2020-2021学年高中数学新人教A版必修第二册 8
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8．5 空间直线、平面的平行 8．5.1 直线与直线平行
1.了解基本事实 4 和定理. 2.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线平行 的关系.
(一)教材梳理填空 1．基本事实 4：平行于同一条直线的两条直线 平行 ． 2．等角定理 文字 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两 语言 个角 相等 或_互__补_____
证明：如图所示，取 BB′的中点 G，连接 GC′，GE. 因为 F 为 CC′的中点， 所以 BG∥FC′，且 BG＝FC′. 所以四边形 BFC′G 是平行四边形． 所以 BF∥GC′，BF＝GC′， 又因为 EG∥A′B′，EG＝A′B′， A′B′∥C′D′，A′B′＝C′D′， 所以 EG∥C′D′，EG＝C′D′. 所以四边形 EGC′D′是平行四边形． 所以 ED′∥GC′，ED′＝GC′， 所以 BF∥ED′，BF＝ED′， 所以四边形 BFD′E 是平行四边形．
[易错矫正] 空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补，当两个角的两边方向都相同或都相 反时，两个角相等，否则两个角互补．因此，在证明两个角相 等时，只说明两个角的两边分别对应平行是不够的．
谢谢 观 看
THANK YOU FOR WATCHING
[方法技巧] 空间角相等的证明方法
(1)等角定理是较常用的方法，“等角”定理的结论是相等 或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等还是互 补，还是两种情况都有可能．
(2)转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明．
[对点练清] 如图所示，不共面的三条直线 a，b，c 交于点 O，在点 O 的异 侧分别取点 A 和 A1，B 和 B1，C 和 C1，使得OOAA1＝OOBB1＝OOCC1. 求证：△ABC∽△A1B1C1.
为
()
A．60°
B．120°
C．30°
D．60°或 120°
解析：由等角定理可知，β 为 60°或 120°.
答案：D
2.已知在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中(如图)，l⊂平面 A1B1C1D1，
且 l 与 B1C1 不平行，则下列一定不可能的是
()
A．l 与 AD 平行
B．l 与 AD 不平行
所以四边形 EFGH 为平行四边形． 答案：B
题型一 基本事实 4 的应用 [学透用活]
[ 典 例 1] 如 图 ， 在 正 方 体 ABCD － A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是 AB， BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.
[证明] 因为 E，E′分别是 AB， A′B′的中点，所以 BE∥B′E′，且 BE＝B′E′. 所以四边形 EBB′E′是平行四边形， 所以 EE′∥BB′，同理可证 FF′∥BB′. 所以 EE′∥FF′.
[方法技巧] 空间两条直线平行的证明方法
(1)定义法：即证明两条直线在同一个平面内没有公共点； (2)利用基本事实 4 寻找第三条直线，然后证明这两条直线 都与所找的第三条直线平行，则这两条直线平行，若题设条件 中含有中点，则常利用三角形中位线的性质证明直线平行．
[对点练清] 如图，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，若 E，F 分别为 AA′，CC′的中点，求证：四边形 BFD′E 是平行四边形．
3．如图，空间四边形 ABCD 中，E，F，G，H
分别是 AB，BC，CD，DA 的中点，则四边
形 EFGH 是
()
A．梯形
B．平行四边形
C．菱形
D．矩形
解析：因为 EH 是△ABD 的中位线，
所以 EH∥BD，且 EH＝12BD.
同理，FG∥BD 且 FG＝12BD.
所以 EH∥FG，且 EH＝FG.
二、创新应用题 4.如图所示，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中的平
面 A1C1 内有一点 P，经过点 P 作棱 BC 的平行 线，应该怎样画？并说明理由． 解：如图所示，在平面 A1C1 内过 P 作直线 EF∥B1C1，交 A1B1 于点 E，交 C1D1 于点 F，则直线 EF 即为所求． 理由：因为 EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以 EF∥BC.
题型二 等角定理及应用 [思考探究] 观察下图中的∠AOB 与∠A′O′B′.
(1)这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系？ 提示：分别对应平行．
(2)测量一下，这两个角的大小关系如何？ 提示：相等．
(3)怎样认识等角定理？ 提示：①等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的， 它是基本事实 4 的直接应用． ②当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否 则它们互补．因此等角定理用来证明两个角相等或互补．
三、易错防范题 5.如图，空间四边形 ABCD 中，E，F，G，M，N
分别为 AB，AD，BC，AC，BD 的中点．求证： (1)∠EFM＝∠BDC； (2)∠EFM＋∠DNG＝180°. 证明：(1)∵E，F 分别是 AB，AD 的中点，∴EF∥BD，同理 FM∥CD.∵∠EFM 和∠BDC 的两边分别平行且方向相同， ∴∠EFM＝∠BDC. (2)∵NG∥CD，FM∥CD，∴NG∥FM. ∵∠EFM 和∠BDC 的两边分别平行，其中 NG，FM 方向相同， 而 FE 与 ND 方向相反． 因此∠EFM＋∠DNG＝180°.
