函数性态研究2011

因 为 f ( x) 0(0 x 1) 且 f ( x) 0( x 1), 所 以x 1是 极大 值 点， 而x 1是f ( x)在 (0, )上 唯一 的 可能 的 极值 点， 所 以x 1 是 最大 值 点， 所 以最 大值 为 f (1) 1
e
例 7 证明:当
p
1
时
， 2
1
令f ( x) 0，解得驻点x 0,3,5
f ( x) 10x(2 x 2 12x 15)
f (0) 0, f (3) 90 0, f (5) 250 0
因此 x 3 为极大点，极大值为 f (3) 108； x 5 为极小点，极小值为 f (5) 0。
而在x 0的某空心邻域内，f ( x) 0，因此 x 0不是极值点。
1. 首先，由闭区间上连续函数的性质知：
设f ( x)在a, b 上连续，则f ( x) 在 a, b
上 的 最 大 值 ， 最 小 值 一定 存 在 。
其次，如果f ( x)在 a, b内某点取得“最值”,
则x0必是 f 的极值点，从而 x0一定是 f 的 驻点或导数不存在的点。另外，f 的“最值” 也可能在区间的端点a, b取得.这样就可用如下
综上可知，方程 f ( x) 0， 即 x a sin x 1(0 a 1) 在( , )内有且仅有一个实根。
4.2 函数的极值
定义4.2： 设函数 f : I R, x0 I , 若 0, 使得
o
x N ( x0 , ) I , 恒有f ( x) f ( x0 )( f ( x0 )),
4 在 实 际 问 题 中 根 据 问 题的 实 际 意 义 可 以 判 定 可 导 函 数f ( x) 确 有 最 值 ， 且 一 定 在 定 义 区 间 内 部 取得 ， 则 唯 一 的 驻 点 x0 必是 f ( x)的最值点。
例6 求最大值，最小值：
（1）f ( x) x4 2x 2 5 x [2, 2] 解：f ( x) 4x 3 4x 4x ( x 2 1) 0
(1)
1，f
(1) 2
1， 2 p1
所以
f
在
0,1
上
的
最
小
值
为 2
1
p1
，最
大
值
为
1
。
因 而 ， 当 x 0,
1
时， 1 2 p1
f ( x) 1，
即
1 2 p1
xp
(1
x) p
1，0
x 1。
例 8讨论方程 xe x k (k 0)实根的个数. 解：令 f ( x) xe x k，x ,，
图象向下凸的函数叫凸函数，图象向上凸的 函数叫凹函数
定义4.3：
设 f : I R, 若x1 , x2 I , 0,1不等式
f x1 1 x2 f x1 1 f x2 (1) 成立,则称 f 为 I 上的凸函数, 若 0,1,
x1 x2 , 不等式
f x1 1 x2 f x1 1 f x2 (2) 成立,则称 f 为 I 上的严格凸函数.若1与2式
第四节 函数性态的研究
４.1 函数的单调性
定义4.1：设函数 f在 区间I上有定义，
x1, x2 I, x1 x2 f ( x1) f ( x2 )( f ( x1) f ( x2 )) 则称 f 在I上单调增加(减少), 单调增加 与单调减少函数统称为单调函数。 x1, x2 I, x1 x2 f ( x1) f ( x2 )( f ( x1) f ( x2 ))
所以(1,)是单增区间,
(,0), (0,1)是单减区间
例2 证明下列不等式：
(1) x 1 时, 3 x 4 1 ; 3 3x
证 设 f (x) 3 x 4 1 , 3 3x
则 f ( x) 1 33 x 2
1 3x2
3
x4 1 ,
3x2
因为 f ( x)在 [1,)上连续， 在(1,) 内f ( x) 0，
定理4.5
设函数 f 在 x0 处 n n 2阶可导, 并且
f x0 f x0 f n1 x0 0,而 f n x0 0.
