相似三角形综合、存在性问题以及与反比例函数结合练习2021学年苏科版九年级下册数学

相似三角形综合、存在性问题以及与反比例函数结合练习
考点一：相似综合
1.如图，在ABC ∆中，90,ACB AC ∠=︒=30 cm, BC =40 cm.点P 从点A 出发，以5 cm/s 的速度沿AC 向终点C 匀速移动. 过点P 作PQ AB ⊥，垂足为点Q ，以PQ 为边作正方形
PQMN ，点M 在AB 边上，连接CN .设点P 移动的时间为t (s). (1)PQ = ；(用含t 的代数式表示
)
(2)当点N 分别满足下列条件时，求出相应的t 的值; ①点,,C N M 在同一条直线上; ②点N 落在BC 边上;
(3)当PCN ∆为等腰三角形时，
2.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，△ACD 沿AD 折叠，使得点C 落在斜边AB 上的点E 处．
(1)求证：△BDE ∽△BAC ；(2)已知AC ＝6，BC ＝8，求线段AD 的长度．
3.如图，ABC ∆为锐角三角形，AD 是BC 边上的高，正方形EFMN 的一边MN 在边BC 上，顶点E 、F 分别在AB 、AC 上，其中24BC cm =，高12AD cm =． (1)求证：AEF ABC ∆∆∽； (2)求正方形EFMN 的边长．
4.如图，在矩形ABCD 中，AC 为对角线，点P 为BC 边上一动点，连结AP ，过点B 作BQ AP ⊥，垂足为Q ，连结CQ ． (1)证明：ABP BQP ∆∆∽；
(2)当点P 为BC 的中点时，若37BAC ∠=︒，求CQP ∠的度数；
(3)当点P 运动到与点C 重合时，延长BQ 交CD 于点F ，若AQ AD =，则DF
CF
= ．
5.如图1，在ABC ∆中，点O 在线段BC 上，30BAO ∠=︒，75OAC ∠=︒，AO =，:1:3BO CO =，求AB 的长．
经过社团成员讨论发现，过点B 作//BD AC ，交AO 的延长线于点D ，通过构造ABD ∆就可以解决问题(如图2)．
请回答：ADB ∠= ︒，AB = ． (2)请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC AD ⊥，AO =，75ABC ACB ∠=∠=︒，:1:3BO OD =，求DC 的长．
6.如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，ME AM ⊥， ME 交AD 的延长线于点E . 若12AB =，5BM =，则DE 的长为 A. 18 B.
253
C. 965
D. 1095
7.如图，在锐角ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AM BC ⊥于点M ，AN DE ⊥于点N ，. BAM EAN ∠=∠ (1)求证:AED ABC ∆∆; (2)若4DE =，6BC =，求AN
AM
的值.
8.如图，在矩形ABCD 中，6,8AB BC ==，点P 从点C 出发，沿CB 向点B 匀速运动，速度为每秒1个单位，过点P 作PM BC ⊥，交对角线BD 于点M .点Q 从点B 出发，沿对角线BD 向点D 匀速运动，速度为每秒1个单位. P 、Q 两点同时出发，设它们的运动时间为t 秒(08t <<).
(1)当PQ BD ⊥时，求出t 的值;
(2)连接AM ，当//PQ AM 时，求出t 的值; (3)试探究:当t 为何值时，PQM ∆是等腰三角形?
9.如图，在矩形ABCD 纸片中，10AB =cm ，12BC =cm 。

点P 在BC 边上，将PAB ∆沿
AP 折叠，得PAE ∆，连接CE , DE .
(1)当点E 落在AD 边上时，CE = ； (2)当点P 是BC 的中点时，求CE 的长;
(3)当CDE ∆分别满足下列条件时，求相应的PB 的长: ①DE CD =；②DE CE =.
题型2：相似存在性探究
1.如图，四边形OABC 是矩形，点A 的坐标为(0，6)，点C 的坐标为(4，0)，点P 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向点B 出发，同时点Q 从点B 出发，沿BC 以每秒3个单位长度的速度向点C 运动，当点P 与点B 重合时，点P 、Q 同时停止运动.设运动时间为t 秒.
