湖南省衡阳市第八中学2022_2022学年高二数学上学期12月月考试题文2022070902101

2022年衡阳市八中高二12月份月考试题
数学(文科)
考生注意：本试卷分选择题、填空题和解答题三局部,共22个小题，考试时间120分钟，
试卷总分值100分.
一. 选择题：本大题共12小题，每题3分，共36分，在每题给出的四个选项中，只 有一项为哪一项符合题目要求的，把各题答案的代号填写涂在答题卷上. 1. 准线方程为x=1的抛物线的标准方程是〔 〕
A. 22y x =-
B. 24y x =-
C. x y 22=
D. 2
4y x = 2. “x ＞5〞是“x 2
－4x －5＞0〞是〔 〕
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π
2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x
＝π
2
对称．那么以下判断正确的选项是( ) A ．p 为真 B ．⌝q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真
4. 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.以下说法一定正确的选项是( ) A ．这种抽样方法是一种分层抽样 B ．这种抽样方法是一种系统抽样
C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 5. 以下结论正确的选项是〔 〕
A. 假设y =
2
y '=
B. 假设cos y x =，那么sin y x '=
C. 假设2x
y e =，那么2x
y e '= D. 假设ln x y x =
，那么2
1ln x
y x -'=
6. 假设双曲线22
221x y a b
-= 〕
A. 2y x =±
B. y =
C. 1
2
y x =± D. y x =
7. 曲线21
y x x
=+
在()1,2处的切线方程为〔 〕 A. 2y x = B. 1y x =+ C. 42y x =- D. 31y x =-
8. 假设椭圆22
14x y +=与双曲线2221x y a
-=有相同的焦点12F F ，，点P 是椭圆与双曲线的一
个交点，那么12PF F ∆的面积是〔 〕
A ．4
B ．2
C ．1
D ．
1
2
9. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线2
16y x =的准线交于A ，B 两点，
||43AB =，那么双曲线C 的实轴长为〔 〕
A ．2
B ．22
C ．4
D ．8
10. 假设函数()ln f x kx x =-在()1,+∞上单调递增，那么实数k 的取值范围是〔 〕 A ．(,2]-∞- B ．(,1]-∞- C ．[2,)+∞ D ．[1,)+∞ 11. 函数3
2
()31f x ax x =-+，假设()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，那么实数a 的取值范围是〔 〕
A ．(2,)+∞
B ．(,2)-∞-
C ．(1,)+∞
D ．(,1)-∞-
12. 设A 、B 是椭圆C ：2213x y m
+=长轴的两个端点，假设C 上存在点M 满足∠AMB =120°，
那么m 的取值范围是( ) A ．(0,1][9,)+∞
B ．(0,3][9,)+∞
C ．(0,1][4,)+∞
D ．(0,3][4,)+∞
二、填空题：本大题共4小题，每题3分，共12分，把答案填写在答题卷相应的横线上. 13. 在元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出 的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后， 所剩数据的方差为 .
14. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，假设椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1
4
，那么该椭圆的离心率为 .
15.做一个无盖的圆柱水桶，假设要使水桶的体积为27π，且用料最省，那么水桶的底面半径为 .
16. 设函数()y f x =在区间(,)a b 的导函数为
()f x '，()f x '在区间(,)a b 的导函数为
()f x ''，假设在区间(,)a b 上()0f x ''<恒成立，那么称函数()f x 在区间(,)a b 上为
“凸函数〞，43213
()122
f x x mx x =
--，假设函数()f x 在区间(1,2)-上为“凸函数〞，那么实数a 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共52分,解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题总分值8分)
为了了解学生的体能情况，某校抽取局部学生进行一分钟跳绳次数测试，所得数据整理后，画出频率分布直方图(如下图)，图中从左到右各小长方形面积之比2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.
