河北省沧州一中2015-2016学年高二下学期期末数学试卷(理科)Word版含解析

2015-2016学年河北省沧州一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．设集合A={x|x＞0}，B={x|y=}则“A⊆B“是“a＜0“的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5．则z=（）
A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i
3．设a=log3π，b=log2，c=log3，则（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a
4．已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）
A．4 B．﹣4 C．D．﹣
5．由直线与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）
A．B．1 C．D．
6．函数f（x）=的图象大致是（）
A． B． C． D．
7．若，α是第三象限的角，则=（）
A．B．C．2 D．﹣2
8．设定义在区间（﹣b，b）上的函数f（x）=lg是奇函数（a，b∈R，且a≠﹣2），则a b的取值范围是（）
A．（1，]B．（0，]C．（1，）D．（0，）
9．正项等比数列{a n}中，存在两项使得，且
a7=a6+2a5，则的最小值是（）
A．B．C．D．
10．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）=2f（3），y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，则f
A．10 B．﹣5 C．5 D．0
11．设为单位向量，且，若向量满足，则的最大值是（）
A． B．2 C．D．1
12．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，
且f（）＞f（π），则f（x）的单调递增区间是（）
A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）
C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ]（k∈Z）
二、填空题：（每题5分，共20分）
13．函数f（x）=ln的减区间是．
14．等差数列{a n}中，前n项和为S n，a6+a7+a8＜0，a3+a12＞0，当n=时，S n 最小．
15．在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则•=．
16．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，且x∈[0，1]时，f（x）=4x，x∈（1，2）时，，则函数f（x）的零点个数为．
三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知向量=（sinωx，cosωx），=（cosωx，﹣cosωx），其中ω＞0，函数f（x）=
•+的图象的两相邻对称轴间的距离为
（Ⅰ）求ω的值
（Ⅱ）若x∈（0，]，且f（x）=m有且仅有一个实根，求实数m的值
（Ⅲ）若x∈（，），f（x）=﹣，求cos4x的值．
18．已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d＞0，且第2项，第5项，第14项分别是等比数列{b n}的第2项，第3项，第4项．
（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；
（2）设c n=a n•b n（n∈N*），求{c n}的前n项和为S n．
19．已知圆O的半径为R（R为常数），它的内接三角形ABC满足2R（sin2A﹣sin2C）=（a ﹣b）sinB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边．
（1）求角C；
（2）若c=，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．
20．已知函数f（x）=x3+bx2+cx在x=1处的切线方程为6x﹣2y﹣1=0，f′（x）为f（x）的导函数，g（x）=a•e x（a，b，c∈R）．
（1）求b，c的值；
（2）若存在x0∈（0，2]，使g（x0）=f′（x0）成立，求a的范围．
21．已知数列{a n}的各项均是正数，其前n项和为S n，满足（p﹣1）S n=p2﹣a n，其中p为正常数，且p≠1．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=（n∈N*），数列{b n b n+2}的前n项和为T n＜．
22．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2
（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2）且x2﹣x1＞ln2，求实数a的取值范围．
2015-2016学年河北省沧州一中高二（下）期末数学试卷
（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．设集合A={x|x＞0}，B={x|y=}则“A⊆B“是“a＜0“的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】运用集合的关系得出a≤0，再根据充分必要条件定义判断即可．
【解答】解：∵B={x|y=}
∴x≥a，
∵A={x|x＞0}，A⊆B
∴a≤0，
∵根据充分必要条件的定义得出；
∴“A⊆B“是“a＜0“的必要条件不充分条件．
故选：B．
2．复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5．则z=（）
A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】复数的乘法转化为除法，化简复数方程，利用复数的分子分母同乘分母的共轭复数，然后整理即可．
【解答】解：（z﹣i）（2﹣i）=5⇒z﹣i=⇒z=+i=+i=+i=2+2i．
故选D．
