2017-2018学年高中数学北师大必修1：课时跟踪检测十

课时跟踪检测（十） 二次函数性质的再研究
层级一 学业水平达标
1．将函数y ＝x 2的图像向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得函数解析式为( )
A ．y ＝(x ＋2)2＋1
B ．y ＝(x －2)2＋1
C ．y ＝(x －2)2－1
D ．y ＝(x ＋2)2－1
解析：选C 由图像的平移规则可知C 正确．
2．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图像大致是( )
解析：选C 选项A ，y ＝ax ＋b 中，a >0，而y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向下，矛盾；
选项B ，y ＝ax ＋b 中，a >0，b >0，而y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像的对称轴x ＝－b 2a
>0，矛盾；选项D ，y ＝ax ＋b 中，a <0，b <0，但y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向上，矛盾．
3．二次函数y ＝－x 2＋4x ＋t 图像的顶点在x 轴上，则t 的值是( )
A ．－4
B ．4
C ．－2
D ．2
解析：选A 二次函数的图像顶点在x 轴上，故Δ＝0，
可得t ＝－4.
4．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图像与x 轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f (x )( )
A ．在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增
B ．在(－∞，3)上递增
C ．在[1,3]上递增
D ．单调性不能确定
解析：选A 由已知可得该函数的图像的对称轴为x ＝2，
又二次项系数为1＞0，∴f (x )在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．
5．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )为增函数，当x ∈(－∞，－2]时，函数f (x )为减函数，则m 等于( )
A ．－4
B ．－8
C ．8
D ．无法确定
解析：选B 二次函数在对称轴的两侧的单调性相反，由题意得函数的对称轴为x ＝－2，则m 4
＝－2.∴m ＝－8. 6．函数y ＝x 2＋m 的图像向下平移2个单位长度，得函数y ＝x 2－1的图像，则实数m
＝________.
解析：y ＝x 2－1的图像向上平移2个单位长度，得函数y ＝x 2＋1的图像，即m －2＝－1，则m ＝1.
答案：1
7．设函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )＝________________. 解析：∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
(－4)2－4b ＋c ＝c ，(－2)2－2b ＋c ＝－2.解得b ＝4，c ＝2. ∴f (x )＝x 2＋4x ＋2.
答案：x 2＋4x ＋2
8.已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图像如图所示，则关于x 的
一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的根为________________．
解析：由图知抛物线的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标
是(3,0)，
所以抛物线与x 轴的另一个交点坐标是(－1,0)．
所以关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的根为x 1＝－1，x 2＝3.
答案：－1,3
9．已知抛物线y ＝ax 2＋6x －8与直线y ＝－3x 相交于点A (1，m )．
(1)求抛物线的解析式；
(2)请问：(1)中的抛物线经过怎样的平移就可以得到y ＝ax 2的图像？
解：(1)点A (1，m )在直线y ＝－3x 上，∴m ＝－3×1＝－3.把x ＝1，y ＝－3代入y ＝ax 2＋6x －8，得a ＋6－8＝－3，求得a ＝－1.∴抛物线的解析式是y ＝－x 2＋6x －8；
(2)∵y ＝－x 2＋6x －8＝－(x －3)2＋1，∴顶点坐标为(3,1)．∴把抛物线y ＝－x 2＋6x －8向左平移3个单位后得到y ＝－x 2＋1的图像，再把y ＝－x 2＋1的图像向下平移1个单位得到y ＝－x 2的图像．
10．已知二次函数f (x )的图像经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．
解：∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2.又∵f (x )图像被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图像过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.
层级二 应试能力达标
1．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图像可能是( )
解析：选D ∵a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，∴a ＞0，c ＜0.
2．函数y ＝－x 2－2ax (0≤x ≤1)的最大值是a 2，则实数a 的取值范围是( )
A ．[0,1]
B ．[0,2]
C ．[－2,0]
D ．[－1,0]
解析：选D y ＝－x 2－2ax ＝－(x ＋a )2＋a 2.∵函数在[0,1]上的最大值是a 2，∴0≤－a ≤1，即－1≤a ≤0.
3．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (1＋x )＝f (－x )，则下列不等式中成立的是( )
A ．f (－2)＜f (0)＜f (2)
B ．f (0)＜f (－2)＜f (2)
C ．f (0)＜f (2)＜f (－2)
D ．f (2)＜f (0)＜f (－2)
解析：选C ∵f (1＋x )＝f (－x )，∴(x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝x 2－bx ＋c ，∴x 2＋(2＋b )x ＋1
＋b ＋c ＝x 2－bx ＋c ，∴2＋b ＝－b ，即b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋c ，其图像的对称轴为x ＝12
.∴f (0)＜f (2)＜f (－2)．
4．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，如果f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )
A ．－b 2a
B ．－b a
C ．c D.4ac －b 2
4a
解析：选C 由题意得：a ≠0，x 1，x 2关于x ＝－b 2a
对称， 所以x 1＋x 22＝－b 2a ，x 1＋x 2＝－b a .得f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫－b a ＝a ·b 2a 2－b 2a
＋c ＝c . 5．当x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________．
解析：由x ≥0，y ≥0，x ＝1－2y ≥0知0≤y ≤12
， 令t ＝2x ＋3y 2＝3y 2－4y ＋2，∴t ＝3⎝⎛⎭⎫y －232＋23
. 其在⎣⎡⎦⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34
. 答案：34
6．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________． 解析：f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，当a ＞1时，f (x )max ＝f (1)＝a ；当0≤a ≤1时，f (x )max
＝f (a )＝a 2－a ＋1；当a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a .根据已知条件：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧
0≤a ≤1，a 2－a ＋1＝2
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＜0，1－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1. 答案：2或－1
7.某企业生产的一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元，每生
产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元，市场对这种电器的
年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入(R )与销售量(t )的关系用
抛物线段表示如图．
(注：年产量与销售量的单位：百台，纯收益的单位：万元，生产
成本＝固定成本＋可变成本，精确到1台和0.01万元)
(1)写出如图的销售收入(k )与销售量(t )之间的函数关系R ＝f (t )；
(2)认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与年生产量的函数关系式，并求年生产量是多少时纯收益最大？
解：(1)由图可知：R ＝a (t －5)2＋252
， 由t ＝0时，R ＝0得a ＝－12
. ∴R ＝－12(t －5)2＋252
(0≤t ≤5)． (2)年纯收益y ＝－12t 2＋5t －0.5－14t ＝－12t 2＋194t －0.5，当t ＝194
＝4.75时，y 取得最大值10.78万元．故年产量为475台，纯收益取得最大值10.78万元．
8．是否存在实数a ，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．
解：存在，理由如下，f (x )＝x 2－2ax ＋a ＝(x －a )2＋a －a 2.
当a ＜－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝1＋3a ＝－2，f (1)＝1－a ＝2，解得a ＝－1(舍去)； 当－1≤a ≤0时，⎩
⎪⎨⎪⎧ f (a )＝a －a 2＝－2，f (1)＝1－a ＝2，解得a ＝－1； 当0＜a ≤1时，⎩⎪⎨⎪⎧
f (a )＝a －a 2＝－2，f (－1)＝1＋3a ＝2，a 不存在； 当a ＞1时，f (x )在[－1,1]上为减函数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
f (－1)＝1＋3a ＝2，f (1)＝1－a ＝2，a 不存在； 综上可知存在实数a ，且a ＝－1满足题意．。