电压稳定分析的改进连续潮流法

电力系统自动化
AUTOMATION OF ELECTRIC POWER
SYSTEM
1999年 第14期 第23卷　No.14　vol.23 1999
电压稳定分析的改进连续潮流法
郭瑞鹏　韩祯祥
摘　要　由于潮流雅可比矩阵在临界点处奇异，临界点附近病态，连续潮流计算在临界点附近的收敛性无法得到有效保证。

为克服该缺点，对局部参数连续法作了一定的改进，改进后的算法能够有效保证连续潮流计算在临界点及其附近的收敛性。

与CPFLOW程序的比较结果证明了该方法的正确性和有效性。

关键词　连续潮流　电压崩溃临界点　雅可比矩阵　奇异
分类号　TM 712
AN IMPROVED CONTINUATION POWER FLOW METHOD FOR VOLTAGE
STABILITY ANALYSIS
Guo Ruipeng, Han Zhenxiang
(Zhejiang University, 310027, Hangzhou, China)
Abstract　The convergence of conventional continuation power flow calculation can't be guaranteed near collapse point because of the singularity of Jacobian matrix at collapse point. To overcome it, locally parameterized continuation power flow method is used for improvement. The improved method can effectively guarantee the convergence of continuation power flow calculation even near collapse point. Comparison with the CPFLOW program on IEEE-118 bus test system confirms its correctness and effectiveness. Keywords　continuation power flow；point of collapse；Jacobian matrix；singularity
0　引言
电力系统电压稳定研究的一个重要方面就是寻找恰当的安全指标和尽量快速而又有足够精度的计算方法。

已经提出的安全指标主要有各类灵敏度指标、潮流雅可比矩阵的最小奇异值指标、负荷状态空间中潮流多解间的距离指标和裕度指标等。

裕度指标能较好地反映电压稳定水平，受到电力界的广泛重视［1］。

为了计算出临界点，人们在开始的时候用常规潮流程序计算，逐渐地增加负荷，对每一步重复进行潮流计算。

由于雅可比矩阵临界点处奇异，临界点附近病态，潮流计算将无法收敛，于是就把所能计算到的最大功率点当作临界点。

由于不能计算到临界点，计算结果是相当不可靠的，不同潮流程序的计算结果是不同的，事实上很难用于实际情况。

为了可靠、快速地计算出临界点，人们研究了不少方法，其中之一便是连续潮流法。

连续潮流法在PV曲线的每一点均反复迭代，计算出准确的潮流，所以能得到准确的PV曲线等信息，并能考虑一定的非线性控制及约束条件，具有较强的鲁棒性［2］。

连续潮流基本方程可简要描述如下：
f(x)+λb=0 (1)
其中　λ为实数参数变量，表示系统的负荷水平；x为n维状态向量；f为n维函数向量；b为n维常数向量，表示负荷增长方向。

现有的连续潮流法均在式(1)的连续潮流基本方程基础上增加一个方程，同时将λ当作变量，从而使雅可比矩阵的右下方加上一行一列，扩展后的雅可比矩阵即使在临界点处仍然是良态的，但其左上角部分却是奇异的。

