第二章 2.1.3

2．1.3向量的减法
学习目的 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法那么.2.掌握向量减法的几何意义.3.能纯熟地进展向量的加、减运算．
知识点一向量的减法
考虑1向量减法的几何意义是什么？
答案a－b的几何意义：当向量a，b的始点一样时，从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
考虑2向量减法的三角形法那么是什么？
答案(1)两个向量a，b的始点移到同一点；
(2)连接两个向量(a与b)的终点；
(3)差向量a－b的方向是指向被减向量的终点．
这种求差向量a－b的方法叫做向量减法的三角形法那么．概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减〞．
→＝a，作OB→＝b，那么b＋BA→＝a，向量BA→叫做向量a与b 梳理(1)向量a，b(如图)，作OA
的差，并记作a－b，即BA→＝a－b＝OA→－OB→.
(2)假如把两个向量的始点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．
→等于它的终点相对于点O的位置向量OA→减去它的始点相对于点O的位置向量(3)一个向量BA
→，或简记“终点向量减始点向量〞．
OB
知识点二相反向量
考虑实数a的相反数为－a，向量a与－a的关系应叫做什么？
答案相反向量．
梳理(1)与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作－a(如图)．显然a＋(－a)
＝0.
(2)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
知识点三|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者的关系
考虑在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、减法的几何意义，|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者关系是怎样的？
答案它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
→＝a，AB→＝b，
梳理当向量a，b不共线时，作OA
那么a＋b＝OB→，如图(1)，根据三角形的三边关系，
那么有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.
当a与b共线且同向或a，b中至少有一个为零向量时，作法同上，如图(2)，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.当a与b共线且反向或a，b中至少有一个为零向量时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图(3)，此时|a＋b|＝||a|－|b||.
故对于任意向量a，b，总有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.①
因为|a－b|＝|a＋(－b)|，
所以||a|－|－b||≤|a－b|≤|a|＋|－b|，
即||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.②
将①②两式结合起来即为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
1．相反向量就是方向相反的向量．(×)
提示相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系．
→与BA→是相反向量．(√)
2．向量AB
→与BA→大小相等、方向相反．
提示AB
→＝BA→，－(－a)＝a.(√)
3．－AB
提示根据相反向量的定义可知其正确．
4．两个相等向量之差等于0.(×)
提示两个相等向量之差等于0.
类型一 向量减法的几何作图
例1 如图，向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .
解 方法一 如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，那么OB →＝a ＋b ，再作OC →＝
c ，那么CB →＝a ＋b －c .
方法二 如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，那么OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，
连接OC ，那么OC →＝a ＋b －c .
引申探究
假设本例条件不变，那么a －b －c 如何作？
解 如图，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，
那么BA →＝a －b .再作CA →＝c ，那么BC →＝a －b －c .
反思与感悟 在求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；假设两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量．
跟踪训练1 如下图，向量a ，b ，c ，d ，求作向量a －b ，c －d .
解 如下图，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d .
那么a －b ＝BA →，c －d ＝DC →.
类型二 向量减法法那么的应用
例2 化简以下式子：
(1)NQ →－PQ →－NM →－MP →；
(2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．
解 (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0.
(2)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →
＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0.
反思与感悟 向量减法的三角形法那么的内容：两向量相减，表示两向量起点的字母必须一样，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点．
跟踪训练2 化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)；
(2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)．
解 (1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)
＝CA →－CD →＝DA →.
(2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)
＝AC →＋BA →－DC →＋(DO →＋OB →)
＝AC →＋BA →－DC →＋DB →
＝BC →－DC →＋DB →＝BC →＋CD →＋DB →
＝BC →＋CB →＝0.
类型三 向量减法几何意义的应用
例3 |AB →|＝6，|AD →|＝9，求|AB →－AD →|的取值范围．
解 ∵||AB →|－|AD →||≤|AB →－AD →|≤|AB →|＋|AD →|，且|AD →|＝9，|AB →|＝6，∴3≤|AB →－AD →|≤15.
当AD →与AB →同向时，|AB →－AD →|＝3；
当AD →与AB →反向时，|AB →－AD →|＝15.
∴|AB →－AD →|的取值范围为[3,15]．
反思与感悟 (1)如下图，在平行四边形ABCD 中，假设AB →＝a ，AD →＝b ，那么AC →＝a ＋b ，DB
→＝a －b .