3．设a=log3π，b=log2，c=log3，则（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用对数函数y=log a x的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，
如果底a不相同时可利用1做为中介值．
【解答】解：∵
∵，故选A
4．已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值
为（）
A．4 B．﹣4 C．D．﹣
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】若⊥（t+），则•（t+）=0，进而可得实数t的值．
【解答】解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），
∴•（t+）=t•+2=t||•||•+||2=（）||2=0，
解得：t=﹣4，
故选：B．
5．由直线与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）
A．B．1 C．D．
【考点】定积分在求面积中的应用．
【分析】为了求得与x轴所围成的不规则的封闭图形的面积，可利用定积分求解，积分的上
下限分别为与，cosx即为被积函数．
【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积
S=cosxdx==﹣（﹣）=，
所以围成的封闭图形的面积是．
故选D．
6．函数f（x）=的图象大致是（）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】本题是选择题，可采用排除法进行逐一排除，根据f（0）=1可知图象经过（0，1），以及根据当x＜0，x＞2时原函数值的符号情况，从而可以进行判定．
【解答】解：因为f（0）==1，说明函数的图象过（0，1），排除D；
因为当x＞2时，2﹣x＜0，2e﹣x＞0，
所以f（x）=＜0恒成立，
即当x＞2时，函数图象在x轴下方，排除A．
因为当x＜0时，2﹣x＞0，2e﹣x＞0，
所以f（x）=＞0恒成立，
即当x＜0时，函数图象在x轴上方，排除C．
故选：B．
7．若，α是第三象限的角，则=（）
A．B．C．2 D．﹣2
【考点】半角的三角函数；弦切互化．
【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α与待求式中角
的差别，注意消除它们之间的不同．
【解答】解：由，α是第三象限的角，
∴可得，
则，
应选A．
8．设定义在区间（﹣b，b）上的函数f（x）=lg是奇函数（a，b∈R，且a≠﹣2），则a b的取值范围是（）
A．（1，]B．（0，]C．（1，）D．（0，）
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】由题意和奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x）求出a的值，再由对数的真数大于零求出函数的定义域，则所给的区间应是定义域的子集，求出b的范围进而求出a b的范围．
【解答】解：∵定义在区间（﹣b，b）内的函数f（x）=lg是奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），即lg=﹣lg=lg，
则有=，
即1﹣a2x2=1﹣4x2，解得a=±2，
又∵a≠﹣2，∴a=2；则函数f（x）=lg，
要使函数有意义，则＞0，即（1+2x）（1﹣2x）＞0
解得：﹣＜x＜，即函数f（x）的定义域为：（﹣，），
∴（﹣b，b）⊆（﹣，），∴0＜b≤
∴a b=2b∈（1，]，
故选：A．
9．正项等比数列{a n}中，存在两项使得，且
a7=a6+2a5，则的最小值是（）
A．B．C．D．
【考点】等比数列的通项公式；基本不等式．
【分析】设正项等比数列的公式为q，已知等式a7=a6+2a5两边除以a5，利用等比数列的性
质化简求出q的值，利用等比数列的通项公式表示出a m与a n，代入已知等式=4a1，
求出m+n=6，将所求式子变形后，利用基本不等式即可求出所求式子的最小值．
【解答】解：∵正项等比数列{a n}中，设公比为q，a7=a6+2a5，
∴=+2，即q2﹣q﹣2=0，
解得：q=2或q=﹣1（舍去），
∴a m=a12m﹣1，a n=a12n﹣1，
∵=4a1，
∴a m a n=a122m+n﹣2=16a12，即m+n﹣2=4，
∴m+n=6，
列举（m，n）=（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）
即有+=2，，2，，5．
当m=2，n=4， +的最小值为．
故选A ．
10．已知函数f （x ）对任意x ∈R 都有f （x +6）+f （x ）=2f （3），y=f （x ﹣1）的图象关于点（1，0）对称，则f A ．10 B ．﹣5 C ．5 D ．0
【考点】函数恒成立问题；函数的值． 【分析】由f （x +6）+f （x ）=2f （3），可得函数的周期为12，由y=f （x ﹣1）的图象关于点（1，0）对称，可得函数为奇函数，由此可求结论． 【解答】解：由f （x +6）+f （x ）=2f （3），知f （x +12）+f （x +6）=2f （3），两式相减，得f （x +12）=f （x ）
由y=f （x ﹣1）的图象关于点（1，0）对称，知f （x ﹣1）+f （1﹣x ）=0，故f （x ）是奇函数．
由f （x +6）+f （x ）=2f （3），令x=﹣3，得f （3）=f （﹣3），于是f （3）=f （﹣3）=0， 于是f=f （9）=f （﹣3）=0 故选D ．
11．设
为单位向量，且
，若向量满足
，则
的最
大值是（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．1
【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据
为单位向量，且
，利用坐标法设=（1，0），=（0，1），=（x ，
y ），求出对应点的轨迹，进行求解即可．
【解答】解：∵
为单位向量，且
，
∴设=（1，0），=（0，1），=（x ，y ），
则由足，得|（x ，y ）﹣（1，1）|=|（1，﹣1）|，
即
=
，
即（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=2，
即对应点的轨迹在以（1，1）为圆心的圆上， ∵圆过圆心，