为保持稀疏性，雅可比矩阵三角分解时不选主元，因此不能计算到临界点。

在临界点附近，扩展雅可比矩阵的左上角部分病态，修正方程的计算精度无法得到有效保证，连续潮流计算的收敛性也就难以得到保证。

为克服该缺点，本文对局部参数连续法作了一定的改进，改进后的算法能够可靠地计算到临界点及PV曲线的下半分支，并保持较好的收敛性。

1　连续潮流法的基本原理及改进
1.1　克服潮流雅可比矩阵在临界点附近的病态
连续潮流法的关键在于选择合理的连续化参数以保证临界点及其附近的收敛性。

目前，参数连续化方法主要有弧长连续法［2～4］ 、同伦连续法［5］和局部参数连续法［6］。

式(1)的连续潮流基本方程有n+1个变量，但只有n个方程，不能解出定值解，它实际上是n+1维空间上的一条曲线。

为求得定值解（即该曲线上的一个确定点），必须增加一个方程。

不同的连续化方法其差别主要表现在所增加的方程上。

为说明方便，将所增加的方程统一用g(x,λ)=0表示。

用牛顿拉夫逊法解扩展潮流方程，其修正方程如下：
其中　，为常规潮流的雅可比矩阵；上标T表示转置。

若临界点为正常拐点，则扩展潮流方程的雅可比矩阵J′在临界点处非奇异［1,2,4～6］，但由于其左上角部分奇异，连续潮流法将无法计算到临界点。

本文对局部参数连续法作了一定的改进。

图1直观地给出了局部参数连续法的基本概念。

它首先根据初始点x0及预测点x p增加一个方程x k=xpk，其中k为向量x p-x0绝对值最大元素对应的下标［6］，对于电力系统的连续潮流计算，则可将k限定于电压所对应的元素。

本文未将x k=xpk当作方程来考虑，而是将x k当作常量，并将方程f k(x)+λb k=0移至最后一行。

相应地，用牛顿拉夫逊法迭代求解所对应的修正方程如下：
其中　；f x′为f x划去第k行第k列后的矩阵；f kx′为f k(x)对向量X′的梯度；b′为向量b划去第k个元素后的向量；x′为向量x划去第k个元素后的向量；f′(x)为向量函数f(x)划去第k个元素后的向量；f k(x)为向量函数f(x)的第k个元素。

图1　局部参数连续法说明图
Fig.1　Key diagram of locally parameterized
continuation method
可以看出，J″事实上是J′划去第n+1行第k列后将第k行移到最后一行而得到的。

对于局部参数连续法，式(2)中g T x=(0,…,0,1,0,…,0)(第k个元素为1)，gλ=0。

现假
设J″在临界点处奇异，则w=［w1,w2,…,w n］T≠0，使得J″w=0。

构造向量w′=［w1,w2,…,w k-1,0,w k,…,w n］T，则有J′w′=0。

由w≠0可得w′≠0，故有J′奇异。

这与正常拐点处J′非奇异矛盾，此即证明了若临界点为正常拐点，J″在临界点处非奇异。

对于电力系统连续潮流计算，在电压崩溃临界点及其附近，按照上述下标k的选择原则，x k对应于电压下降最快节点的电压，这表明f x′是将系统最薄弱节点当作PV节点处理时的潮流雅可比矩阵。

