22整数规划解法11
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(0 ,0 ,0) (0 ,0 ,1) (0 ,1 ,0) (0 ,1 ,1) (1 ,0 ,0) (1 ,0 ,1) 0 5 3 8 -2 3 < > < > < <
当前最好值
3 5
8
(1 ,1 ,0)
(1 ,1 ,1)
1
6
<
< Z=8
28
最优解 x = (1 ,0 ,1 )T
(0) Z=221 X7=X5=X4= 1 X1=1/3
X1=0
(2) 220 X7=X5=X4= 1 X2=1 X2=1/4 X2=0 (3) 214 X2=X7=X5= 1 X3=1 (4) 220 X7=X5=X4= 1 X3=1/3 X3=0 (6) 219 X7=X5=X4= 1 X6=1 X6=1/13 X =0 6 (7) (8) 174 217 X6=X7=1 X7=X5=X4= X5=6/15 1 23
11
例3： maxZ=40X1 + 90X2 9X1+7X2 56 7X1+20X2 70 X1 , X2 0 X1 , X2为整数
12
解：先解问题(1)的松弛问题
4.809
X* = 1.817
Z* =355.890， 上界Z*
选X1分枝 问题(2) (1) X1 4 问题(3) (1) X1 5
x1 +4x2 +x3 4 x1 + x 2
① ② ③ ④
3
4x2+x3 6 x1 , x2 , x3为0或1
解：观察得解(x1 , x2 , x3 )=(1 ,0 ,0)
过滤条件：3x1 - 2x2+5x3 3
Z0 =3
将(x1 x2 x3 ) (x2 x1 x3 )
27
解(x2 x1 ห้องสมุดไป่ตู้3 ) 目标值 Z0 ① ② ③ ④
(5) 216 X3=X7=X5= 1 X4=1/3
隐枚举法
(一)、基本思想： maxZ=CX 对 AX=b 的2n个可能解，只检查其中一部分
X为0
例： maxZ = 2x1+4x2 +x3 3x1 - 8x2+5x3 -1 x1 , x2 , x3为 0 ,1
24
X1 =0
X1 =1
X2 =0 X2 =1
2
一般形式：
m ax Z
C
i 1
n
i
Xi
n ai X i b i 1 X 0 ,整数 i
3
§2.2 整数规划解法
(一)、整数规划的解：
可行域为其相应线性规划问题的可行域的子集 (图1) x2 例1、
6
LP:X=(4.8,0) maxZ=96 ILP:X=(4,1) maxZ=90
6
由上例可以看出，舍入化整的方法有时是行不通的， 对于这一类问题必须进行专门的研究，即整数规划。
7
所谓整数规划，就是在一般的线性规划模型中再 加上全部变量或部分变量只能取整数值的要求所 得到的一类规划。其中，要求全部的变量都为整 数的问题称为纯整数规划（Pure Integer Programming）或称为全整数规划（All Intger Programming）；而仅要求一部分变量为整数的问 题称为混合整数规划。整数规划中的一种特殊情 形是0-1规划，它的变数取值仅限于0或1。 显然，整数线性规划的可行解集是相应的线性 规划的可行解集的一个子集。很多实际问题都可 以归结为整数规划问题，而解整数规划问题通常 比解相应的线性规划问题困难得多，因而研究整 8 数规划的问题解法是很有意义的。本章介绍几种
X1 5
(3) S0 =0 5 341.39 1.571 X2 1 340 X2 2 (7) 无解
15
1.428 327.12 3
307.76
分枝定界法一般步骤：
(1)、问题(A), 先解(A)的松弛问题(B)
(2)、① (B)无可行解→(A)无可行解。
② (B)最优解符合(A)要求，停。
③ (B)最优解不符合(A)要求，转(3)。 (3)、估整数解S0 ，作下界 (4)、选(B)解中不符合整数条件的分量Xj (Xj = bj ) 分枝，作(B)的后续问题(C)、(D)。
13
问题(2)
解为 X1 =4
问题(3) Z=349.0
解为 X1 =5
X2 =2.1
X2 =1.571
Z=341.39
选问题(2)继续分枝 问题(4)
(2) X2 2
问题(5)
(2) X2 3
14
(1) S0 =0 4.809 355.890 1.817 X1 4
(2) S0 =0 4 349.0 2.1 X2 2 (4) S0 =0 4 340 2 (5) X2 3 340 (6) 5.444 1
X2 =0
1
0
1
0
X1 =1
X3 =0
1 0
1 0
1 0
1
0
1 0
X3 =1
25