1当n为偶数时, x0必为极值点.若 f n x0 0,
则
x
为
0
极
小
值
点;
若
f
n x0
0,
则x
为
0

极大
值
点;
2当n为奇数时, x0不是极值点.
4.3 函数的最大（小）值
但是这两种点都不一定是函数的极值点。
例如x 0是 f ( x) x 3的驻点，但x 0 不是 f 的极值点。
驻点 可能极值点
导数不存在的点
定理4.3（第一充分条件）
设 f 在 x0 的某邻域N x0 , 内连续，
在 N x0 , 内可导,则, 1若x ( x0 , x0 )时, f x 0; x ( x0 , x0 )时, f x 0,则 f 在 x0处取得极大值; 2若x ( x0 , x0 )时, f x 0; x ( x0 , x0 )时, f x 0,则 f 在 x0处取得极小值;
又 f ( x) x sin x 0( x 0)
x 0时，f ( x) 单调增加, 因 f (0) 0, 所以 f ( x) 0( x 0), 从而 f ( x)单增，
所以 f ( x) 0( x 0),
即 sin x x x 3 ( x 0). 6
例 3 证明方程 x a sin x 1(0 a 1)
解 y ex 1, 当 x 0 时, y 0, 所以函数y ex x 1 在( ,0)上单 调减少;
当x 0时, y 0, 所以函数在区间 (0,)上单调增加。
(2) f ( x) x 2 2 x
解
f ( x) 2 x
2 x2
2 x2
(x3
1)
0 0
x (1, ) x ( ,0) (0, 1)
列表讨论如下：
x f ( x) f (x)
( , 0) 0
(0, 2)
2
5
5
不存在
0
(2 , ) 5
0(极 大 ） 3 3 20（ 极 小 ） 25
所以
x 0为 极 大 点 ，x 2 为 极 小 点 ， 5
极 大 值f (0) 0, 极 小 值f ( 2) 3 3 20 5 25
驻点为 x 0, 1, 无不可导点。
f (0) 5, f (1) 4, f (2) 13, f (2) 13
最大值为13，最小值为4。
(2) f ( x) x 2e x2 x 0，
解：显然f 0，所以f( 0 ) 0是最小值
f ( x) (2 x 2 x 3 )e x2 2 x(1 x)e x2， 驻 点 为 x 0，x 1
3若 x N x0 , 时，f x的符号保持不变，
则点 x0不是f ( x)的极值点.
例 4 求函数 f ( x) ( x 1) 3 x2的极值.
解：f ( x) 3 x 2 2( x 1) 5 x 2
令f
( x)
0得驻点x
2
33
；当x
x
0时，f
33 x
( x)不存在,
5
但函数f连续。
e
e
在 , 1内单调增加且f ( x1 ) f (1) 0，
所以 f 在 , 1内有唯一零点。
同理，f 在1,内有唯一零点，从
而原方程有两个实根。
例 9 建造一个具有已知容积V 的圆柱形
无 盖 铁 皮 柜 ， 问 怎 样 选择 它 的 直 径
与 高 ， 使 得所 用 的 材 料 最 省 ？
解 设圆柱体的底面直径为d，高为h，
则称 f 在x0取得极小(大)值 f ( x0 ), f 的极小值与极大值统称为 f 的极值, 使 f 取得极值的点x0称为 f 的极值点.
定理4.2(极值的必要条件）
若 f ( x) 在 x0 处取得极值，则必有f ( x0 ) 0 或 f ( x0 )不存在。
注：1.使 f ( x) 0 的点称为函数的 驻点。 2. 函数 f 的极值点或者是 f 的驻点 或者是导数不存在的点
中不等号反向,则分别称 f 为 I 上的凹函数与
严格凹函数.