从物理的角度看，将某一节点当作PV节点处理实际上意味着该节点电压维持恒定。

可以想象，即使在电压崩溃临界点，如果将系统的最薄弱节点的电压维持恒定，则系统不可能在该点处发生电压崩溃，这就意味着f x′非奇异。

因此即使在临界点处，f x′及J″均非奇异，连续潮流法能计算到电压崩溃临界
点。

1.2　预测机制及步长选择
连续潮流法用牛顿法计算扩展潮流方程。

在每一次潮流计算后，若对下一次的潮流解进行预测，并以此作为下一次潮流计算的初值，显然可以大大减少潮流计算的迭代次数，加快计算速度。

目前常用的预测机制主要有两种：切线法和线性预测法。

切线法的实质是利用当前解的微分来预测下一次潮流解。

式(1)对λ进行求导得：
直接求解该方程，可得dx/dλ。

切线法取预测方向。

线性预测法是根据当前点及上一点的信息来线性地预测下一点。

设当前潮流解及上一潮流解分别为(x1,λ1)及(x0,λ0)，则线性预测法取预测方向
为：。

线性预测法的预测速度是非常快的，不用形成并求解式(3)的矩阵方程。

更重要的是，它也因此避开了式(3)雅可比矩阵临界点处奇异、临界点附近病态所可能导致的计算失败。

对于连续潮流计算，由常规潮流计算求出初始点时，由于只有当前点信息，只能用切线法预测。

从第2点开始则一般采用线性预测法预测。

给出了预测方向之后，还需给出步长h，才能确定预测点。

步长选择对连续潮流法的性能有着重要的影响。

步长取得太小，每一次潮流计算都能快速收敛，但是要计算很多次才能计算到临界点附近，若要计算PV曲线的下半分支，则所需的次数更多。

步长取得太大，预测点与所求点的距离可能较远，每一次潮流计算所需的迭代次数较多，结果反而可能花费更多的计算时间，甚至可能导致潮流计算不收敛。

一般而言，步长选择的基本原则是在曲线比较平坦的部分取较大值；在曲线比较弯曲的部分取较小值。

本文取步长h=hmax/max y i，其中hmax为一给定的常数；i=1,2,…,n。

显然，该方法满足上述基本原则。

2　数字仿真与算例分析
为了验证本文所提连续潮流改进算法的性能，通过数字仿真的手段将该方法与现有的连续潮流程序CPFLOW［3］进行比较。

仿真中取容许误差为10-6，h max=0.03。

为说明方便，以下将本文所提改进算法称为改进连续潮流法。

对于IEEE—118测试系统，图2给出了连续潮流程序CPFLOW和改进连续潮流法的数字仿真结果。

仿真中，节点118的负荷按原功率因数增长。

图2　由CPFLOW程序和改进连续潮流法计算得到的
IEEE-118系统118节点负荷按原功率因数
增长时的PV曲线
Fig.2　Nose curves of IEEE-118 bus test system
calculated by CPFLOW program and improved
continuation power flow method when load
on bus 118 increases with original power factor
由图2可以看出，对于PV曲线的上半分支，两种方法给出的PV曲线非常接近，这充分说明了本文所提算法的正确性。

采用CPFLOW程序，当运行点靠近电压崩溃临界点时，连续潮流计算难以收敛，表现在不断地减小步长，并重新进行潮流计算。

CPFLOW程序难以计算到电压崩溃临界点，当然也就无法计算PV曲线的下半分支。

采用改进连续潮流法，则能够可靠地计算到电压崩溃临界点，表现在给出了PV曲线的下半分支。

事实上，对于改进连续潮流法，理论上已经保证了临界点处扩展潮流雅可比矩阵及其左上角的部分矩阵均非奇异，也就从理论上保证了临界点及其附近的收敛性。

图3给出了前述数字仿真中改进连续潮流法各步的迭代次数和λ值。

可以看出，经过13步连续潮流计算即得到电压崩溃临界点，并且除第1步需3次迭代外，其它均只需2次迭代即可满足精度要求。

这说明改进连续潮流法的收敛性是非常优秀的。

图3　IEEE-118系统118节点负荷按原功率因数增长时
连续潮流计算各步的迭代次数及λ值
Fig.3　Iterations and λ value at each point
on nose curve of IEEE-118 bus test system
when load on bus 118 increases
with original power factor
以上算例为单节点负荷增长情况。

为了说明多节点负荷同时增长时的情况，对IEEE—118系统各负荷按原比例及原功率因数增长时的PV曲线进行数字仿真。

图4给出了仿真结果，图5则给出了对应的连续潮流计算各步的迭代次数及λ值。

图4　IEEE-118系统负荷按原比例
及原功率因数增长时的PV曲线
Fig.4　Nose curves of IEEE-118 bus test system
when system loads increase
with original proportion and power factor
图5　IEEE-118系统负荷按原比例及原功率因数
增长时连续潮流计算各步的迭代次数及λ值
Fig.5　Iterations and λ value at each point
on nose curve of IEEE-118 bus test system
when loads increase with original proportion
and power factor
由图4可以看出，对于系统各负荷同时增长的情况，改进连续潮流法同样可以计算到临界点及PV曲线的下半分支。