(二)、简单隐枚举法(max) 原则：
(1)、用试探法，求出一个可行解，以它的目 标值作为当前最好值Z0
(2)、增加过滤条件Z Z0 (3)、将xi 按ci由小大排列
26
例：maxZ = 3x1 -2x2+5x3 x1 +2x2 - x3 2
+ 26X6+ 112X7 (A)
3X1 + 4X2 + 3X3 + 3X4 + 15X5 + 13X6+ 16X7 35
Xj为0或1，(j=1…7)
松弛问题(B)为
同于(A)约束，目标
0 Xj 1 (j=1…7)
21
解:“单位重量价值大的先放”
重量 1 3 价值 12 价/重 4 ④
17
优点： (1)、任何模型均可用；
(2)、思路简单、灵活；
(3)、速度快； (4)、适合上机。
18
分枝定界法注意事项：
(1)、分枝变量选择原则： ① 按目标函数系数：选系数绝对值最大者变 量先分。
对目标值升降影响最大。
② 选与整数值相差最大的非整数变量先分枝。 ③ 按使用者经验，对各整数变量排定重要性 的优先顺序。
第2章 整数规划
§2.1 数学模型 例1、集装箱运货
货物
甲 乙
装运限制
体积(米3/箱)
5 4 24
重量(百公斤/箱)
2 5 13
利润(千元/箱)
20 10
1
解：设X1 , X2 为甲、乙两货物各托运箱数
maxZ = 20 X1 + 10 X2
5X1+4X2 24 2X1+5X2 13 X1 , X2 0 X1 , X2为整数
2
(4,1 )
6.5
O
(4.8,0)
x1 4
(1)、四舍五入法 可估近似解，例中X=(4,0), Z=80 80< Z* < 96 0<Z*- 80<16 (2)、穷举法
当100个0－1变量，计算机，几亿年
5
【例2】求解下面的规划问题： max z= 2x1+ 3x2 x1+x2 ≤4.95 2 x1 + x2 ≤400 x1 ≥0， x2 ≥0 x1,x2都是整数 我们用图解法求解。在图2中，阴影部分是上述规 划问题的可行域，其最优点为A（0，4.95），最优值 为14.85。图中画"×"号的点是整数规划的可行点，其 最优点为B（0，4），最优值为12。若将A点四舍五入 "凑整"为（5，0），则对于原问题而言已不是可行解。
(二)、常用方法 • 分枝定界法 • 割平面法
• 隐枚举法
9
(三)、分枝定界法
基本思路 maxZ=CX maxZ=CX (B) AX=b X 0
AX=b
(A) X 0
X为整数 (B)为(A)的松弛问题。
10
i+1
Xj*
i
X*
(B) (C)
(B)
Xj i+1
(D)
Xj i(i=[Xj ])
19
(2)、分枝节点选择： ① 深探法(后进先出法)： 最后打开的节点最先选，尽快找到整数解。 整数解质量可能不高。 ② 广探法： 选目标函数当前最大值节点，找到的整数 解质量高。慢。
20
0－1问题的分枝定界法（背包问题)
例： maxZ=12X1 + 12X2 + 9X3 + 15X4 + 90X5
2
3 4 5 6 7
4
3 3 15 13 16
12
9 15 90 26 112
3
3 5 6 2 7 ①
22
③ ②
X1=1 (1) 219 X1=X7=X5= 1 X4=1 X =1/3 4 X4=0 (9) (10) 217 217 X1=X4=X7= X1=X7=X5= 1 1 X5=13/5 X2=1/4
(C)： (B）加约束Xj [bj ] (D)：(B)加约束Xj [bj ]+1
16
(5)、解(C)、(D)
剪枝条件：① (C)，[(D)]无可行解
② (C)，[(D)]对应的目标值S S0
③ (C)，[(D)]对应的目标值Sc>S0
且解为整数解，令ScS0
且解为非整数解，令(C)，[(D)] 取代(B) 返回(4) (6)、全部枝剪完，停
x41maxz90654801四舍五入法可估近似解例中x40z808080162穷举法当100个01变量计算机几亿年隐枚举法二常用方法三分枝定界法基本思路maxzcxaxbmaxzcxaxb567x48091817分枝问题2选2继续分枝问题421z34901571z3413948091817340327123403077610分枝定界法一般步骤
当前最好值
3 5
8
(1 ,1 ,0)
(1 ,1 ,1)
1
6
<
< Z=8
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最优解 x = (1 ,0 ,1 )T
(0) Z=221 X7=X5=X4= 1 X1=1/3
X1=0
