高考前必做的“不等式恒成立导数题中的参数求法”都在这里

高考前必做的“不等式恒成立导数题中的参数求法”都在这里
已知含参数不等式恒成立求其中参数取值范围问题是高考热点，这里汇集了这类问题的通法和巧法，包括直接求导法、二次求导法、特值压缩法、分离ln x 法、重构函数法、解不等式法、设而不求法等，都是高考压轴题最常用到的方法.
一、
直接求导法
题目：当(0,1)x ∈时，1()11ax
x f x e x
-+=
>-恒成立，求a 的取值范围. 分析：注意()x
e f x g 型函数不分离最好,这里()f x 是有理函数, 它的导数为[()]()x
x
e f x e f x '=+g ()[()()]x
x
e f x e f x f x ''=+g ， 这里()()f x f x '+是有理函数，容易讨论其性质. 解：2
1121()(
)()()11(1)1ax ax ax
ax x x x f x e e e e a x x x x
----+++'''=+=+-----g g 2
2(1)[](1)1ax
a x e
x x
-+=-=--222222(1)2[](1)(1)(1)ax
ax a x ax a e e x x x ---+--=---， 由22ax a +-可知，我们可以按照二次函数的讨论要求处理，比较复杂， 于是可以考虑分离参数a ，
即2222
22
222(1)2(1)()(1)()11ax a a x x a x a x x
+-=-+=-+=----， 注意到当(0,1)x ∈时，
2
2
(2,)1x
∈+∞-，所以当2a ≤时，()0f x '>，()f x 是增函数， 所以()(0)1f x f >=，
当2a >时，222()0(1)ax
ax a f x e x -+-'=<-可解得0x <<，即当0x <<
()f x 是减函数，所以()(0)1f x f <=，不合题意.
综上，a 的取值范围(,2]-∞.
二、二次求导法
题目：当0x ≥时，2
()10x
f x e x ax =---≥恒成立，求a 的取值范围. 分析：2
()x
f x ke ax bx c =+++型函数一般用到二次求导法. 解:()12x
f x e ax '=--，
()2x
f x e a ''=-， 因为0x ≥，所以1x e ≥， 当21a ≤即1
2
a ≤
时，()0f x ''≥，()f x '是增函数，所以()(0)0f x f ''≥=，所以()f x 是增函数，所以()(0)0f x f ≥=； 当21a >即1
2
a >
时，则当0ln(2)x a <<时，()0f x ''<，()f x '是减函数，所以()(0)0f x f ''<=，所以()f x 是减函数，所以()(0)0f x f <=. 所以a 的取值范围1(,]2
-∞.
三、特值压缩法
题目：当2x ≥-时，2
()2(1)420x
f x ke x x x =+---≥恒成立，求k 的取值范围. 分析：特值法先压缩参数范围，可以大大减少讨论步骤，但是这是一个特殊方法，不被重视.
解：由2202
(2)2(21)(2)4(2)20(0)2(01)04020f ke f ke -⎧-=-+---⨯--≥⎨=+--⨯-≥⎩得 2220
220
ke k -⎧-+≥⎨
-≥⎩得21k e ≤≤， ()2[(1)]242(2)(1)x x x f x k e x e x x ke '=++--=+-，
当2
1k e ≤≤时，由()2(2)(1)0x
f x x ke '=+-=得211
[,1]ln [2,0]x e e x k k
-=
∈⇒=∈-， 当2
k e =时，显然当2x ≥-时，()0f x '≥，()f x 为增函数，从而()(2)0f x f ≥-=， 当2
1k e ≤<时，则1
ln
(2,0]k
∈-，所以 当1
(2,ln )x k
∈-时，()0f x '<，()f x 为减函数，
当1
(ln
,)x k
∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数， 所以()f x 的最小值为1ln 21111
(ln )2(ln 1)(ln )4(ln )2k f ke k k k k
=+---
2211111
2(ln
1)(ln )4(ln )2(ln )2ln k k k k k =+---=-- 2211
(ln )2ln (ln )2ln (2ln )(ln )0k k k k k k
=--=-+=-≥，
所以求k 的取值范围是21k e ≤≤.
