2019年高考数学一轮复习 第7章 立体几何初步 第3节 空间图形的基本关系与公理学案 文 北师大版

第三节空间图形的基本关系与公理
[考纲传真] 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．
(对应学生用书第98页)
[基础知识填充]
1．空间图形的公理
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平
面内(即直线在平面内)．
(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的
公共直线．
(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
(5)等角定理
空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
2．空间点、直线、平面之间的位置关系
aα
(1)定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，
这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角．
(2)范围：⎝
⎛⎦⎥⎤0，π2. [知识拓展]
异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线．( )
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( )
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )
(4)若直线a 不平行于平面α，且a
α，则α内的所有直线与a 异面．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．(教材改编)如图7­3­1所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成的角的大小为( )
图7­3­1
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
C [连接B 1
D 1，D 1C ，则B 1D 1∥EF ，故∠D 1B 1C 为所求的角，又B 1D 1＝B 1C ＝D 1C ，∴∠D 1B 1C ＝60°.]
3．在下列命题中，不是公理的是( )
A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此 平面内
D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 公共直线
A [A 不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；
B ，
C ，
D 是平面的基本性质公理．]
4．(2016·山东高考)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
A[由题意知aα，bβ，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A．]
5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．
b 与α相交或bα或b∥α
(对应学生用书第99页)
(1)
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)如图7­3­2，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
图7­3­2
①E，C，D1，F四点共面；
②CE，D1F，DA三线共点．
B[(1)①中若有三点共线，则四点共面，不合题意，故①正确；②中若点A，B，C在同一条直线上，则A，B，C，D，E不一定共面，故②错误；③中，直线b，c可能是异面直线，故③错误；④中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故④错误．] (2)①如图，连接EF，CD1，A1B．
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥BA1.
又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面．
②∵EF∥CD1，EF<CD1，
∴CE与D1F必相交，设交点为P，
则由P∈直线CE，CE平面ABCD，
得P∈平面ABCD．
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．
[规律方法] 1.证明线共面或点共面的常用方法：
(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．
(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．
(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
2．证明点共线问题的常用方法：
(1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上．
(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．
[变式训练1] (1)(2018·上饶模拟)如图7­3­3所示，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ 与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K.给出以下命题：
图7­3­3
①直线MN平面PQR；
②点K 在直线MN 上；
③M ，N ，K ，A 四点共面．
其中正确结论的序号为________．
【导学号：00090240】
①②③ [由题意知，M ∈PQ ，N ∈RQ ，K ∈RP ，
从而点M ，N ，K ∈平面PQR .
所以直线MN 平面PQR ，故①正确．
同理可得点M ，N ，K ∈平面BCD ．
从而点M ，N ，K 在平面PQR 与平面BCD 的交线上，即点K 在直线MN 上，故②正确． 因为A ∉直线MN ，从而点M ，N ，K ，A 四点共面，故③正确．]
(2)如图7­3­4所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC 綊12AD ，BE 綊12
FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．
①证明：四边形BCHG 是平行四边形；
②C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？
图7­3­4
[解] (1)证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，得GH 綊12
AD ． 又BC 綊12
AD ， ∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 是平行四边形．
(2)C ，D ，F ，E 四点共面，理由如下：
由BE 綊12
AF ，G 为FA 的中点知BE 綊GF ， ∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG .
由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，
∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．
α，b平面β，
α∩β＝c，给出下列命题：
①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；
②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；
③若a∥b，则必有a∥C．
其中真命题有________．(填序号) 【导学号：00090241】
(2)(2017·郑州模拟)在图7­3­5中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．
①②③④
图7­3­5
(1)①③(2)②④[(1)对于①，若c与a，b都不相交，则c∥a，c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．
对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．
对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正确．
(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．]
[规律方法] 1.异面直线的判定方法：
(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．
(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．2．点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．
[变式训练2] (2018·烟台模拟)a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若b M，a∥b，则a∥M；③若a ⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥B．其中正确的为( )
A ．①④
B ．②③
C ．③④
D ．①②
A [对于①，当a ∥M ，b ∥M 时，则a 与b 平行、相交或异面，①为真命题．②中，b M ，a ∥b ，则a ∥M 或a M ，②为假命题．命题③中，a 与b 相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①④为真命题．]
(1)如图­A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )
图7­3­6
A ．15
B ．25
C ．35
D ．45
(2)(2018·泸州模拟)如图7­3­7所示，在棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1，AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成角的余弦值等于________．
图7­3­7
(1)D (2)155
[(1)连接BC 1，易证BC 1∥AD 1， 则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．
连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，
则A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，
在△A 1BC 1中，由余弦定理得
cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45
. (2)取BC 的中点G .连接GC 1，则
GC 1∥FD 1，再取GC 的中点H ，连接HE 、OH ，
∵E 是CC 1的中点，∴GC 1∥EH .
∴∠OEH 为异面直线所成的角．
在△OEH 中，OE ＝3，HE ＝52，OH ＝52
. 由余弦定理，可得cos ∠OEH ＝OE 2＋EH 2－OH 22OE ·EH
＝32·3·5
2＝155.] [规律方法] 1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．
2．求异面直线所成角的三个步骤：
(1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角．
(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角．
(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
[变式训练3] 如图7­3­8，已知圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，那么异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为________． 【导学号：00090242】
图7­3­8
2[取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，
则因为C是圆柱下底面弧AB的中点，
所以AD∥BC，
所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，
所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD．
因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，
所以C1D＝2AD，
所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，
所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.]
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