九年级数学下册274《正多边形和圆》学案1(无答案)(新版)华东师大版.docx

27.4正多边形和圆
学习目标：1•了解正多边形和圆的关系。

2.了解正多边形的中心、半径、边心距、屮心角等概念。

3.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题。

3.会利用正多边形的特征，画出简单常见的正多边形。

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学习重点：1.探索正多边形与圆的关系
2..运用正多边形的半径、中心角、弦心距、边长之间的关系进行计算.
3.正多边形的画法
学习难点:探索正多边形与圆的关系。

学习过程：
一.知识频道(交流与发现)
1.忆一忆(知识回顾)
请同学们思考下面两个问题.
(1)什么叫正多边形？
(2)从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形是轴对称图形、中心对称图形吗？其对称轴有几条, 对称中心是哪一点？
归纳点评
(1)正多边形的概念屮，强调了两个条件：①是________ 相等，②是__________ 相等。

(2)实例略.正多边形是_________ 图形，对称轴有 ________ ；当___________ 时，正多边形也是_____ 对
称图形，对称中心是 ___________________________
2.做一做
(1)以正多边形任意两边垂直平分线的交点作为圆心，圆心到顶点的连线为半径，能够作一个圆，观察这个
正多边形的各个顶点是否都在该圆上？试举一例做做看。

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(2)将一个圆分成五等份，依次连接各分点得到一个五边形，这个五边形是正五边形吗？如果是请你证明这个结论。

(3)如果将一个圆分成n等份，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗?
3.总一总：正多边形的有关概念
(1)中心：一个正多边形的__________________ 叫做正多边形的中心.
(2)半径：正多边形____________________ 叫做正多边形的半径.
(3)中心角：正多边形_•_______________________ 叫做正多边形的中心角.
(4)边心距：__________ 到. ____________ 的距离叫做正多边形的边心距.
正多边形和圆的关系
(5) 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的 _______________ ,这个圆就是这个正多边形的 (6) 正多边形都有 ________ 个外接圆，反之，圆有 _____________ 个内接正多边形.
正多边形的计算：
(7) 正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成 _________ 个全等的直角三角形
由正多边形和圆的关系可知，正n 边形的中心角为 ___________ 度；它的每个内角是 _________ 度；每个外 角是 __________ 度。

正多边形的画法：
画正门边形只需先画一个圆，然后把圆 _______ ,依次连接各分点，即可得正n 边形。

二方法频道
1. 正多边形和圆的关系：
例1.已知五边形ABCDE 内接于00, ZA0B= ZB0C=C0D= ZD0E=72° .求证：五边形ABCDE 是正五边形。

2. ____________ 各边 ______________________________________ ,而证明角相等和边相等又往往借助于 证明：V ZA0B=ZB0C=C0D=ZD0E=72° ,
六块止三角形而积组成的.
解：如图所示，由于ABCDEF 是正六边形，所以它的中心角等于
分析：耍证明某多边形是正五边形，必须从两方面 进行证明：1.各角 :.ZE0A=360° - _________________________
・•・ ZA0B 二ZB0C 二COD 二ZD0E 二ZE0A,
.\AB=BC=CD=DE=EA
弧 BCE 二弧 CDA=3 ____ ・・・ ZBAE=ZABC,
同理 ZABC=ZBCD=ZCDE= ZDEA, 五边形ABCDE 是正五边形
变式训练:如图,五边形ABCDE 是00的内接正五边形。

求证：AE//BD
2.正多边形和圆的有关计算.
例2.已知正六边形ABCDEF,如上图所示，其外接圆的半径是a,求正六 的周长和面积.
分析：要求正六边形的周长，只要求 的长，已知条件是 _____________ , 自然而然， _________ 应与 ______ 挂上钩，很自然应连接0A,过0点作
AB 垂于M,在Rt AAOM 中便可求得 _______ ,又应用垂径定理可求得 ______
边形
因此
0M±
的长.正六边形的面积是由 △OAB 是
三角形，从
而正六边形的边长_________ 它的半径.
因此所求的正六边形的周长为____________ - 在RtAOAM中，0A二a,
AM= — AB= — a 利用勾股定理，可得边心距0\1二，
2 2
・・・所求正六边形的面积二______________
总结：解决与正多边形有关的问题，通常转化为由_______ 、_________ 及______
_________ 组成的直角三角形的计算问题.
变式训练：1.己知圆的半径为6,则它的内接正三角形的边长是__________ 内接正方形的边长是__________ 2填一填。

