八年级数学下册 第一章《三角形的证明》1.1《等腰三角形》教案5 (新版)北师大版

《1 等腰三角形》
第1课时
教学目标
1．知识与能力：
理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．
2．过程与方法：
在探索等腰三角形的性质和判定的过程中体会知识间的关系，感受数学与生活的联系，培养学生添加辅助线解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观：
培养学生分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯．
教学重难点
教学重点：
理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．
教学难点：
等腰三角形性质和判定的探索和应用．
教学过程
一．创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容
活动1
如图（1），把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特征？你能画出具有这种特征的三角形吗？
D
C B
A
图（1）
学生活动设计：
学生动手操作，从剪出的图形观察△ABC 的特点，可以发现AB =AC ．
教师活动设计：
让学生总结出等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰，
另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，底边和腰的夹角叫作底角．如图（2）：
B
图（2）
△ABC中，若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，AB、AC是腰、BC是底边、∠A是顶角，∠B 和∠C是底角．
二．自主探究、合作交流，探究等腰三角形的性质
活动2
把活动1中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段，填入下表：
学生活动设计：
学生经过观察，独立完成上表，然后小组讨论交流，从表中总结等腰三角形的性质．
教师活动设计：
引导学生归纳：
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；
性质2：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
性质3：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角角平分线（或底边上的高，或底边上的中线）所在直线．
第2课时
教学目标
1．掌握等腰三角形的性质及判定，提高逻辑思维能力．
2．通过合作探究，学会证明三角形是等腰三角形．
3．培养学生分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯，积极投入，感受数学与生活的联系，体验数学的应用价值．
教学重难点
教学重点：等腰三角形性质和判定的探索和应用．
教学难点：等腰三角形和等边三角形的性质的应用．
教学过程
等腰三角形教学设计
一．知识回顾：
1．等腰三角形有什么性质？
2．等腰三角形的判定方法有哪些？
二．探究新知：
1．一个等腰三角形满足什么条件时候便是等边三角形？
（一）基础知识探究
探究一：等边三角形的性质
问题1：等边三角形的内角都相等吗？为什么？
由已知：AB=AC=BC，
∵AB=AC
∴∠B=∠C(为什么？)
同理∠A=∠C
∴∠A=∠B=∠C
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A=∠B=∠C=60°
结论：等边三角形的内角都相等，且等于60°.
问题2：等边三角形每边上的中线，高和所对角的平分线都三线合一吗？为什么？
结论：等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线都三线合一.
问题3：等边三角形是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？
结论：等边三角形是轴对称图形，有三条对称.
归纳总结：
1.等边三角形三边相等.
2.等边三角形的内角都相等，且等于60°.
3.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
4.等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线三线合一.
第3课时
教学目标
1.理解并掌握等腰及等边三角形的定义，探索等腰、等边三角形的性质和判定方法定．
2.能够用等腰、等边三角形的知识解决相应的数学问题．
教学重难点
教学重点：
等边三角形判定定理的发现与证明．
教学难点：
引导学生全面、周到地思考问题．
教学过程
问题：如图（1），已知△ABC 中，AB=AC ．
求证：∠B =∠C ；AD 平分∠A ，AD ⊥BC ．
D C B
图（1）
学生活动设计：
学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的办法，若证∠B =∠C ，根据全等三角形的知识可以知道，只需要证明这两个角所在的三角形全等即可，
于是可以作辅助线构造两个三角形，做BC 边上的中线AD ，证明△ABD 和△ACD 全等即可，根据条件利用“边边边”可以证明．
教师活动设计：
让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性
〔解答〕在△ABD 和△ACD 中⎪⎩
⎪⎨⎧===CD BD AD AD AC AB
所以△ABD ≌△ACD （SSS ），所以∠B=∠C ，∠BAD =∠CAD ，∠ADB =∠ADC ＝90°．