〔1〕学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？ 〔2〕第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
〔3〕假设次数在110以上(含110次)为良好，试估计该学校全体学生的良好率是多少？ 18．(本小题总分值8分)
函数32()1f x x ax bx =+++在1x =和2
3
x =-处都取得极值. 〔1〕求a ，b 的值；
〔2〕求()f x 在区间[1,2]-上的最大值与最小值. 19. (本小题总分值8分)
双曲线E ：
22
1164
x y -=的两个焦点为12,F F . 〔1〕假设点M 在双曲线E 上，且120MF MF =，求点M 到x 轴的距离；
〔2〕设椭圆C 与双曲线E 有相同焦点，且过点，求椭圆C 的方程. 20. (本小题总分值9分)
设A ，B 为曲线C ：4
2x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．
〔1〕求直线AB 的斜率；
〔2〕设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且BM AM ⊥，求直线AB 的方程．
21. (本小题总分值9分)
椭圆的中心在坐标原点O ,焦点在x 轴上, 椭圆上、下顶点与焦点所组成的四边形为正方
形, 四个顶点围成的图形面积为〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕直线l 过点()0,2P 且与椭圆相交于A 、B 两点, 当AOB ∆面积取得最大值时, 求直线l 的方程.
22. (本小题总分值10分)
函数2
()=ln (21)f x x ax a x +++． 〔1〕讨论()f x 的单调性； 〔2〕当a ﹤0时，证明3
()24f x a
≤--． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
D
A
C
C
D
B
B
C
C
D
B
A
二、填空题：本大题共4小题，每题3分，共12分，把答案填写在答题卷相应的横线上. 13. 在元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出 的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后， 所剩数据的方差为
8
5
. 14. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，假设椭圆中心到l 的距离为其短轴长的
1
4
，那么该椭圆的离心率为
1
2
. 15.做一个无盖的圆柱水桶，假设要使水桶的体积为27π，且用料最省，那么水桶的底面半径
为 3 .
16. 设函数()y f x =在区间(,)a b 的导函数为
()f x '，()f x '在区间(,)a b 的导函数为
()f x ''，假设在区间(,)a b 上()0f x ''<恒成立，那么称函数()f x 在区间(,)a b 上为
“凸函数〞，43213
()122
f x x mx x =
--，假设函数()f x 在区间(1,2)-上为“凸函数〞，那么实数a 的取值范围是 11,123⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦ . 三、解答题：本大题共6小题，共52分,解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题总分值8分) 为了了解学生的体能情况，某校抽取局部学生进行一分钟跳绳次数测试，所得数据整理后，画出频率分布直方图(如下图)，图中从左到右各小长方形面积之比2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.
〔1〕学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？ 〔2〕第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
〔3〕假设次数在110以上(含110次)为良好，试估计该学校全体学生的良好率是多少？
解 (1)∵前三组的频率和为2＋4＋1750＝2350<1
2
，
前四组的频率之和为2＋4＋17＋1550＝3850>1
2
，
∴中位数落在第四小组内．
(2)频率为：4
2＋4＋17＋15＋9＋3＝0.08，
又∵频率＝第二小组频数样本容量，∴样本容量＝频数频率＝12
0.08
＝150.
(3)由图可估计所求良好率约为：17＋15＋9＋3
2＋4＋17＋15＋9＋3
×100%＝88%.
18．(本小题总分值8分)
函数32()1f x x ax bx =+++在1x =和2
3
x =-处都取得极值. 〔1〕求a ，b 的值；
〔2〕求()f x 在区间[1,2]-上的最大值与最小值. 解:〔1〕1
,22
a b =-
=- 〔2〕max min 1()3,()2
f x f x ==- 19. (本小题总分值8分)
双曲线E ：
22
1164
x y -=的两个焦点为12,F F . 〔1〕假设点M 在双曲线E 上，且120MF MF =，求点M 到x 轴的距离；
〔2〕设椭圆C 与双曲线E 有相同焦点，且过点，求椭圆C 的方程.
