件，力G ， F ， FA和FB组成封闭的力多边形。 由已知条件可求得 Rh cos 0.866, 30 R 再由力多边形中各矢量的几何关系可得
x
例题4 已知：F，a ，求：物块M的压力。 解：（1）取销钉B为研究对象

A
Fx 0, F ( FBA FBC ) sin 0 Fy 0, FBC cos FBA cos 0
解得
B
FBA
B
F

F
FBC FBA
F 2 sin
FBC
FBC
§2-6 平面简单桁架的内力计算 结论与讨论
§2-1 平面汇交力系
一、工程实例
平面汇交力系，就是各力的作用线都在同一平面内， 且汇交于一点的力系
二、 平面汇交力系合成的几何法 力多边形法则
F1
F2
FR
F3
F3
F2 FR1 F R2 F1 A FR A F3 F4 F2 F4 FR F1
A
F4
两个共点力的合成—力的平行四边形法则（三角形法则）
sin 0.243 , cos 0.969
已知：
14.03,
联立求解得
FB 750 N
例题6 利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一货物重G = 20 kN，滑 轮由两端铰接的水平刚杆AB和斜刚杆BC支持于点B 。不计铰车 的自重，试求杆AB和BC所受的力。 解： 1.取滑轮 B 轴销作为研究对象。 2.画出受力图。 3.列出平衡方程：
A 30° 30°
B
C
Fx 0, FBC cos 30 FAB F sin 30 0 F y 0, FBC cos 60 G Fcos 30 0
联立求解得
a
y
G
FBC
FAB 5.45 kN
FBC 74.5 kN
F
约束力FAB为负值，说明该力实际指向与图上假 定指向相反。即杆AB实际上受拉力。
2 Rx 2 Ry 2 2
A
x
F4
五. 平面汇交力系平衡方程
1.平面汇交力系的平衡方程 平衡的必要和充分条件是：该力系的合力FR等于零。
2 2 FR FRx FRy ( Fxi )2 ( Fyi )2 0
Fxi 0 F yi 0
标轴上投影的代数和等于零。
任意个共点力的合成—力的多边形法则，多边形封闭边即为合力。
结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于 各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。
FR F1 F2 Fn Fi
几点讨论：
合力矢FR与各分力矢的作图顺序无关； 各分力矢必须首尾相接；
F1 A
FR
2.解题步骤 （1）选研究对象；（2）画受力图；（3）选比例尺作力多边形。
例题1
已知：P，a ，求：A、B处约束反力。
2a
P a
C D
解：（1）取刚架为研究对象 （2）画受力图 （3）按比例作图求解 由图中的几何关系得
FA P 2 FB2 5 P 2
A
B
FA FA

FB
FB P tan 0.5 P
几点说明：
B
F
（1）MO(F)是影响转动的独立因素；
（2）MO(F)是代数量，使物体逆时针 转时为正；反之为负； （3）互成平衡的两个力对同一点之矩 的代数和为0； （4）力F对任一点之矩，不因该力的作 用点沿其作用线移动而改变。
h

取制动蹬ABD作为研究对象受力如图。
OE EA 24 cm
tan DE 6 OE 24
O
A
F
24cm
B O

E
C
6cm
1 arctan 14.01 4
B E
FD
(b)
FB
D J
D
sin180 FB F 750 N sin
F

3.合成的解析法（投影法）
y F2
FR F1 F2 Fn Fi
根据合力投影定理：
F1
FR
F3
FRx Fx1 Fx 2 Fxn Fxi FRy Fy1 Fy 2 Fyn Fyi
( Fxi ) ( Fyi ) FRy FRx cos(FR , i ) , cos(FR , j ) FR FR FR F F