(2)在公式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |中，当a 与b 方向相反且|a |≥|b |时，|a |－|b |＝|a ＋b |；当a 与b 方向一样时，|a ＋b |＝|a |＋|b |.
(3)在公式||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |中，当a 与b 方向一样且|a |≥|b |时，|a |－|b |＝|a －b |；当a 与b 方向相反时，|a －b |＝|a |＋|b |.
跟踪训练3 在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，且AC →＝a ＋b ，假设|a ＋b |＝|a －b |，那么
四边形ABCD 的形状是( )
A ．梯形
B ．矩形
C ．菱形
D ．正方形
答案 B
解析 ∵AC →＝a ＋b ，
∴四边形ABCD 为平行四边形．
又∵DB →＝a －b ，|a ＋b |＝|a －b |，
∴|AC →|＝|DB →|.
∴四边形ABCD 为矩形．
1.如下图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，那么用a ，b 表示向量AC →和BD →分别是( )
A ．a ＋b 和a －b
B ．a ＋b 和b －a
C ．a －b 和b －a
D ．b －a 和b ＋a
答案 B
解析 由向量的加法、减法法那么，得AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，BD →＝AD →－AB →＝b －a .应选B.
2．化简OP →－QP →＋PS →＋SP →的结果等于( )
A.QP →
B.OQ →
C.SP →
D.SQ →
答案 B
3．假设菱形ABCD 的边长为2，那么|AB →－CB →＋CD →|＝________.
答案 2
解析 ||AB →－CB →＋CD →＝||AB →＋BC →＋CD
→ ＝||AC →＋CD →＝||
AD
→＝2. 4．假设向量a 与b 满足|a |＝5，|b |＝12，那么|a ＋b |的最小值为________，|a －b |的最大值为________．
答案 7 17
解析 由||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，
||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |可得．
5.如图，在五边形ABCDE 中，假设四边形ACDE 是平行四边形，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，
试用a ，b ，c 表示向量BD →，BC →，BE →，CD →及CE →.
解 ∵四边形ACDE 是平行四边形，
∴CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，
BE →＝AE →－AB →＝c －a ，
CE →＝AE →－AC →＝c －b ，
∴BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .
1．向量减法的本质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转
化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )．
2．在用三角形法那么作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量〞．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
3．平行四边形ABCD 的两邻边AB ，AD 分别为AB →＝a ，AD →＝b ，那么两条对角线表示的向量
为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用中非常广泛，应该加强理解并掌握.
一、选择题
1．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( )
A.MP →
B.NP → C ．0 D.MN →
答案 C
解析 PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝0.
2．一点O 到▱ABCD 的3个顶点A ，B ，C 的向量分别是a ，b ，c ，那么向量OD →等于( )
A ．a ＋b ＋c
B ．a －b ＋c
C ．a ＋b －c
D ．a －b －c
答案 B
解析 如下图，
OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝OA →－OB →＋OC →＝a －b ＋c .应选B.
3．在平行四边形ABCD 中，以下结论错误的选项是( )
A.AB →－DC →＝0
B.AD →－BA →＝AC →
C.AB →－AD →＝BD →
D.AD →＋CB →＝0 答案 C
解析 ∵AB →＝DC →，∴AB →－DC →＝0，A 正确；
∵AD →－BA →＝AD →＋AB →＝AC →，B 正确；
∵AB →－AD →＝AB →＋DA →＝DB →，C 错误；
∵AD →＝BC →，∴AD →＝－CB →，∴AD →＋CB →＝0，D 正确．
4.如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，那么( )
A.AD →＋BE →＋CF →＝0
B.BD →－CF →＋DF →＝0
C.AD →＋CE →－CF →＝0
D.BD →－BE →－FC →＝0
答案 A
解析 AD →＋BE →＋CF →＝12AB →＋12BC →＋12CA →＝12(AB →＋BC →＋CA →)＝0.
5．在边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为( )
A ．1
B ．2 C.3
2 D.3
答案 D
解析 如图，作菱形ABCD ，
那么|AB →－BC →|＝|AB →－AD →|
＝|DB →|＝ 3.