四、分离ln x 法
题目：当0x >且1x ≠时，
ln 1ln 11x x k
x x x x
+>++-恒成立，求k 的取值范围. 分析：把ln x 分离出来可以使导数非常简单. 解： 2ln ln 111121
()()ln ln 11111x x k k k x x x x x x x x x x x ------=--=-
+-+--
2221111[2ln (1)][2ln (1)()]11k x x x k x x x x x
-=
--⨯-=------ （这一步的目的是提取因式211x -，分离出ln x ，由于21
1
x -的符号不确定，所以分类讨论如下）
令设1
()2ln (1)()g x x k x x =----，于是原题等价于
()0,(1,)
()0,(0,1)g x x g x x >∀∈+∞⎧⎨
<∀∈⎩
221
()(1)(1)g x k x x
'=---+，若是通分，分子是一个关于x 的二次函数，讨论比较复杂，
不如再次提取21
(1)x +，分离参数k ，这样会转化为对号函数，可谓一举两得：
于是222
21121
()(1)(1)(1)[(1)]11g x k k x x x x x '=---+=+-⨯--+
221212(1)[(1)](1)(1)11k k x x x x x x ⎡⎤
⎢⎥=+---=+---
⎢⎥⎢⎥++⎣⎦ 令2
()1h x x x =+，由对号函数的单调性，()h x 在(1,)+∞单调递减，
当1x >时，1
2x x
+>，从而()(0,1)h x ∈，所以当(1)1k --≥，
即0k ≤时，()0g x '≥恒成立，从而()g x 为增函数，所以()(1)0g x g >=恒成立；
当0k >时，(1)1k --<，所以存在01x >，使得当0(1,)x x ∈时，()0g x '<，从而()g x 为减函数，所以()(1)0g x g <=，不合题意. 同理可讨论当01x <<时，
仍然是0k ≤时，()0g x '≥恒成立，从而()g x 为增函数，所以()(1)0g x g <=恒成立； 当0k >时，(1)1k --<，所以存在0(0,1)x ∈，使得当0(,1)x x ∈时，()0g x '<，从而()g x 为减函数，所以()(1)0g x g >=，不合题意. 综上，0k ≤
五、重构函数法
题目：(1)0x
e a x b -+-≥恒成立,求(1)a b +的最大值. 分析：构造以参数为自变量的函数是经常考的常规题型. 解:令()(1)x
f x e a x b =-+-,则()(1)x
f x e a '=-+
（1）当10a +≤时,()0f x '≥,()f x 在R 上单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞，不合题意. （2）当10a +>时，则当ln(1)x a <+时，()0f x '<，()f x 是减函数，
当ln(1)x a >+时，()0f x '>，()f x 是增函数，
所以当ln(1)x a =+时，min ()(ln(1))1(1)ln(1)0f x f a a a a b =+=+-++-≥，
所以1(1)ln(1)b a a a ≤+-++，所以2
2
(1)(1)(1)ln(1)a b a a a +≤+-++，其中10a +>， 令2
2
()ln (0)g x x x x x ≤->，则()2(2ln )(12ln )g x x x x x x x '=-+=-，
当0x <<()0g x '>，()g x 是增函数，
当x >
()0g x '<，()g x 是减函数，
所以当x =
max 1()22
e
g x g e e ==-⨯
=， 所以(1)a b +的最大值是
2
e . 六、解不等式法
题目：设函数
2()mx f x e x mx =+-．
（1）证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；
（2）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12|()()|1f x f x e -≤-，求m 的取值范围． 分析：求参数范围时，把参数看成未知数，解不等式． 解：（1）
()2mx f x me x m '=+-，2()2mx f x m e ''=+，
因为2()20mx f x m e ''=+>，所以()2mx
f x me x m '=+-在R 上是增函数，
注意到(0)0f '=，所以当0x <时，()(0)0f x f ''<=，当0x >时，()(0)0f x f ''>=，所以()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增.
（2）由（1）可知，()f x 在[1,1]-上的最小值为(0)1f =，()f x 的最大值是
(1)1m f e m =+-
和(1)1m
f e m --=++，所以12|()()|f x f x -的最大值为m e m - 或 m e m -+ ，
所以只要 1m e e m ≤-- 或 1m e e m -≤-+ ， 令 ()m g m e m =- ，则 ()1m g m e '=- ， 当0m <时，()0g m '<，()g m 是减函数， 当0m >时，()0g m '>，()g m 是增函数，
而(1)1g e =-，1
(1)1g e
-=+，且(1)(1)g g >-，所以存在01m <-，使得0()(1)g m g =，
所以由1m e e m ≤--即()(1)g m g <可得
01m m <<，其中01m <- ①
而1m e e m -≤-+即()(1)g m g -≤，所以01m m <-<-，
即01m m -<<-，其中01m <-，② 由①、②得11m -<<.
七、设而不求法
已知函数()2x x f x e e x -=--，（1）设()(2)4()g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >，求b 的
最大值，（2）已知1.4142 1.4143<
<，估计ln2的近似值（精确到0.001）
分析：设而不求那些不容易求出的极值点.
解：（1）22()44(2)x x x x g x e e x b e e x --=-----，
()222(2)4(2)x x x x g x e e b e e --'=+--+-，
令x x e e t -+=，则2222x x e e t -+=-，
所以2()2(4)4(2)(2)(22)(2)[(22)]g x t b t t t b t t b '=---=-+-=---，
注意到2(0)x x t e e x -=+>=>，
所以当222b -≤即2b ≤时，()0g x '≥，()g x 为增函数，所以()(0)0g x g >=，
当2b >时，存在00x >，当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数，所以()(0)0g x g <=，不合题意，所以b 的最大值2.
（2）考虑(ln 4(2ln g e e b e e --=----
31
22ln 24ln 2)(42)ln 222
b b =---=-+-，
由（1）知道，当2b =时，3(ln 2(422)ln 202g =-+⨯->，
所以4 1.4142 1.5ln 20.69286
⨯->
>=，
那么，下一步如何再取b 的值呢？这是不可以随意取的，我们不得不考虑第二问中的
0x x =这个分界点满足的条件，可以考虑x =(22)0x x e e b -+--≤，考虑到满足等
号成立的b 的值，(22)0e e b ----=，解得14
b =
+，则由（1）知，
当1b =
时，31)[41)2]ln 202g =-++⨯-<，
所以18 1.4143ln 20.693428
+<==，
所以0.6928ln 20.6934<<，所以ln 20.693=.。