例3.利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形.
分析：要画正五边形，首先要画 _________ ,然后_________ ,因此，应该先求边长为3的正五边形的 _________ .
解：正五边形的屮心角ZA0B= _______________ ,
如图，ZA0M-360,在RtAAOM 中，A0二 _______________________
画法：(1)以0为圆心，0A= _________ cm为半径画圆；
(2).在00上顺次截取边长为 _______ 的AB、BC、CD、DE、EA.
(3)顺次连结AB、BC、CD、DE、EA即得正五边形.
变式训练：1..已知的半径为2cm,求作圆的内接正三角形.
提示：方法.一用量角器度量，使ZAOB二ZBOC二ZCOA二120°・
方法二用量角器或30°角的三角板度量，使ZBA0=ZCA0=30o .试试看。

2.•己知圆的半径为3 cm,你能用上面的方法画出圆内接正四边形、正五边形、正六边形吗？试试看。

总结：要画正n边形，可以先画_____________ ,然后通过___________
_________________ 把圆n等分，顺次连接各分点即可得到.
三.习题频道
初试能力.
（一）、判断题
①各边都相等的多边形是正多边形. （）
②一个圆有且只有一个内接正多边形（）
（二）、选择题
1.如图1所示，正六边形ABCDEF内接于00,则ZADB的度数是（）.
A. 60°
B. 45°
C. 30°
D. 22. 5°
A B
（1）（2）（3）
2.圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P,则ZAPB的度数是（）.
A. 36°
B. 60°
C. 72°
D. 108°
3.._______________________________________ 某校计划在校园内修建一座周长为120米的花坛，同学们设计出正三角形、正方形、正六边形和圆共四种图案，其中使面积最大的图案为.
A正三角形B正方形C正六边形D圆
（三）、填空题
1.若正六边形的边氏为4 cm,则它的中心角是 ____________ ,半径是 _______
边心距是__________ O
2.屮心角是40°的多边形是__________ 边形。

3.正八边形共有________ 条对称轴。

4. _____________________________________________________ 正n边形的一个外角的度数与它的中心角的度数___________________________________________________ o
（四）、证明题。

,
求证：顺次连结正六边形各边中点所得的多边形是正六边形.
■二.能力提高
1.已知一个正n边形的中心角是它的一个内角的三分之一，则n
2. ___________________________________________________________________________ 已知圆内接正四边形的边长为2 V2 ,则这个圆的内接正三角形的边心距为 ________________________________
3..等边AABC 的边长为a,求其内切圆的内接正方形DEFG 的而积.
4如图所示，已知的周长等于6^-cm,求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF 的面积.
中考链接：
1. （2007.宜宾中考）已知：如图，四边形ABCD 是00的内接正方形，点P 是劣弧CD 上不同于点C 的
任意一点，则ZBPC 的度数是 _______ o
A 45°
B 60 °
C 75 °
D90°
2. （2008.宜昌中考）如图，以正六边形的顶点为圆心，4 cm 为半径的六个圆中，相邻两圆外切，则该正六
边形边长是 ________ cm.
3. （2010德州）粉笔是校园屮最常见的必备品.图1是一盒刚打开的六角形粉笔，总支数为50支.图2是
它的横截面（矩形ABCD ）,已知每支粉笔的直径为12mm,由此估算矩形外财 的周长约为一
mm. （V3 ~ 1.73 ,结果精确到 1 nim ）
第16题图1
弟16题图
2
p。