∴的最大值为圆的直径2， 故选：A
12．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，
且f（）＞f（π），则f（x）的单调递增区间是（）
A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）
C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ]（k∈Z）
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由若对x∈R恒成立，结合函数最值的定义，我们易得f（）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角φ的值，结合
，易求出满足条件的具体的φ值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，即可得到答案．
【解答】解：若对x∈R恒成立，
则f（）等于函数的最大值或最小值
即2×+φ=kπ+，k∈Z
则φ=kπ+，k∈Z
又
即sinφ＜0
令k=﹣1，此时φ=，满足条件
令2x∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z
解得x∈
故选C
二、填空题：（每题5分，共20分）
13．函数f（x）=ln的减区间是（0，1）．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】函数f（x）=ln的定义域是{x|0＜x＜2}，f′（x）=﹣+，令f′（x）＜0，由此能求出函数的减区间．
【解答】解：函数f（x）=ln的定义域是，解得{x|0＜x＜2}，
f′（x）=﹣+，
令f′（x）=﹣+＜0，即＜，
∵0＜x＜2，
∴2﹣x＞x，解得x＜1，
故0＜x＜1，
即函数f（x）=ln的减区间是（0，1）．
故答案为（0，1）．
14．等差数列{a n}中，前n项和为S n，a6+a7+a8＜0，a3+a12＞0，当n=7时，S n最小．【考点】等比数列的前n项和．
【分析】a6+a7+a8＜0，a3+a12＞0，可得a7＜0，a8＞0，利用单调性即可得出．
【解答】解：∵a6+a7+a8＜0，a3+a12＞0，
∴3a7＜0，a7+a8＞0，
∴a7＜0，a8＞0，
因此公差d＞0，即等差数列{a n}为单调递增数列，
∴当n=7时，S n最小．
故答案为：7．
15．在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则•=﹣16．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】设∠AMB=θ，则∠AMC=π﹣θ，再由=（﹣）•（﹣）以及两个向量的数量积的定义求出结果．
【解答】解：设∠AMB=θ，则∠AMC=π﹣θ．又=﹣，=﹣，
∴=（﹣）•（﹣）=•﹣•﹣•+，
=﹣25﹣5×3cosθ﹣3×5cos（π﹣θ）+9=﹣16，
故答案为﹣16．
16．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，且x∈[0，1]时，f（x）=4x，x∈
（1，2）时，，则函数f（x）的零点个数为5．
【考点】函数的零点；抽象函数及其应用．
【分析】由x∈[0，1]时，f（x）=4x，可得f（1）=4，x∈（1，2）时，=，
而由函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，即自变量x每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移2个单位，画出函数y=f（x），结合函数的图象可求
【解答】解：∵x∈[0，1]时，f（x）=4x，
∴f（1）=4
∴x∈（1，2）时，=
∵函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，即自变量x每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移2个单位
画出函数y=f（x）可知，x＞0时，f（x）没有零点，而当x＜0时，函数y=f（x）=0的x 有5个
故答案为：5
三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知向量=（sinωx，cosωx），=（cosωx，﹣cosωx），其中ω＞0，函数f（x）=
•+的图象的两相邻对称轴间的距离为
（Ⅰ）求ω的值
（Ⅱ）若x∈（0，]，且f（x）=m有且仅有一个实根，求实数m的值
（Ⅲ）若x∈（，），f（x）=﹣，求cos4x的值．
【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（1）先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，然后利用两相邻对称轴间的距离求得函数的周期，进而根据周期公式求得ω．
（2）y由x范围得到f（x）的范围利用正弦函数的图象和性质得到m的值；
（3）根据（1）中整理函数解析式，依据f（x）=﹣和同角三角函数的基本关系求得cos
（4x﹣）的值，进而根据cos4x=cos（4x﹣+）利用两角和公式求得答案．
【解答】解：由题意，f（x）=sinωx•cosωx﹣cos2ωx+，
=sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2ωx﹣），
（1）∵两相邻对称轴间的距离为，
∴T==，
∴ω=2．
（2）由（1）得到f（x）=sin（4x﹣），
因为x∈（0，]，所以4x﹣∈（﹣，]，sin（4x﹣）∈[，1]，要使
f（x）=m有且仅有一个实根，只要m=﹣或者m=1；
（3）由（1）得，f（x）=sin（4x﹣）=﹣，
∵x∈（，），
∴4x﹣∈（π，），
∴cos（4x﹣）=﹣，
∴cos4x=cos（4x﹣+）=cos（4x﹣）cos﹣sin（4x﹣）sin=（﹣）×
﹣（﹣）×=．
18．已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d＞0，且第2项，第5项，第14项分别是等比数列{b n}的第2项，第3项，第4项．
（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；