6．假设|AB →|＝5，|AC →|＝8，那么|BC →|的取值范围是( )
A ．[3,8]
B ．(3,8)
C ．[3,13]
D ．(3,13)
答案 C
解析 ∵|BC →|＝|AC →－AB →|且
||AC →|－|AB →||≤|AC →－AB →|≤|A C →|＋|AB →|，
∴3≤|AC →－AB →|≤13，
∴3≤|BC →|≤13.
7.如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，那么DC →等于(
)
A ．a －b ＋c
B ．b －(a ＋c )
C．a＋b＋c D．b－a＋c 答案A
二、填空题
8．OA →＝a ，OB →＝b ，假设|OA →|＝12，|OB →|＝5，且∠AOB ＝90°，那么|a －b |＝________. 答案 13
解析 ∵|OA →|＝12，|OB →|＝5，∠AOB ＝90°，
∴|OA →|2＋|OB →|2＝|AB →|2，
∴|AB →|＝13.
∵OA →＝a ，OB →＝b ，∴a －b ＝OA →－OB →＝BA →，
∴|a －b |＝|BA →|＝13.
9.如下图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于点O ，那么BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝
________.
答案 CA →
三、解答题
10．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，且|BC →|＝4，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，求|AM →|.
解 以AB ，AC 为邻边作平行四边形ACDB ，
由向量加减法的几何意义可知，
AD →＝AB →＋AC →，CB →＝AB →－AC →.
∵|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，∴|AD →|＝|CB →|.
又∵|BC →|＝4，M 是线段BC 的中点，
∴|AM →|＝12|AD →|＝12
|BC →|＝2. 11．如下图，正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试求：|a －b ＋c |.
解 作BF →＝AC →，连接CF ，DB ，
那么DB →＋BF →＝DF →，
而DB →＝AB →－AD →＝a －BC →＝a －b ，
∴a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且
|DF →|＝2，∴|a －b ＋c |＝2.
12．OA →＝a ，OB →＝b ，且|a |＝|b |＝2，∠AOB ＝π3
，求|a ＋b |，|a －b |. 解 如图，那么a ＋b ＝OC →，a －b ＝BA →.因为|a |＝|b |＝2，∠AOB ＝π3
，所以△AOB 为等边三角形，
故|a ＋b |＝|OC →|＝2|OM →|＝23，
|a －b |＝|BA →|＝2.
13．|a |＝8，|b |＝6，且|a ＋b |＝|a －b |，求|a －b |.
解 设AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，如下图，那么AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ，
所以|AC →|＝|DB →|.
又因为四边形ABCD 为平行四边形，
所以四边形ABCD 为矩形，故AD ⊥AB .
在Rt △DAB 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，由勾股定理，得|DB →|＝
|AB →|2＋|AD →|2＝82＋62＝10.
所以|a －b |＝10.
四、探究与拓展
14．假设a ≠0，b ≠0，且|a |＝|b |＝|a －b |，那么a 与a ＋b 所在直线的夹角是________． 答案 30°
解析 如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，
那么a －b ＝BA →.∵|a |＝|b |＝|a －b |，
∴|OA →|＝|OB →|＝|BA →|，
∴△OAB 是等边三角形，
∴∠BOA ＝60°.
又∵OC →＝a ＋b ，且在菱形OACB 中，对角线OC 平分∠BOA ，∴a 与a ＋b 所在直线的夹角为30°.
15．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，求|a ＋b |的值．
解 在平面内任取一点A ，作AD →＝a ，AB →＝b ，
第 11 页 那么AC →＝a ＋b ，BD →＝a －b .由题意知，
|AB →|＝|BD →|＝2，|AD →|＝1.
如下图，过点B 作BE ⊥AD 于点E ，过C 作CF ⊥AB 交直线AB 的延长线于点F .
∵AB ＝BD ＝2，∴AE ＝ED ＝12AD ＝12
. 在△ABE 中，cos ∠EAB ＝AE AB ＝14
. 在△CBF 中，∠CBF ＝∠EAB ，∴cos ∠CBF ＝14
， ∴BF ＝BC ·cos ∠CBF ＝1×14＝14，∴CF ＝154
. ∴AF ＝AB ＋BF ＝2＋14＝94
. 在Rt △AFC 中，AC ＝
AF 2＋CF 2＝ 8116＋1516
＝6， ∴|a ＋b |＝ 6.。