(1)当1t =时，请直接写出BPQ ∆的面积为 ； (2)当BPQ ∆与COQ ∆相似时，求t 的值; (3)当反比例函数(0)k
y x x
=>的图象经过点P 、Q 两点时， ①求k 的值;
②点M 在x 轴上，点N 在反比例函数(0)k
y x x
=
>的图象上，若以点M 、N 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的M 的坐标.
2.如图，在ABC ∆中，9AB =，6AC =，点E 在AB 上，且3AE =，点F 在AC 上，连结EF ，若AEF ∆与ABC ∆相似，则AF = .
3.如图，在ABC ∆中，90,16C BC ∠=︒=cm ，AC =12cm ，点P 从点B 出发，沿BC 以2cm/s 的速度向点C 移动，点Q 从点C 出发，沿CA 以lcm/s 的速度向点A 移动，若点P 、
Q 分别从点B 、C 同时出发，设运动时间为t s ，当t = 时，//AB PQ ．
4.如图，在平面直角坐标系中，己知矩形OABC 的顶点(6,8)B , 动点,M N 同时从O 点出发，点M 沿射线OA 方向以每秒1个单位的速度运动，点N 沿线段OB 方向以每秒0.6个单位的速度运动，当点N 到达点B 时，点,M N 同时停止运动，连接MN ，设运动时间为t (秒).
(1)求证ONM OAB ∆∆; (2)当点M 是运动到点25(
,0)3时，若双曲线k
y x
=的图像恰好过点N ，试求k 的值;
(3)MNB ∆与OAB ∆能否相似?若能试求出所有t 的值，若不能请说明理由.
5.如图矩形ABCD 中，AD =4cm ，AB =8cm,点P 从点A 出发在边AB 上
向点B 匀速运动.同时点Q 从点A 出发在边AD 上向点D 匀速运动，速度都是1cm/s.运 动时间是t s(0<t <4) . PE AB ⊥交BD 于点E ,点Q 关于PE 的对称点是F ，射线PF 分 别与,BD CD 交于点,M N .
(1)求BPN ∠度数，并用含t 的代数式表PE 的长； (2)当点F 与点M 重合时，如图②,求t 的值； (3)探究:在点,P Q 运动过程中
①
PM
PB
的值是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； ②t 为何值时，以点,,P Q E 为顶点的角形与PMB ∆相似？
6.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4cm ，BC=3cm ．动点M ，N 从点C 同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿CA 、CB 向终点A ，B 移动，同时动点P 从点B 出发，以每秒2cm 的速度沿BA 向终点A 移动，连接PM ，PN ，设移动时间为t （单位：秒，0＜t ＜2.5）． （1）当t 为何值时，以A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似？
（2）是否存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由．
考点三：与反比例函数的结合
1.如图，在平面直角坐标系中，点P 在函数2
(0)y x x
=>的图像上从左向右运动, //PA y 轴，交函数6
(0)y x x
=-
>的图像于点,//A AB x 轴交PO 的延长线于点B ,则PAB ∆的面积 A.逐渐变大 B.逐渐变小 C.等于定值16 D.等于定值24
2.如图，一次函数23y x =+的图像与反比例函数(0)k
y x x
=>的图像相 交于点(,5)A m .
(1)求,m k 的值；
(2)若一次函数图像上有一点B 的横坐标为7
8
-，过点 B 作//BC x 轴交反比例函数(0)k
y x x
=
>图像于点C ， 点D 在x 轴上，且BCD BCA ∠=∠,求点D 的坐标.
3.如图，平面直角坐标系中，一次函数2y kx =-的图像与反比例函数
(0)m
y x x
=
<的图像交于点B ，与x 轴、y 轴分别交于点,,D E BC x ⊥轴于,C BA y ⊥， 轴于1
,
2
OD A CD =,ABE ∆的面积为24. (1)点E 的坐标是 ;
(2)求一次函数和反比例函数的表达式;
(3)以BC 为边作菱形CBMN 顶点M 在点B 左侧 的一次函数2y kx =-图像上，判断边MN 与反比 例函数(0)m
y x x
=
<的图像是否有公共点.。