由图5可以看出，对于该算例，经8步连续潮流计算即得到临界点，且各步的最大迭代次数为4，多数情况下只需2次迭代即可满足精度要求。

这又一次说明了改进连续潮流法的收敛性是相当好的。

3　结论
本文提出的改进连续潮流法有效地克服了常规潮流雅可比矩阵在临界点处奇异、在临界点附近病态给连续潮流计算所带来的一系列困难。

即使在电压崩溃临界点及附近同样能够保持较好的收敛性，有效地改善了连续潮流法的性能。

改进后的连续潮流法能够可靠地计算到电压崩溃临界点及PV曲线的下半分支，并保持较好的收敛性，是对现有连续潮流法的一次发展和完善。

作者简介：郭瑞鹏，男，1972年生，博士研究生，研究方向为电力系统电压稳定分析及控制。

韩祯祥，男，1930年生，教授，博士生导师，研究方向为电力系统电压稳定分析、人工智能及其在电力系统中的应用等。

作者单位：浙江大学电机系　310027　杭州
参考文献
1　段献忠.电压稳定问题的机理和建模及实用算法研究：〔博士学位论文〕.武汉：华中理工大学，1992
2　曾　江.电力系统电压稳定的稳态方法研究：〔硕士学位论文〕.杭州：浙江大学，1996
3　Chiang H D, Flueck A J, Shah K S, et al. CPFLOW: A Practical Tool for Tracing Power System Steady State Stationary Behavior Due to Load and Generation Variations. IEEE Trans on PWRS, 1995, 10(2): 623～634
4　Jumeau R J, Chiang H D. Parameterizations of the Load Flow Equations for Eliminating Ill-Conditioning Load Flow Solutions. IEEE Trans on PWRS, 1993, 8(3):1004～1012
5　Iba K, Sazaki H, Egawa M, et al. Calculation of Critical Loading Condition with Nose Curve Using Homotopy Continuation Method. IEEE Trans on PWRS, 1991, 6(2):584～593 6　Ajjarapu V, Christy C. The Continuation Power Flow: A Tool for Steady State Voltage Stability Analysis. IEEE Trans on PWRS, 1992, 7(1):416～423
1998-11-13收稿。

电压稳定分析的改进连续潮流法
作者：郭瑞鹏， 韩祯祥， Guo Ruipeng， Han Zhenxiang
作者单位：浙江大学电机系,310027,杭州
刊名：
电力系统自动化
英文刊名：AUTOMATION OF ELECTRIC POWER SYSTEMS
年，卷(期)：1999，23(14)
引用次数：36次
1.段献忠电压稳定问题的机理和建模及实用算法研究 1992
2.曾江电力系统电压稳定的稳态方法研究 1996
3.Chiang H D.Flueck A J.Shah K S CPFLOW: A Practical Tool for Tracing Power System Steady State Stationary Behavior Due to Load and Generation Variations 1995(2)
4.Jumeau R J.Chiang H D Parameterizations of the Load Flow Equations for Eliminating Ill-Conditioning Load Flow Solutions 1993(3)
5.Iba K.Sazaki H.Egawa M Calculation of Critical Loading Condition with Nose Curve Using Homotopy Continuation Method
1991(2)
6.Ajjarapu V.Christy C The Continuation Power Flow: A Tool for Steady State Voltage Stability Analysis 1992(1)
1.期刊论文郭瑞鹏.韩祯祥.GUO Rui-peng.HAN Zhen-xiang电压崩溃临界点计算的改进零特征根法-中国电机工程学报2000,20(5)
为克服潮流雅可比矩阵在临界点处的奇异,零特征根法一般需对负荷水平λ作适当变换方可保证算法的收敛性,但这同时又使雅可比矩阵原有的稀疏性遭到不同程度的破坏.为此提出一种新的参数变换方法,并利用算法的设计技巧,较好地保持了雅可比矩阵原有的稀疏性.与连续潮流法及非线性规划法的比较结果证明了该方法的正确性和有效性.
2.学位论文时宇基于优化潮流方法的电压崩溃临界点的研究2003
该文介绍了静态电压稳定研究的基本状况,简要分析了连续潮流法、潮流多解法、非线性规划法等已有的算法.该文着重讨论了简单系统的电压稳定性,得出了一些关于电压稳定的基本概念.在分析简单系统的基础之上,该文提出了一种基于优化潮流方法的求取电压崩溃临界点的方法,该方法是利用当系统电压下降时,系统的潮流优化是否可行来求取电压稳定极限的.文中对优化潮流原一对偶路径跟踪法的模型进行了分析,并应用于求取电压崩溃临界点.该文还将连续潮流法与该文提出的方法加以对照,得出了与简单系统一致的基本结论.试验算例进一步表明,该文所提出方法具有准确实用的特点,在理论研究中是有效和可行的.
3.期刊论文吴蓓.张焰.陈闽江.WU Bei.ZHANG Yan.CHEN Min-jiang基于菌群趋药性遗传算法的电压崩溃临界点计算-上海交通大学学报
2008,42(2)
针对电压崩溃临界点计算问题,提出了一种基于细菌趋药性(BC)算法和遗传算法(GA)的菌群趋药性遗传(GBCC)算法.该算法以群体搜索代替BC算法的单点搜索,以有指导意义的变异方向代替GA算法的随机变异操作,强调了群体中个体之间的信息交换,加快了算法收敛速度并提高了全局搜索能力.将该算法用于电压崩溃临界点的计算,在方便处理各种约束条件的同时,避免了传统求解方法带来的矩阵求逆等复杂运算.与连续潮流法计算结果的比较表明,该算法切实可行并具有较高的精度.
4.学位论文随慧斌电力市场环境下的在线静态电压稳定评估2008
目前，我国电力系统逐渐步入大电网、超高压、大机组、远距离输电的时代，大区域电网互联的不断发展和电力市场化机制的引进在给人们带来巨大利益的同时，也带来了潜在的威胁，使电网的运行增加了更多的风险，电网运行在稳定极限边缘的可能性也大为增加。