两组直线所成的锐角(或直角)相等．
()
答案：(1)× (2)× (3)√
2．已知 AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR 等于
A．30° C．150°
() B．30°或 150° D．以上结论都不对
解析：由等角定理可知∠PQR 与∠ABC 相等或互补， 故∠PQR＝30°或 150°. 答案：B
[学透用活]
[典例 2] 已知 E，E′分别是正方体 ABCD－A′B′C′D′
的棱 AD，A′D′的中点．求证：∠BEC＝∠B′E′C′. [证明] 如图所示，连接 EE′. 因为 E，E′分别是 AD，A′D′的中点， 所以 AE∥A′E′，且 AE＝A′E′. 所以四边形 AEE′A′是平行四边形． 所以 AA′∥EE′，且 AA′＝EE′. 又因为 AA′∥BB′，且 AA′＝BB′， 所以 EE′∥BB′，且 EE′＝BB′， 所以四边形 BEE′B′是平行四边形，所以 BE∥B′E′. 同理可证 CE∥C′E′. 又∠BEC 与∠B′E′C′的两边方向相同， 所以∠BEC＝∠B′E′C′.
图形 语言
作用 判断或证明两个角相等或互补 [微思考] 如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直 线平行吗？ 提示：不一定．这两条直线可能相交、平行或异面．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1) 垂直于同一直线的两条直线互相平行．
()
(2)分别和两条异面直线平行的两条直线平行． ( )
(3)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这
C．l 与 AC 平行
D．l 与 BD 垂直
解析：假设 l∥AD，则由 AD∥BC∥B1C1，知 l∥B1C1，这 与 l 与 B1C1 不平行矛盾，∴l 与 AD 不平行．
答案：A
3．直线 a，b，c，d 满足 a∥b，b∥c，c∥d，则 a 与 d 的位置 关系是________． 解析：∵a∥b，b∥c，c∥d，∴由基本事实 4 可知 a∥d. 答案：平行
证明：∵OOAA1＝OOBB1＝OOCC1，在平面 OAB 和平面 OAC 中， 有 AB∥A1B1，AC∥A1C1，∴∠BAC＝∠B1A1C1. 同理可证∠ABC＝∠A1B1C1.∴△ABC∽△A1B1C1.
[课堂一刻钟巩固训练]
一、基础经典题
1．空间两个角 α，β 的两边分别对应平行，且 α＝60°，则 β
1.了解基本事实 4 和定理. 2.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线平行 的关系.
(一)教材梳理填空 1．基本事实 4：平行于同一条直线的两条直线 平行 ． 2．等角定理 文字 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两 语言 个角 相等 或_互__补_____
证明：如图所示，取 BB′的中点 G，连接 GC′，GE. 因为 F 为 CC′的中点， 所以 BG∥FC′，且 BG＝FC′. 所以四边形 BFC′G 是平行四边形． 所以 BF∥GC′，BF＝GC′， 又因为 EG∥A′B′，EG＝A′B′， A′B′∥C′D′，A′B′＝C′D′， 所以 EG∥C′D′，EG＝C′D′. 所以四边形 EGC′D′是平行四边形． 所以 ED′∥GC′，ED′＝GC′， 所以 BF∥ED′，BF＝ED′， 所以四边形 BFD′E 是平行四边形．
[易错矫正] 空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补，当两个角的两边方向都相同或都相 反时，两个角相等，否则两个角互补．因此，在证明两个角相 等时，只说明两个角的两边分别对应平行是不够的．
谢谢 观 看
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[方法技巧] 空间角相等的证明方法
(1)等角定理是较常用的方法，“等角”定理的结论是相等 或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等还是互 补，还是两种情况都有可能．
(2)转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明．
[对点练清] 如图所示，不共面的三条直线 a，b，c 交于点 O，在点 O 的异 侧分别取点 A 和 A1，B 和 B1，C 和 C1，使得OOAA1＝OOBB1＝OOCC1. 求证：△ABC∽△A1B1C1.
为
()
A．60°
B．120°
C．30°
D．60°或 120°
解析：由等角定理可知，β 为 60°或 120°.
答案：D
2.已知在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中(如图)，l⊂平面 A1B1C1D1，
且 l 与 B1C1 不平行，则下列一定不可能的是
()
A．l 与 AD 平行
B．l 与 AD 不平行
所以四边形 EFGH 为平行四边形． 答案：B
题型一 基本事实 4 的应用 [学透用活]
[ 典 例 1] 如 图 ， 在 正 方 体 ABCD － A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是 AB， BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.
[证明] 因为 E，E′分别是 AB， A′B′的中点，所以 BE∥B′E′，且 BE＝B′E′. 所以四边形 EBB′E′是平行四边形， 所以 EE′∥BB′，同理可证 FF′∥BB′. 所以 EE′∥FF′.