(2) 220 X7=X5=X4= 1 X2=1 X2=1/4 X2=0 (3) 214 X2=X7=X5= 1 X3=1 (4) 220 X7=X5=X4= 1 X3=1/3 X3=0 (6) 219 X7=X5=X4= 1 X6=1 X6=1/13 X =0 6 (7) (8) 174 217 X6=X7=1 X7=X5=X4= X5=6/15 1 23
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例3： maxZ=40X1 + 90X2 9X1+7X2 56 7X1+20X2 70 X1 , X2 0 X1 , X2为整数
12
解：先解问题(1)的松弛问题
4.809
X* = 1.817
Z* =355.890， 上界Z*
选X1分枝 问题(2) (1) X1 4 问题(3) (1) X1 5
x1 +4x2 +x3 4 x1 + x 2
① ② ③ ④
3
4x2+x3 6 x1 , x2 , x3为0或1
解：观察得解(x1 , x2 , x3 )=(1 ,0 ,0)
过滤条件：3x1 - 2x2+5x3 3
Z0 =3
将(x1 x2 x3 ) (x2 x1 x3 )
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解(x2 x1 ห้องสมุดไป่ตู้3 ) 目标值 Z0 ① ② ③ ④
(5) 216 X3=X7=X5= 1 X4=1/3
隐枚举法
(一)、基本思想： maxZ=CX 对 AX=b 的2n个可能解，只检查其中一部分
X为0
例： maxZ = 2x1+4x2 +x3 3x1 - 8x2+5x3 -1 x1 , x2 , x3为 0 ,1
24
X1 =0
X1 =1
X2 =0 X2 =1
2
一般形式：
m ax Z
C
i 1
n
i
Xi
n ai X i b i 1 X 0 ,整数 i
3
§2.2 整数规划解法
(一)、整数规划的解：
可行域为其相应线性规划问题的可行域的子集 (图1) x2 例1、
6
LP:X=(4.8,0) maxZ=96 ILP:X=(4,1) maxZ=90
6
由上例可以看出，舍入化整的方法有时是行不通的， 对于这一类问题必须进行专门的研究，即整数规划。
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所谓整数规划，就是在一般的线性规划模型中再 加上全部变量或部分变量只能取整数值的要求所 得到的一类规划。其中，要求全部的变量都为整 数的问题称为纯整数规划（Pure Integer Programming）或称为全整数规划（All Intger Programming）；而仅要求一部分变量为整数的问 题称为混合整数规划。整数规划中的一种特殊情 形是0-1规划，它的变数取值仅限于0或1。 显然，整数线性规划的可行解集是相应的线性 规划的可行解集的一个子集。很多实际问题都可 以归结为整数规划问题，而解整数规划问题通常 比解相应的线性规划问题困难得多，因而研究整 8 数规划的问题解法是很有意义的。本章介绍几种
X1 5
(3) S0 =0 5 341.39 1.571 X2 1 340 X2 2 (7) 无解
15
1.428 327.12 3
307.76
分枝定界法一般步骤：
(1)、问题(A), 先解(A)的松弛问题(B)
(2)、① (B)无可行解→(A)无可行解。
② (B)最优解符合(A)要求，停。
③ (B)最优解不符合(A)要求，转(3)。 (3)、估整数解S0 ，作下界 (4)、选(B)解中不符合整数条件的分量Xj (Xj = bj ) 分枝，作(B)的后续问题(C)、(D)。
13
问题(2)
解为 X1 =4
问题(3) Z=349.0
解为 X1 =5
X2 =2.1
X2 =1.571
Z=341.39
选问题(2)继续分枝 问题(4)
(2) X2 2
问题(5)
(2) X2 3
14
(1) S0 =0 4.809 355.890 1.817 X1 4
(2) S0 =0 4 349.0 2.1 X2 2 (4) S0 =0 4 340 2 (5) X2 3 340 (6) 5.444 1
X2 =0
1
0
1
0
X1 =1
X3 =0
1 0
1 0
1 0
1
0
1 0
X3 =1
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(二)、简单隐枚举法(max) 原则：
(1)、用试探法，求出一个可行解，以它的目 标值作为当前最好值Z0
(2)、增加过滤条件Z Z0 (3)、将xi 按ci由小大排列
26
例：maxZ = 3x1 -2x2+5x3 x1 +2x2 - x3 2