近十年来世界各国发生的一些严重的电压崩溃事故造成了巨大的经济损失和社会紊乱，使得电压稳定问题成为电力系统学术界和工程界持续关注的热点之一。

电压稳定事故发生的共同特点是其突发性和隐蔽性，运行人员在事故形成期间难以察觉，不能及时采取有效的控制措施，一旦发生电压崩溃就很难挽回。

新的运行环境下电力系统的安全稳定运行需要快速有效的在线电压稳定评估方法，现有的电压稳定性评估方法或者需要大量费时的计算过程，或者不能反映电力系统实时运行情况，尚不能满足在线分析的需要。

因此，根据我国电力系统的实际情况，研究电压稳定性的分析方法，结合先进的测量、通信和计算技术，实现对电力系统电压稳定水平的快速、准确评估，对于防止电压失稳和提高输送电系统的安全可靠性都具有十分重要的意义。

本文在考虑区域负荷发展趋势的前提下，深入研究了电力市场环境中静态电压稳定性的在线评估方法，提出利用区域短期负荷预测和经济调度数据计算负荷裕度和电压稳定指标，进行在线电压稳定评估；并且利用广域测量信息，构建了基于功率传输路径的在线电压稳定性评估的基本框架，发展了复杂电力系统的电压稳定性评估方法。

论文的主要研究内容和创新性成果如下： 提出了一种新的在线电压稳定评估方法。

电压稳定也曾经被称为负荷稳定，电力系统负荷特性是影响电压稳定性的关键因素之一，它在很大程度上决定了电压失稳和电压崩溃的进程。

负荷特性以及变化模式对电压稳定分析有很大的影响。

该算法采用连续潮流算法，在确定负荷和发电增长方向时，考虑到了不均衡的区域负荷增长因素，不再采用统一的负荷增长模式。

由于各地区的负荷特性、经济发展状况和天气情况不同，其负荷变化模式是不同的，而且在电力市场环境下，系统发电资源分配不再以一般意义下的发电成本为单一目标，而是需要考虑更多因素，例如环境、系统安全和电价等。

为了反映区域负荷的不均衡增长模式，提出利用日前区域负荷预测(Day-ahead regional load forecasting)计算未来24小时的负荷需求，计算24小时中的负荷增长方向，而后利用经济调度确定发电增长方向，使用连续潮流计算P-V曲线和电压稳定裕度，评估系统电压稳定性。

