南京市2012最新高考数学模拟考试(理)含答案

南京市2012高三考试（数学）
参考公式：1.样本数据12,,,n x x x 的方差2
21
1
()n i i s x x n ==-∑，其中x 是这组数据的平均数。

2.柱体、椎体的体积公式：1
,3
V
Sh V Sh ==柱体
椎体，其中S 是柱（锥）体的底面面积，h 是高。

一、填空题：（5分×14=70分） 1.函数22y x x =
-的定义域是 .
2.已知复数z 满足(2)1z i
i -=+（i 为虚数单位）
，则z 的模为 . 3. 已知实数,x y 满足20,0,
1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
则2z x y =+的最小值是 . 4.如图所示的流程图，若输入的9.5x =-，则输出的结果为 . 5.在集合{}2,3A =中随机取一个元素m ，在集合{}1,2,3B =中随机取一个元素n ，得到点(,)P m n ，则点P 在圆229x y +=内部的概率为 .
6.已知平面向量,a b 满足||1,||2a b == ，a 与b 的夹角为3
π，以,a b
为邻边
作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 .
7.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为 .
8.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若t a n 21t a n A c B b
+=，则角A 的大小为 . 9.已知双曲线C:22
22
1(0,0)x y a b a b
-=>>的右顶点、右焦点分别为A 、F,它的左准线与x 轴的交
点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为 .
10.已知正数数列{}n a 对任意,p q N *
∈，都有p q p q a a a +=⋅，若24a =，则9a = .
11.已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面。

下列命题：
①若,,||,||,l m l m ααββ⊂⊂则||αβ； ②若,||,,l l m αβαβ⊂= 则||l m ； ③若||,||,l αβα则||l β； ④若,||,||,l m l ααβ⊥则m β⊥. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）.
12.已知2()log (2)f x x =-，若实数,m n 满足()(2)3f m f n +=，则m n +的最小值是 . 13. 在△ABC 中，已知BC=2，1AB AC ⋅=
,则△ABC 面积的最大值是 .
14.若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()f x 的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对（P ，Q ）是函数()f x 的一个“友好点对”（点对（P ，Q ）与（Q ，P ）看作同一个“友好点对”）.已知函数2241,0,()2
,0,x x x x f x x e
⎧++<⎪=⎨≥⎪⎩则()f x 的“友好点对”有 个
.
二、解答题：（本大题共6小题，共计90分）. 15.（本题满分14分）
已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，且()24
f π
=
.
（1）求,ωϕ的值；（2）若6
()(0)2
5
f α
απ=-<<，求cos2α的值。

16. （本题满分14分）
如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，D 、1D 分别是BC 和11B C 的中点.
（1）求证：11A D ∥平面1AB D ；
（2）若平面ABC ⊥平面11BCC B ，160O
B B
C ∠=，求三棱锥1B ABC -的体积。

17. （本题满分14分）
如图，在半径为30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上。

（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最
大面积；
（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积.
18. （本题满分16分）
在直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点(22,1)到两焦点的距离之和为43.
（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A 、B 两点，
其中点A 在x 轴下方，且3AF FB =
.求过O 、A 、B 三点的圆的方程.
19. （本题满分16分）
将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：
1
234
56789a a a a a a a a a
已知表中的第一列数125,,,a a a 构成一个等差数列，记为{}n b ，且254,10b b ==.表中每一行正中间一个数137,,,a a a 构成数列{}n c ，其前n 项和为n S .
（1）求数列{}n b 的通项公式；
（2）若上表中，从第二行起，每一行．．．中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且131a =.①求n S ；②记{
}|(1),n M n n c n N λ*
=+≥∈，若集合M 的元素
个数为3，求实数λ的取值范围.
20. （本题满分16分）
已知函数()1ln ()f x x a x a R =--∈.
（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=，求实数a 的值； （2）求证：()f x ≥0恒成立的充要条件是1a =；
（3）若0a <，且对任意12,(0,1]x x ∈，都有1212
11
|()()|4||f x f x x x -≤-，求实数a 的取值范围.
南京市2012届高三模拟考试 数学附加题 2011.01
21.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分. A.选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 是半圆O 的直径，C 是圆周上一点（异于A 、B ），过C 作圆O 的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，垂足为D ，AD 交半圆于点E.求证：CB=CE.
B. 选修4-2：矩阵与变换
在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y ++=在矩阵14a M b ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下得到
直线:40m x y --=，求实数,a b 的值. C. 选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C ：10cos ρθ=和直线:3cos 4sin 300l ρθρθ--=相交于A 、B 两点，求线段AB 的长.
D.选修4-5:不等式选讲 解不等式|24|4||x x -<-.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.
22.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,30,1,6O
O
ACB BAC BC A A ∠=∠===，
M 是1CC 的中点. （1）求证：11A B AM ⊥;
（2）求二面角B AM C --的平面角的大小.
23.已知等比数列{}n a 的首项12a =，公比3q =，n S 是它的前n 项和.求证：131
n n S n S n
++≤.。