f是(严格）凹的 f是（严格）凸的
方法求 f 在a, b上的最大值和最小值:
(1) 求出 f ( x)在 (a, b)内的所有驻点及导数不
存在的点xi (i 1k)(若只有有限个）；
(2)比较函数值f (a), f ( x1 ),, f ( xk ), f (b)的大
小
，
其
中
最
大
的
便
是f
，
max
最
小
的
便
是f
min
。
2. 若 f ( x) 在[a, b]上单增（减）,则 f (a) 为最小
p1
x p (1 x) p 1 (0 x 1)
证：问题可化为证明函数f ( x) x p (1 p) p
在区间0, 1上的最小值为 1 ，最大值为1。
2 p1
f ( x) px p1 p(1 x) p1
令f ( x) 0，得 f 在 0,1 内的驻点x 1
2
又f
(0)
1，f
表 面 积 为S， 则 有 ：
S
d
h
V d2h
4
d2 S
4V
d 2，
d
0
4
d4
令S 0，解得唯一驻点
V d 23
。
又 由 问 题 的 实 际 意 义 可知 最 小 表 面 积S
一定 存在，所以 唯一驻点 d 23 V 就 是
最小值点，
此时 h 4V
V 3
d 2
4.4 函数的凸性
若曲线上任意两点之间的曲线段都位于其弦的 下(上)方，则说此曲线是下凸（上凸）的。
x
x
x1 0，x2 0, 使 f ( x1 ) 0， f ( x2 ) 0
若 f (1) 1 k 0，即 k 1 时，函数 f
e
e
没有零点，原方程没有实根；
若 f (1) 1 k 0，即k 1 时，函数 f 有
e
e
唯一零点x 1，原方程有唯一实根 x 1；
当f (1) 1 k 0，即k 1 时，函数f
从而当 x 1时，f ( x) f (1) 0，即
3 x4 1 0 3 3x
亦即 3 x 4 1 ( x 1) 3 3x
(2) x 0 时, sin x x x 3 ;
证
设
6
f ( x) sin x x
x3
,
6
则
f
(
x
)
C (1) [0,)
,
且
f ( x) cos x 1 x 2 2
则称 f 在I上单调不减(不增。)
定理4.1
设 函数f在 I 上可导,则f在I上单增（单减） 的充分必要条件是：
1x I , 都有 f ( x) 0 f ( x) 0; 2 f ( x)在I的任意一个部分区间里都不恒等于零.
例1 讨论下列函数的单调性, 并指出单调区间：
(1) y e x x 1
f ( x) (1 x)e x 令 f ( x) 0，求得唯一驻点x 1 。
当 x 1时 ，f ( x) 0，f 单 调 增 加 ； 当 x 1 时 ，f ( x) 0，f 单 调 减 少 ， 故 x 1 是f ( x)的 最 大 值 点, 最 大 值 f (1) 1 k
e
又 lim f ( x) ，lim f ( x) k 0， 所 以 存在
（大）值，f (b) 为最大（小）值。
3 . 对 于 一 般 区 间(有 限 或 无 限, 半 闭 或 开) , 有 : 若区间I 上的连续函数f 在 I 的内部 只 有 一 个 可 能 极 值 点x0 ， 且 这 一 点 确 是
f 的 极 大 点 （ 或极 小 点 ）,则 这 个 极 大 值 f ( x0 )（ 或 极 小 值 f ( x0 )） 就 是 函 数 f 在 区 间I 上 最 大 值 （ 或 最 小 值 ）。
定理4.4（第二充分条件）
设 f 在 x0 处二阶可导, 并且 f x0 0, f x0 0, 则当 f x0 0 0时, f 在 x0 处取极小大值.
例 5 求 f ( x) x 3 ( x 5)2 的极值.
解：f ( x) 3x 2 ( x 5)2 2x 3 ( x 5) 5x 2 ( x 5)(x 3)
在(, )内有且仅有一个实根。
证 设 f ( x) x a sin x 1, 则 f ( x) 在 (,)内连续，
f (0) 1 0, f ( ) 1 0,
方程 f ( x) 0在区间(0 , )内
至少有一个实根 .
又 f ( x) 1 a cos x 0 f ( x)在 (,)内至多有一个实根。