上海市高三数学上学期联合调研考试试题 文 新人教A版

同济大学、第二附属中学2012—2013学年高三联合调研考试
数学试题（文科）
一、填空题：本大题有14小题，每小题4分，共56分
1、不等式
11
2x <的解集是 (,0)-∞⋃(2,)+∞ 2、若3sin()25
πθ+=，则cos 2θ=_________.7
25-
3、已知圆锥的底面半径为2，母线长为6，则圆锥的侧面展开图的圆心角度
数为
23
π
4、已知向量()1,1=a ，()2,m =b ，若+=⋅a b a b ，则实数m = 3
5、函数y =2,0,0x x x x <⎧⎨≥⎩ 的反函数是y
=,0
x x x <⎧⎪≥
6、方程||
1
222x
x -
=的解为
2log 1) 7、若由命题A: “2
2031x
x >-”能推出命题B: “x a >”，则a 的取值范围是
________2a ≤-
8、已知z ∈C ，且i =z 23i z -++（i 为虚数单位），则
2i
z
+= 2i + 9、已知A B 、依次是双曲线2
2
:13
y E x -=的左、右焦点，C 是双曲线E 右支上的一 点，则在ABC ∆中，
sin sin sin A B C -= ．1
2
-
10、某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的世
博宣传广告，则最后播放的是世博宣传广告，且2个世博宣传广告不连续播放的方法有 种．（用数字作答） 36
11、顶点在同一球面上的正四棱柱A B C D A B C ''''-中
，1AB AA '==，A 、C 两点间的球面距离为____________.
2
π
12、执行如图的程序框图，若0.8p =，则输出的n =
.4
密
封
线
内
不
要
题
答
13、已知不相等的实数m 、n 分别满足：
2201020110m m -+=和2
201020110n n -+=，则
11m n += 2010
2011
14、已知集合{}
232
25|5|,A x x x x ax x R =++-≤∈，
{}213120B x x x =-+≤，若A B φ≠．则实数a 的取值范围
为 10a ≥
二、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 15、“41
=
a ”是“对任意的正数,x 均有1≥+x
a x ”的 （ A ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件
16、设0>x ，若10)1(x -展开式的第三项为20，则()
n
n x x x +++∞
→ 2lim 的值是…（ B ）
A ．
21 B ．2 C ．1 D ．3
2
17、若椭圆122
22=+b
y a x 与双曲线122=-y x 有相同的焦点，且过抛物线x y 82=的焦点，
则该椭圆的方程是 （ A ）
A ．
12422=+y x B ．1322=+y x C ．14
222=+y x D ．1322
=+y x 18、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，)(x f 单调递增，若021<+x x ，，则
)()(21x f x f +的值 （ C ）
A ．恒为正值 C ．恒等于零 C ．恒为负值 D ．无法确定正负 三、解答题：（本大题共有5道题，满分78分），解答下列各题必须写出必要的步骤． 19、（本题满分12分）
在ΔABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，已知tan c =c =ΔABC
的面积为2
ABC S ∆=
，求a+b 的值。

19、解：在ΔABC 中，因为tan C =3，所以∠C =60o
，
2分
又ΔABC 的面积为S ΔABC =233，所以21ab sin C = 2
33
4分 即：ab = 6
6分 因为c=7，所以c 2
= a 2
+b 2
–2ab cos C
8分 即：a 2
+b 2
–ab = 7 (a+b )2–3ab = 7
10分
∴a+b = 5
12分
20、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题7分，第2小题7分
在正四棱锥P －ABCD 中（如图），若异面直线PA 与BC 所成角的正切值为2，底面边长AB ＝４．
（1）求侧棱与底面ABCD 所成角的大小. （2）求四棱锥P －ABCD 的体积． 解：（1）过P 作斜高PE ，PO ⊥底面ABCD ，BC AD //
∴∠PAD 为异面直线PA 与BC 所成的角θ且2tan θ= 3分
在Rt PEA ∆中2tan θ=PE
AE
=
且AE=2 所以PE=4
， 5分
正四棱锥P －ABCD
的高为=PO Rt POA ∆中， ∴
sin PAO ∠=
∴∠ ， 侧棱与底面ABCD 所成角的大小为515arcsin （ 或写成5
10
arccos ） 7分
（2）P-ABCD V
-2143=
⋅⋅=分 21、（本题满分16分）本题共2小题，第1小题8分，第2小题8分
某投资公司计划投资A 、B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y
与投资量x 成正比例，其关系如图1，
B 产品的利润y 与投资量x 的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）
A B
C
P
D
（1）分别将A 、B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式；
（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品中，问：怎样分配这10万
元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？`
21、解：（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为)(x f 万元，B 产品的利润为)(x g 万元．
由题意设x k x f 1)(=，x k x g 2)(=．由图知51)1(=
f ，5
1
1=∴k 又6.1)4(=g ，542=∴k ．从而)0(51)(≥=x x x f ，)0(5
4
)(≥=
x x x g 8分 （2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入x -10万元，设企业利润为y 万元．
x x x g x f y -+=-+=105
4
5)10()()100(≤≤x
令t x =-10，则t t y 5
4
5102+-=514)2(512+--=t )100(≤≤t
当2=t 时，8.25
14
max ==y ，此时6410=-=x 15分 答：当A 产品投入6万元，则B 产品投入4万元时，
该企业获得最大利润，利润为2.8万元． 16分
22、（本题满分18分）本题共3小题，第1小题8分，第2小题6分，第3小题4分。

