高考数学(文)一轮复习课件：7-3合情推理与演绎推理 (人教A版)

，先分 3
别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳
猜想一般性结论，并给出证明．
[思路点拨]
[解] f(0)＋f(1)＝30＋1 3＋31＋1 3
＝1＋1
3＋3＋1
＝ 3
32－1＋3－6
3＝ 33，
同理可得：f(－1)＋f(2)＝ 33，
f(－2)＋f(3)＝
3 3
9
π
，
16
2π
，
25
3π
，…，总
结归纳出一般性的规律：（n－n22）π(n≥3)．
∴在n边形A1A2…An中：
1 A1
＋
1 A2
＋…＋
1 An
≥
（n－n22）π(n≥3).
类比推理
例2 [2012·江西联考]在平面几何里，有勾股定 理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2＋ AC2＝BC2.”拓展到空间，类比平面几何定理，研究 三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出的正 确结论是：“设三棱锥A－BCD的三个侧面ABC、 ACD、ADB两两相互垂直，则________．”
(2)当a＝
1 8
时，证明：存在x0∈(2，＋∞)，使f(x0)＝
f(23)．
解：(1)f′(x)＝
1 x
－2ax＝
1－2ax2 x
，x∈(0，＋∞)．令
f′(x)＝0，解得x＝
2a 2a .
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x
(0，
2a 2a )
f′(x)
＋
2a 2a
( 22aa，＋∞)
方法与技巧 1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研 究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现 结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明 提供思路与方向．
2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情 况下的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用 的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推 理来进行．
高考考点预览
■ ·考点梳理· ■
合
定具义有：某由些某特类征事，件推的出部该分类对事象 物的全部对象都具有这些特
推理情 推 理归归纳纳推推理理特概征点括的：出推是一理由般，部结或分论者到的由整推个体理别、.事由实

个别到一般的推理.
■ ·考点自测· ■ 1. [2010·陕西]观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2，13＋ 23＋33＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…， 根据上述规律，第四个等式为________．
答案：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2
解析：由前三个式子可得出如下规律：每个式子等号 的左边是从 1 开始的连续正整数的立方和，且个数依次加 1，等号的右边是从 1 开始的连续正整数和的完全平方，个 数也是依次加 1，因此，第四个等式为 13＋23＋33＋43＋53 ＝(1＋2＋3＋4＋5)2.
又在Rt△AOD中，
AO＝ 1－OD2＝
1－（
3）2＝ 3
36，
则V正四面体ABCD＝31S△BCD·AO＝31× 43× 36＝ 122； 同理可算得棱长为2的正四面体的体积
V正四面体A′B′C′D′＝2
3
2 .
2 ∴V正四面体ABCD∶V正四面体A′B′C′D′＝2122＝81.
3
3. [教材改编题]用三段论的形式写出下列演绎推理． (1)若两角是对顶角，则两角相等，所以若两角不相 等，则两角不是对顶角； (2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方 形的对角线相等； (3)0.3·3·2·是有理数； (4)y＝sinx(x∈R)是周期函数．
2. 在平面上，若两个正三角形的边长比为 1∶2，则它 们的面积比为 1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体 的棱长比为 1∶2，则它们的体积比为________．
答案：1∶8 解析：由类比推理得，若两个正四面体的棱长的比为 1∶2，则它们的体积比为1∶8. 下面计算验证．
假设两个正四面体的棱长分别为1和2，如图，正四面 体ABCD的棱长为1，取BC的中点E，作AO⊥ED于O，则 OD＝32ED＝23× 23＝ 33，
4. [2012·广东中山一模]在锐角三角形ABC中，AD ⊥BC，BE⊥AC，D、E是垂足，求证：AB的中点M到 D、E的距离相等．
证明：(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角 形，(大前提)
在△ABD 中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°，(小前提) 所以△ABD 是直角三角形．(结论) 同理，△AEB 也是直角三角形．
0
－
f(x)
极大值
所以，f(x)的单调递增区间是(0， 22aa)，f(x)的单调递
减区间是( 22aa，＋∞)．
(2)证明：当a＝
1 8
时，f(x)＝ln
x－
1 8
x2.由(1)知f(x)在
(0，2)内单调递增，在(2，＋∞)内单调递减．
令g(x)＝f(x)－f(32)．由于f(x)在(0，2)内单调递增，故