（2）设c n=a n•b n（n∈N*），求{c n}的前n项和为S n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）根据数列的通项公式以及两个数列项的关系建立方程即可求数列{a n}与{b n}的通项公式；
（2）设c n=a n•b n（n∈N*），求出{c n}的通项公式，利用错位相减法即可求{c n}的前n项和为S n．
【解答】解：（1）∵第2项，第5项，第14项分别是等比数列{b n}的第2项，第3项，第4项．
∴b32=b2•b4即，
∴
解得：d=2a1=2，
∴a n=2n﹣1∴b2=a2=3，b3=a5=9，
则．
（2），
∴•，
∴‚
两式相减，得﹣2S n=1+2•（3+32+33+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n
=1+2•﹣（2n﹣1）•3n
=1+3n﹣3﹣（2n﹣1）•3n=﹣2﹣（2n﹣2）3n，
则S n=1+（n﹣1）3n．
19．已知圆O的半径为R（R为常数），它的内接三角形ABC满足2R（sin2A﹣sin2C）=（a ﹣b）sinB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边．
（1）求角C；
（2）若c=，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）利用正弦定理余弦定理即可得出．
（2）利用三角形面积计算公式、余弦定理即可的．
【解答】解：（1）∵2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，
由正弦定理得a=2Rsin A，b=2R sinB，c=2R sinC，
代入上式得a2﹣c2=ab﹣b2，即a2+b2﹣c2=ab，
由余弦定理得，
又C为△ABC的内角，∴．
（2），
∵，∴ab=6．
∴a+b=5，
∴△ABC的周长为．
20．已知函数f（x）=x3+bx2+cx在x=1处的切线方程为6x﹣2y﹣1=0，f′（x）为f（x）的导函数，g（x）=a•e x（a，b，c∈R）．
（1）求b，c的值；
（2）若存在x0∈（0，2]，使g（x0）=f′（x0）成立，求a的范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）由f′（x）=3x2+2bx+c，知f（x）在x=1处的切线方程为y=（3+2b+c）x﹣2﹣
b，故，由此能求出f（x）．
（2）若存在x0∈（0，2]使成立，即方程g（x）=f′（x）在（0，2]上有
解，故，令，则=﹣
，由此能求出a的取值范围．
【解答】解：（1）∵f′（x）=3x2+2bx+c，
∴f（x）在x=1处的切线方程为y﹣（1+b+c）=（3+2b+c）（x﹣1），
即y=（3+2b+c）x﹣2﹣b，
∴，即，
∴．
（2）若存在x0∈（0，2]使成立，
即方程g（x）=f′（x）在（0，2]上有解，
∴a•e x=3x2﹣3x+3，
∴，
令，
∴
=
=﹣，
h x=0x
∴h（x）有极小值h（1）=，h（x）有极大值h（2）=，
且当x→0时，h（x）→3＞，
∴a的取值范围是．
21．已知数列{a n}的各项均是正数，其前n项和为S n，满足（p﹣1）S n=p2﹣a n，其中p为正常数，且p≠1．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=（n∈N*），数列{b n b n+2}的前n项和为T n＜．
【考点】等比数列的通项公式；不等式的证明．
【分析】（1）利用s n+1﹣s n=a n+1求出a n的递推公式，进而求解．
（2）将（1）中的结论代入b n=，求出bn，进而求出b n b n+2，利用列项法求出
T n，即可证明不等式．
【解答】解：（Ⅰ）由题设知（p﹣1）a1=p2﹣a1，解得a1=p．
∵（p﹣1）S n=p2﹣a n，
∴（p﹣1）S n+1=p2﹣a n+1，
两式作差得（p﹣1）（S n+1﹣S n）=a n﹣a n+1．
∴，
∴数列{a n}是首项为p，公比为的等比数列．
∴．
（Ⅱ）∵，
∴，
∴T n=b1b3+b2b4+b3b5++b n b n+2
=
=＜．
22．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2
（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2）且x2﹣x1＞ln2，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．
【分析】（Ⅰ）求导数，再分类讨论，确定函数在区间上的单调性，即可求得函数的最小值；（Ⅱ）函数由两个不同的极值点转化为导函数等于0的方程有两个不同的实数根，进而转化为图象的交点问题，由此可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=，
∴∴①0＜t＜，时，函数f（x）在（t，）上单调递减，在（，t+2）上单调递增，
∴函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值为f（）=﹣，
②当t≥时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，
∴f（x）min=f（t）=tlnt，
∴f（x）min=；
（Ⅱ）y=f（x）+g（x）=xlnx﹣x2+ax﹣2，则y′=lnx﹣2x+1+a
题意即为y′=lnx﹣2x+1+a=0有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），
即a=﹣lnx+2x﹣1有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），
等价于直线y=a与函数G（x）=﹣lnx+2x﹣1的图象有两个不同的交点
∵G′（x）=﹣+2，∴G（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
画出函数图象的大致形状（如右图），
由图象知，当a＞G（x）min=G（））=ln2时，x1，x2存在，且x2﹣x1的值随着a的增大而
增大而当x2﹣x1=ln2时，由题意，
两式相减可得ln=2（x1﹣x2）=﹣2ln2
∴x2=4x1代入上述方程可得x2=4x1=ln2，
此时a=ln2﹣ln（）﹣1，
所以，实数a的取值范围为a＞ln2﹣ln（）﹣1；
2016年8月23日。