在直角坐标系中，动点M 到点)2,2(P 的距离等于点M 到直线02=-+y x 的距离
记动点M 的轨迹为W ，过点(,0)(0)A a a >作一条斜率为(0)k k <的直线交曲线
W 于B ，C 两点，且交y 轴于点D ．
（1）求动点M 的轨迹，并指出它的三条性质或特征； （2）求证：AB CD =；
（3）若BC BD =，求△OAD 的面积．（O 为坐标原点）
22、解：（1）设),(y x M ，依题意有：
图2 图1
化简得 1.
xy=
即动点M的轨迹方程为1
xy=双曲线，其性质为 4分
（1
）焦点
(,（2
）实轴长（3
）虚轴长（4）对称性y x
=±，()
0,0（5）渐近线0,0
x y
==等 8分（2）直线方程为)
(a
x
k
y-
=，由
(),
1,
y k x a
xy
=-
⎧
⎨
=
⎩
得
2
112200
12
00
10.
(,),(,),(,),
,.(,).
22222
(0,)
(,).
22
||||,||||,
kx kax
B x y
C x y BC N x y
x x a ka a ka
x y N
D ka
a ka
AD N
AN DN BN CN
--=
+
===--
-
∴-
==
设中点为
则即
又
中点也为
由
可得|AB|=|CD| 14分
（3）若|BC|=|BD|，可知
2
1
x
x<，
,
|
|,
|
|
.
2
9
,
,
,
1
,
,
2
,
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
ka
OD
a
OA
ka
x
x
k
x
x
a
x
x
x
x
x
x
x
-
=
=
-
=
-
=
=
+
=
-
=
又
可得
消去
又
即
则
.
4
9
)
(
2
1
|
||
|
2
1
=
-
⋅
⋅
=
⋅
=
∴
∆
ka
a
OD
OA
S
OCD
18分23、（本题满分18分）本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分
已知数列{}n a和{}n b满足：1aλ=,1
2
4
3
n n
a a n
+
=+-,(1)(321)
n
n n
b a n
=--+,其中λ为实数，n为正整数.
（1）证明：对任意实数λ,数列{}n a不是等比数列；
（2）证明：当λ≠-18时，数列{}n b 是等比数列；
（3）设n S 为数列{}n b 的前n 项和.问：是否存在实数λ,使得对任意正整数n ，都有
12?n S >- 若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.
23、解：（1）证明 假设存在一个实数λ,使{a n }是等比数列，则有a 22=a 1a 3,即
2
332⎪⎭⎫ ⎝⎛-λ=λ⎪⎭
⎫
⎝⎛-494λ⇔94λ2-4λ+9=94λ2-4λ⇔9=0,矛盾.
所以 {a n }不是等比数列. 4分 （2）证明 因为b n+1=(-1)n+1
［a n+1-3(n+1)+21］=(-1)
n+1
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-14232n a n
=-3
2(-1)n
·(a n -3n+21)=- 3
2
b n .
又λ≠-18，所以b 1=-(λ+18)≠0. 由上式知b n ≠0,所以
n
n b b 1+=-32(n ∈N *
). 故当λ≠-18时，数列{b n }是以-(λ+18)为首项，-3
2
为公比的等比数列. 10分
（3） 当λ≠-18时，由（2）得：b n =-(λ+18)·1
32-⎪
⎭
⎫
⎝⎛-n , 于是S n =-53
(λ+18)·⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--n 321.
当λ=-18时，b n =0，从而S n =0，上式成立.要使对任意正整数n ，都有S n ＞12.
即-53(λ+18 )·⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--n 321＞-12⇔λ＜n ⎪
⎭⎫ ⎝⎛--32120
-18. 12分 令f(n)=1-n
⎪⎭
⎫
⎝⎛-32,则
当n 为正奇数时，1＜f(n)≤35; 当n 为正偶数时，9
5≤f(n)＜1, 16分 所以f(n)的最大值为f(1)= 3
5. 于是可得λ＜20⨯
5
3
-18=-6. 综上所述，存在实数λ,使得对任意正整数n 都有S n ＞-12,λ的取值范围为（-∞，-6）.
18分。