[方法技巧] 空间两条直线平行的证明方法
(1)定义法：即证明两条直线在同一个平面内没有公共点； (2)利用基本事实 4 寻找第三条直线，然后证明这两条直线 都与所找的第三条直线平行，则这两条直线平行，若题设条件 中含有中点，则常利用三角形中位线的性质证明直线平行．
[对点练清] 如图，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，若 E，F 分别为 AA′，CC′的中点，求证：四边形 BFD′E 是平行四边形．
3．如图，空间四边形 ABCD 中，E，F，G，H
分别是 AB，BC，CD，DA 的中点，则四边
形 EFGH 是
()
A．梯形
B．平行四边形
C．菱形
D．矩形
解析：因为 EH 是△ABD 的中位线，
所以 EH∥BD，且 EH＝12BD.
同理，FG∥BD 且 FG＝12BD.
所以 EH∥FG，且 EH＝FG.
二、创新应用题 4.如图所示，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中的平
面 A1C1 内有一点 P，经过点 P 作棱 BC 的平行 线，应该怎样画？并说明理由． 解：如图所示，在平面 A1C1 内过 P 作直线 EF∥B1C1，交 A1B1 于点 E，交 C1D1 于点 F，则直线 EF 即为所求． 理由：因为 EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以 EF∥BC.
题型二 等角定理及应用 [思考探究] 观察下图中的∠AOB 与∠A′O′B′.
(1)这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系？ 提示：分别对应平行．
(2)测量一下，这两个角的大小关系如何？ 提示：相等．
(3)怎样认识等角定理？ 提示：①等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的， 它是基本事实 4 的直接应用． ②当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否 则它们互补．因此等角定理用来证明两个角相等或互补．
三、易错防范题 5.如图，空间四边形 ABCD 中，E，F，G，M，N
分别为 AB，AD，BC，AC，BD 的中点．求证： (1)∠EFM＝∠BDC； (2)∠EFM＋∠DNG＝180°. 证明：(1)∵E，F 分别是 AB，AD 的中点，∴EF∥BD，同理 FM∥CD.∵∠EFM 和∠BDC 的两边分别平行且方向相同， ∴∠EFM＝∠BDC. (2)∵NG∥CD，FM∥CD，∴NG∥FM. ∵∠EFM 和∠BDC 的两边分别平行，其中 NG，FM 方向相同， 而 FE 与 ND 方向相反． 因此∠EFM＋∠DNG＝180°.
两组直线所成的锐角(或直角)相等．
()
答案：(1)× (2)× (3)√
2．已知 AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR 等于
A．30° C．150°
() B．30°或 150° D．以上结论都不对
解析：由等角定理可知∠PQR 与∠ABC 相等或互补， 故∠PQR＝30°或 150°. 答案：B
[学透用活]
[典例 2] 已知 E，E′分别是正方体 ABCD－A′B′C′D′
的棱 AD，A′D′的中点．求证：∠BEC＝∠B′E′C′. [证明] 如图所示，连接 EE′. 因为 E，E′分别是 AD，A′D′的中点， 所以 AE∥A′E′，且 AE＝A′E′. 所以四边形 AEE′A′是平行四边形． 所以 AA′∥EE′，且 AA′＝EE′. 又因为 AA′∥BB′，且 AA′＝BB′， 所以 EE′∥BB′，且 EE′＝BB′， 所以四边形 BEE′B′是平行四边形，所以 BE∥B′E′. 同理可证 CE∥C′E′. 又∠BEC 与∠B′E′C′的两边方向相同， 所以∠BEC＝∠B′E′C′.
图形 语言
作用 判断或证明两个角相等或互补 [微思考] 如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直 线平行吗？ 提示：不一定．这两条直线可能相交、平行或异面．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1) 垂直于同一直线的两条直线互相平行．
()
(2)分别和两条异面直线平行的两条直线平行． ( )
(3)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这
C．l 与 AC 平行
D．l 与 BD 垂直
解析：假设 l∥AD，则由 AD∥BC∥B1C1，知 l∥B1C1，这 与 l 与 B1C1 不平行矛盾，∴l 与 AD 不平行．
答案：A
3．直线 a，b，c，d 满足 a∥b，b∥c，c∥d，则 a 与 d 的位置 关系是________． 解析：∵a∥b，b∥c，c∥d，∴由基本事实 4 可知 a∥d. 答案：平行
证明：∵OOAA1＝OOBB1＝OOCC1，在平面 OAB 和平面 OAC 中， 有 AB∥A1B1，AC∥A1C1，∴∠BAC＝∠B1A1C1. 同理可证∠ABC＝∠A1B1C1.∴△ABC∽△A1B1C1.
[课堂一刻钟巩固训练]
一、基础经典题
1．空间两个角 α，β 的两边分别对应平行，且 α＝60°，则 β