该算法考虑不均衡的区域负荷增长，引入经济调度确定发电机间的负荷分配，更加真实地反映电力市场环境中系统的运行情况，计算出的P-V曲线和电压稳定裕度能够比较有效地评估系统的电压稳定程度。

提出了考虑不均衡区域负荷增长的电压稳定指标算法。

时前区域负荷预测(Hour-ahead regional load forecasting)根据历史负荷数据综合考虑各种影响因素(如天气，社会事件等)计算出各区域的负荷情况，包含了负荷构成的变化和负荷大小的波动信息，体现了一段事件内负荷的自然变化。

该算法提出在计算电压稳定指标的过程中考虑不均衡的区域负荷增长，使用短期区域负荷预测的数据确定系统在某一时刻的负荷需求，利用经济调度得到符合电力市场运作规律的系统发电计划，以此作为潮流计算的初始值，所计算的电压稳定指标可以评估当前运行点到电压崩溃临界点之间的距离。

负荷预测和经济调度已经是电力系统运行必备的功能，且具有相当高的精度，故此算法能够比较真实地反映电力系统运行情况，有效地评估电压稳定。

提出一种基于相量测量单元(Phasor Measurement Unit，PMU)的电压稳定评估指标(Voltage Stability Index，VSI)。

由于同步相量技术在数据实时性、同步性以及广域分布性等方面的优势，加上通信技术的飞速发展，以及现代大型互联电网安全稳定监控的实际需求，基于同步相量技术的广域测量系统(Wide Area Measurement System，WAMS)应运而生。

WAMS可以在同一参考时间框架下捕捉到系统各地点的实时信息，从而为大规模电力系统的在线电压稳定性监测提供了新的数据平台；整个电力系统可以看作由若干条功率传输路径组成，由于电压失稳本质上是一种局部现象，因此系统的电压稳定程度可以由最易于电压失稳的功率传输路径的电压稳定性来表征。

该方法从简单系统的电压稳定性出发，在PMU提供电压相量信息和功率传输路径定义的基础上，导出系统的电压稳定性指标；对复杂系统中的传输路径的电压稳定性指标进行了修正。

所提出的指标利用相量测量单元提供同一时间断面的系统电压相量测量信息，功率传输路径首端和末端电压之间的电压降落可以很容易地迅速计算出来，此电压降落在首端电压相量上的投影与首端电压幅值一半的比值被定义为此功率传输路径的电压稳定指标(Transmission Path Voltage Stability Index，TPPSI)。

最弱传输路径的TPVSI值则表明电力系统的电压稳定程度。

相对于那些传统的电压稳定性指标来讲，该算法使用PMU提供的精确的同一时间断面电压相量信息，避免了潮流计算中复杂的矩阵运算，具有较高的计算速度和准确性，可以用于在线电压稳定评估。

5.期刊论文赵晋泉.江晓东.张伯明一种静态电压稳定临界点的识别和计算方法-电力系统自动化2004,28(23)
提出了一种用连续潮流技术识别和计算电压崩溃临界点的方法.电力系统静态电压稳定分析中,常见有鞍结型分岔点和约束诱导型分岔点.基于连续潮流的间接方法没有确定初值的困难,适合于负荷参数耦合的情形,易于识别约束型分岔点,从而适合于大型实际系统静态稳定临界点的计算.通过对中国一个实际地区系统的数值分析,表明文中所提方法是有效的.
6.期刊论文戴伟华.熊宁.李倡洪.DAI Wei-hua.XIONG Ning.LI Chang-hong静态电压崩溃点的实用解法-继电器2007,35(5)
提出一种基于连续潮流求取电压稳定临界点的新方法,使其能够在考虑约束的情形下适用于任意形式的负荷增长方式,大大提高了求解精度.在求解临界点的过程中,以弱节点电压作为连续变量,先直接大步长降到一临界点附近,再用小步长追踪临界点,这样大大减少了求解中间运行点的数量,使其更快地找到电压崩溃临界点.最后在IEEE14节点系统的计算证实了该方法的快速、有效性.
7.学位论文马瑞考虑负荷特性的电压崩溃及其市场化预防方法研究2006
本文在考虑负荷特性对电压崩溃影响的基础上，围绕如何通过市场化方法协调经济效益和电压崩溃裕度等多目标问题及如何定量评估市场参与各方对多目标贡献等问题进行研究，论文主要内容如下： 首次提出了一种基于最优潮流(OPF)并考虑负荷特性及其增长不确定性的电压崩溃临界点算法。