定义：由两类对象具有某些类
合

似特征和其中一类对象的已
推理情 推类类比比推推理理
知特征，推出另一类对象也具 有这些特征 的推理.
理
特点：类比推理是由特殊到特殊


的推理.
推理演绎推理模式：三段论③①②对结大小特特论前前殊殊—提提问———题根——作据已所出一知研的般的究判原条的断对理件. 象，；； 特点：演绎推理是由一般到特特殊殊的推理.
第3课时 合情推理与演绎推理
考纲下载 1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进 行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用． 2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本 模式，并能运用它们进行一些简单推理． 3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．
请注意！ 1．归纳推理与数列相结合问题是考查重点． 2．类比推理、演绎推理是重点，也是难点． 3．以选择题、填空题的形式考查合情推理；以选择 题或解答题的形式考查演绎推理，题目难度不大，多以中 低档题为主．
，并注意到在这三个特殊式子中，
自变量之和均等于1.
归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝
3 3.
证明：设x1＋x2＝1，
f(x1)＋f(x2)＝3x1＋1 3＋3x2＋1 3
＝（（3x31x＋1＋
3）＋（3x2＋ 3）（3x2＋
3） 3）
＝3x1＋x23＋x1＋3（3x32＋x1＋2 33x2）＋3
中，得到类似的结论．一般平面中的一些元素与空间中
的一些元素的类比如表所示：
平面
空间
点
线
线
面
圆
球
平面 三角形
角 面积 周长 …
空间 三棱锥 二面角 体积 表面积
…
[变式探究2] 设等差数列{an}的前n项和为Sn，则 S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结 论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，_______， ________，TT1162成等比数列．
[变式探究1] [2012·宁波一模]在△ABC中，不等式
A1＋B1＋C1≥π9 成立，在四边形ABCD中，不等式A1＋B1＋C1
＋D1 ≥21π6 成立，在五边形ABCDE中，不等式A1 ＋B1 ＋C1 ＋
D1 ＋
1 E
≥
25 3π
成立，猜想在n边形A1A2…An中，有怎样的不
等式成立？
解：根据已知特殊的数值：
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
(大前提)
而M是Rt△ABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中
线，(小前提)
所以DM＝12AB.(结论)
同理，EM＝
1 2
AB.所以，DM＝EM，即AB的中点M
到D、E的距离相等．
高考测点典例研习
归纳推理
例1
[2012·广东中山一模]设f(x)＝
1 3x＋
在Rt△CAD中，AE＝
bc b2＋c2.
在Rt△BAE中，
BE＝
a2＋bb2＋2c2c2＝
a2b2＋a2c2＋b2c2
b2＋c2
.
∴S△BCD＝12DC·BE
＝12
b2＋c2·
a2b2＋a2c2＋b2c2
b2＋c2
.
∴S2△BCD＝14(a2b2＋b2c2＋a2c2)．
即S2△BCD＝S2△ABC＋S2△ACD＋S2△ADB.
答案：TT84
T12 T8
解析：对于等比数列，通过类比，有等比数列{bn}的
前n项积为Tn，则T4＝b1b2b3b4，T8＝b1b2…b8，T12＝
b1b2…b12，T16＝b1b2…b16，因此
T8 T4
＝b5b6b7b8，
T12 T8
＝
b9b10b11b12，
TT1162＝b13b14b15b16，而T4，
[规律总结] 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一 般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确 什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省 略．
[变式探究3] [2012·山东潍坊一模]已知a>0，函数 f(x)＝lnx－ax2，x>0.(f(x)的图象连续不断)
(1)求f(x)的单调区间；
[解] 设x1，x2∈R，取x1<x2，则由题意得 x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)， ∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0， [f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0， ∵x1<x2，∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)． 所以y＝f(x)为R上的单调增函数．
解：(1)若两个角是对顶角，则两角相等，(大前提) ∠1和∠2不相等，(小前提) 所以∠1和∠2不是对顶角．(结论) (2)每一个矩形的对角线相等，(大前提) 正方形是矩形，(小前提) 所以正方形的对角线相等．(结论)
(3)所有的循环小数是有理数，(大前提) 0.3·3·2·是循环小数，(小前提) 所以0.3·3·2·是有理数．(结论) (4)三角函数是周期函数，(大前提) y＝sinx是三角函数，(小前提) 所以y＝sinx是周期函数．(结论)
[思路点拨] ①平面中的三角形与空间中的三棱锥是 类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积 是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类 比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象； ⑤三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积 公式中的“三分之一”是类比对象．
[解析] 设AB＝a，AC＝b，AD＝c. ∵三个侧面ABC、ACD、ADB两两垂直， ∴AB、AC、AD两两垂直． ∴S2△ABC＋S2△ACD＋S2△ADB＝41a2b2＋41a2c2＋14b2c2. 作BE⊥DC于E，连接AE，则CD⊥AE.
f(2)>f(23)，即g(2)>0.
取 x′＝32e>2，则 g(x′)＝41－329e2<0.所以存在 x0∈(2， x′)，使 g(x0)＝0，即存在 x0∈(2，＋∞)，使 f(x0)＝f(32)．
(说明：x′的取法不唯一，只要满足 x′>2，且 g(x′)<0 即可．)
思想方法导悟
失误与防范 1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现 与猜想的结论都要经过进一步严格证明． 2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明 和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的 规范性． 3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想 或拓展依据．
T8，T12，T16的公比 T4 T8 T12
为q16，因此T4，TT48，TT182，TT1162成等比数列.
演绎推理
例3 [改编题]已知函数y＝f(x)，满足对任意a，b∈ R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x) 为R上的单调增函数．
[思路点拨] 因y＝f(x)为抽象函数，故可以利用增 函数的定义来证明．
[答案] S2△ABC＋S2△ACD＋S2△ADB＝S2△BCD
[规律总结] (1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其 一般步骤为：
①找出两类事物之间的相似性或一致性； ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出 一个明确的命题(猜想)．
(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几
何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何
＝
3x1＋3x2＋2 3 3（3x1＋3x2）＋2×3
＝
3x1＋3x2＋2 3（3x1＋3x2＋2
3
3）＝
3 3.
[规律总结] (1)对于一些与正整数n有关的问题，经 常利用归纳推理、归纳猜想得出结论．
(2)归纳推理的一般步骤： ①通过观察个别情况发现某些相同性质； ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性 命题．