+ 26X6+ 112X7 (A)
3X1 + 4X2 + 3X3 + 3X4 + 15X5 + 13X6+ 16X7 35
Xj为0或1，(j=1…7)
松弛问题(B)为
同于(A)约束，目标
0 Xj 1 (j=1…7)
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解:“单位重量价值大的先放”
重量 1 3 价值 12 价/重 4 ④
17
优点： (1)、任何模型均可用；
(2)、思路简单、灵活；
(3)、速度快； (4)、适合上机。
18
分枝定界法注意事项：
(1)、分枝变量选择原则： ① 按目标函数系数：选系数绝对值最大者变 量先分。
对目标值升降影响最大。
② 选与整数值相差最大的非整数变量先分枝。 ③ 按使用者经验，对各整数变量排定重要性 的优先顺序。
第2章 整数规划
§2.1 数学模型 例1、集装箱运货
货物
甲 乙
装运限制
体积(米3/箱)
5 4 24
重量(百公斤/箱)
2 5 13
利润(千元/箱)
20 10
1
解：设X1 , X2 为甲、乙两货物各托运箱数
maxZ = 20 X1 + 10 X2
5X1+4X2 24 2X1+5X2 13 X1 , X2 0 X1 , X2为整数
2
(4,1 )
6.5
O
(4.8,0)
x1 4
(1)、四舍五入法 可估近似解，例中X=(4,0), Z=80 80< Z* < 96 0<Z*- 80<16 (2)、穷举法
当100个0－1变量，计算机，几亿年
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【例2】求解下面的规划问题： max z= 2x1+ 3x2 x1+x2 ≤4.95 2 x1 + x2 ≤400 x1 ≥0， x2 ≥0 x1,x2都是整数 我们用图解法求解。在图2中，阴影部分是上述规 划问题的可行域，其最优点为A（0，4.95），最优值 为14.85。图中画"×"号的点是整数规划的可行点，其 最优点为B（0，4），最优值为12。若将A点四舍五入 "凑整"为（5，0），则对于原问题而言已不是可行解。
(二)、常用方法 • 分枝定界法 • 割平面法
• 隐枚举法
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(三)、分枝定界法
基本思路 maxZ=CX maxZ=CX (B) AX=b X 0
AX=b
(A) X 0
X为整数 (B)为(A)的松弛问题。
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i+1
Xj*
i
X*
(B) (C)
(B)
Xj i+1
(D)
Xj i(i=[Xj ])
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(2)、分枝节点选择： ① 深探法(后进先出法)： 最后打开的节点最先选，尽快找到整数解。 整数解质量可能不高。 ② 广探法： 选目标函数当前最大值节点，找到的整数 解质量高。慢。
20
0－1问题的分枝定界法（背包问题)
例： maxZ=12X1 + 12X2 + 9X3 + 15X4 + 90X5
2
3 4 5 6 7
4
3 3 15 13 16
12
9 15 90 26 112
3
3 5 6 2 7 ①
22
③ ②
X1=1 (1) 219 X1=X7=X5= 1 X4=1 X =1/3 4 X4=0 (9) (10) 217 217 X1=X4=X7= X1=X7=X5= 1 1 X5=13/5 X2=1/4
(C)： (B）加约束Xj [bj ] (D)：(B)加约束Xj [bj ]+1
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(5)、解(C)、(D)
剪枝条件：① (C)，[(D)]无可行解
② (C)，[(D)]对应的目标值S S0
③ (C)，[(D)]对应的目标值Sc>S0
且解为整数解，令ScS0
且解为非整数解，令(C)，[(D)] 取代(B) 返回(4) (6)、全部枝剪完，停
x41maxz90654801四舍五入法可估近似解例中x40z808080162穷举法当100个01变量计算机几亿年隐枚举法二常用方法三分枝定界法基本思路maxzcxaxbmaxzcxaxb567x48091817分枝问题2选2继续分枝问题421z34901571z3413948091817340327123403077610分枝定界法一般步骤