以各节点负荷预测的最小和最大期望值为边界将负荷增长模糊化，描述了负荷增长具有的随机性和模糊性的不确定属性，从两种不同系统安全要求实现电压崩溃临界点算法。

一种是临界点静态安全约束下的电压崩溃临界点算法并讨论了负荷特性、发电机无功备用和SVC补偿的影响；另一种是兼顾当前运行点和临界点静态安全约束下的电压崩溃临界点算法，并定义了节点注入功率对临界点影响的指标。

上述算法可确定考虑电压崩溃预防的各负荷节点对应的负荷区间。

分析了市场参与各方的物理特征及经济特征对电压崩溃裕度的影响。

基于连续潮流(CPF)仿真分析了负荷群体效应对电压崩溃裕度的影响，从动态仿真的角度分析了市场各方影响电压崩溃裕度的主要物理特征及经济特征，提出了一种基于WAMS的发电机无功备用和输电线路传输能力的在线电压崩溃指标。

在电压崩溃临界点算法确定负荷增长区间的基础上，首次提出了一种基于OPF并考虑负荷特性的交易计划及其电压崩溃裕度和市场参与者贡献的定量评估方法。

定义了一个负荷节点电压对目标函数的灵敏度指标，从而可定量评估特定交易下负荷节点需求水平、价格和特性等特征对经济效益影响。

同时，基于最优交易对应的降阶潮流雅可比矩阵的模态分析，提出了针对特定交易计划的电压崩溃裕度和市场各方贡献的定量评估方法。

在进一步考虑交易计划与定价的经济、安全及环保多重属性的基础上，首次提出了不同安全约束下，基于OPF并考虑负荷特性和电压崩溃预防的两种多目标交易计划和定价方法。

一种是在电压崩溃临界点算法确定的负荷竞标区间基础上兼顾经济、环保及有功网损等综合优化的多目标交易模型。

基于KKT条件定义了一种广义节点实时电价，从而能够定量评估发电商对多目标的贡献；通过多目标最优解对应的潮流雅可比矩阵的奇异值分析，提出了电压崩溃裕度及市场各方贡献的定量评估方法。

另一种是兼顾当前运行点和临界运行点系静态安全约束，以电压崩溃裕度和经济效益综合最大化的多目标交易模型。

定义了一种计及负荷特性和电压崩溃裕度的节点边际安全电价，用于定量评估特定交易下各节点对系统经济效益和电压崩溃裕度的贡献。

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3.苗峰显.白雪峰.郭志忠平衡节点无功约束的连续潮流法静态负荷裕度[期刊论文]-高电压技术 2009(4)
4.苗峰显.白雪峰.郭志忠考虑平衡节点无功约束的潮流算法[期刊论文]-电网技术 2009(9)
5.熊宁.程浩忠.李曼丽.薛迎成基于可信度区间的静态电压稳定性评价[期刊论文]-电力系统自动化 2009(9)
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10.熊宁.程浩忠.马则良.朱忠烈.王晓辉.陆建忠负荷不确定性电网的电压稳定性评价方法[期刊论文]-电力系统自动化 2008(08)
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27.商文颖基于静态电压稳定的事故筛选与预防控制研究[学位论文]硕士 2005
28.陈谦电压静态稳定分析软件开发以及在四川电网中的应用[学位论文]硕士 2005
29.赵晋泉.江晓东.张伯明一种用于静态稳定分析的故障参数化连续潮流模型[期刊论文]-电力系统自动化 2004(14)
30.王成山.魏炜一种改进的步长控制连续性潮流计算方法[期刊论文]-电工技术学报 2004(02)。