添加辅助线的方法多样，让学生在去讨论交流，也为下边的讲解做铺垫．
如图（2），位于海上A 、B 两处的两艘救生船接到O 处遇险船只的报警，当时测得∠A ＝∠B ．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
C O
B
A
图（2）
学生活动设计：
学生首先独立思考，然后可以分组讨论，观察问题中的条件，发现问题的本质是在条件∠A ＝∠B下，线段AO和BO是否相等，证明两条线段相等，可以考虑这两条线段所在的三角形全等，而图中没有别的三角形，因此需要构造全等的三角形．
教师活动设计：
教师启发学生发现问题本质，让学生探索“AO=BO”成立的原因，引导学生构造全等三角形：过O作OC⊥AB于点C，利用AAS可以证明△OAC和△OBC全等，进而得到AO=BO．
最后归纳出等腰三角形的判定方法．
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．〔解答〕过点O作OC⊥AB于点C，由∠A＝∠B、∠ACO=∠BCO、OC=OC易证△AOC≌△BOC，进而得到AO=BO．
三．应用提高、拓展创新
问题1
如图（3），在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各个内角的度数．
C
B
图（3）
学生活动设计：
学生小组合作、分组讨论，交流．
教师活动设计：
引导学生分析图形中的关于角的数量关系（三角形的内角、外角、等腰三角形的底角）．
发现：
（1）∠ABC=∠ACB＝∠CDB＝∠A＋∠ABD；
（2）∠A＝∠ABD；
（3）∠A＋2∠C＝180°．
若设∠A＝x，则有x＋4x＝180°，得到x＝36°，进一步得到两个底角的度数．
问题2
如图（4），∠CAE是△ABC的一个外角，∠1＝∠2，AD//BC，求证：AB=AC．
21
E
D
C
B A
图（4）
师生活动设计：
学生自主探索，必要时教师进行引导，利用等腰三角形的判定方法来证明，只要推出∠B =∠C 即可，由AD//BC 和AD 平分∠EAC 容易得到．
四．归纳小结
小结：每个小组说说自己的收获
1．等腰三角形的定义及相关概念．
2．等腰三角形的性质和判定．
第4课时
教学目标
知识与技能：
1．会阐述、推证等边三角形的性质和判定方法．
2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．
能力目标：
经历“猜想—验证—总结归纳—应用”的探究过程，采用自主探索与合作交流的方式，亲历“做数学”的过程，培养探究 数学问题、解决问题的能力．
情感目标：
1．体验数学充满着探索与创造，感受数学的严谨性，对数学产生强烈的好奇心和求知欲．．
2．在学习中获得成功的体验，感受到数学学习的乐趣，建立自信心．
3．体会数学源于生活而又反作用于生活，培养用数学的意识．
教学重难点
教学重点：等边三角形的性质判定的证明及应用．
教学难点：含30°角的直角三角形性质定理发现与证明．
教学过程
一．知识回顾
等边三角形
1．等边三角形定义：三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形．
等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形．
讨论：等边三角形的性质？
(学生分组讨论，教师提示从角、边、重要线段、对称性去考虑)
2．等边三角形的性质
（1）等边三角形的三条边相等；
（2）等边三角形的内角相等，且为60°；
（3）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)；
（4）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴．
二．新课学习
1．等边三角形的判定：
（1）三边相等的三角形是等边三角形
（2）三角相等的三角形是等边三角形
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
2．例题分析
例1：已知D 、E 分别是等边△ABC 中AB 、AC 上的点，且AE =BD ，求BE 与CD •的夹角是多少度？
例2：如图，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，AD ⊥AC 交BC •于点D ，•求证：•BC =3AD .
D C
A
B
3．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，•那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°．
求证：BC =12
AB ． C A
B D
C A B
分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC 至D ，使CD =BC ，连接AD ．
证明：在△ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，则∠B =60°．
延长BC至D，使CD=BC，连接AD（如上图）
∵∠ACB=60°，
∴∠ACD=90°
∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS）
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）
∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
∴BC=1
2
BD=
1
2
AB．
课后总结
1．等边三角形的性质和判定．
2．含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，•那么它所对的直角边等于斜边的一半．。