解:〔1 〔2〕22
1255
x y +=
20. (本小题总分值9分)
设A ，B 为曲线C ：4
2
x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．
〔1〕求直线AB 的斜率；
〔2〕设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且BM AM ⊥，求直线AB 的方程．
解：〔1〕【解法1】设 1122(,),(,)A x y B x y ,AB 直线的斜率为k ，又因为A,B 都在曲线C 上，所以 4/211x y = ① 4/222x y = ②
②-①得2221122121()()
44
x x x x x x y y -+--==由条件124x x += 所以，
21
21
1y y x x -=-即直线AB 的斜率k=1．
【解法2】设 ),(),,(2211y x B y x A ,AB 直线的方程为y=kx+b,所以⎩⎨⎧=+=4
/2
x y b
kx y 整理得：,4,044212k x x b kx x =+∴=--且421=+x x 所以k=1 〔2〕：设 00(,)M x y 所以200/4y x =① 又12y x =
所以0001
1,2,12
k x x y ==∴== 所以M 〔2,1〕，11(2,1)MA x y =--，22(2,1)MB x y =--，且AM BM ⊥，0AM BM = 即05)()(221212121=++-++-y y y y x x x x ②，设AB 直线的方程为y x b =+，,4/2
⎩
⎨⎧=+=x y b
x y 化简得0442=--b x x ，所以2212121,24,4b y y b y y b x x =+=+-=
由②得0772=--b b 所以b=7或者b=-1(舍去) 所以AB 直线的方程为y=x+7 21. (本小题总分值9分)
椭圆的中心在坐标原点O ,焦点在x 轴上, 椭圆上、下顶点与焦点所组成的四边形为正方
形, 四个顶点围成的图形面积为〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕直线l 过点()0,2P 且与椭圆相交于A 、B 两点, 当AOB ∆面积取得最大值时, 求直线l 的方程.
解：：〔1〕依题意有b c =,且2ab =222b c a +=，222b c a +=,
解得2
2
2
2,1a b c ===,所以椭圆方程为2
212
x y +=； 〔2〕直线l 的方程为()()11222,,,,y kx A x y B x y =+， 联立直线的方程和椭圆的方程，得()
2212860k x kx +++=，
利用弦长公式计算AB =， 利用点到直线距离公式计算
d =
，
所以22211622321212ABC
k k S AB d k
∆-===++，
利用换元法可求得当142k =±
时，面积取得最大值为22
， 所求直线方程为14240x y ±-+=. 22. (本小题总分值10分) 函数2
()=ln (21)f x x ax a x +++． 〔1〕讨论()f x 的单调性； 〔2〕当a ﹤0时，证明3
()24f x a
≤-
-． 解：〔1〕f 〔x 〕的定义域为〔0，+〕，.
假设a ≥0，那么当x ∈〔0，+〕时，，故f 〔x 〕在〔0，+〕单调递增. 假设a ＜0，那么当x ∈时，
；当x ∈
时，
.
故f 〔x 〕在
单调递增，在
单调递减. 〔2〕由〔1〕知，当a ＜0时，f 〔x 〕在
取得最大值，最大值为
.
所以
等价于
，即
设g 〔x 〕=ln x -x +1，那么
当x ∈〔0,1〕时，
；当x ∈〔1，+〕时，.所以g 〔x 〕在〔0,1〕单
调递增，在〔1，+〕单调递减.故当x =1时，g 〔x 〕取得最大值，最大值为g 〔1〕=0.所以当x ＞0时，g 〔x 〕≤0,.从而当a ＜0时，
，即
.
2022年衡阳市八中高二12月份月考加试试题参考答案
数学〔文科〕
命题人：彭源 审题人：吕建设
考生注意：本试卷共2个解答题, 每题10分,共20分. 23. (本小题总分值10分)
〔1〕古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为
n 〔n ＋1〕2＝1
2n 2
＋12
n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以以下出了局部k 边形数中第n 个数的表达式：
三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋1
2n ，
正方形数 N (n ，4)＝n 2
， 五边形数 N (n ，5)＝32n 2－1
2n ，
六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ……
可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝____________. 解：三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ＝n 2
＋n
2，
正方形数 N (n ，4)＝n 2
＝2n 2
－0·n
2
，
五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ＝3n 2
－n
2，
六边形数 N (n ，6)＝2n 2
－n ＝4n 2
－2n
2
，
k 边形数 N (n ，k )＝〔k －2〕n 2
－〔k －4〕n
2
，
所以N (10，24)＝22×102
－20×102＝2 200－200
2
＝1 000.
〔2〕假设P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，
那么切点弦P 1P 2所在的直线方程是
x 0x a 2＋y 0y
b 2
＝1，那么对于双曲线那么有如下命题：假设P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，那么切点
弦P 1P 2所在直线的方程是________.
解： 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，那么P 1，P 2的切线方程分别是x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2y
b
2＝1. 因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0
b
2＝1， 这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0y
b 2
＝1上， 故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0y
b 2
＝1. 24. (本小题总分值10分)
微信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信的时间在一小时
以上，假设将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人.假设规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中2
3
是青年人.
(1)假设要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出2×2列联表；
(2)
附：K 2
＝n 〔ad －bc 〕2
〔a ＋b 〕〔c ＋d 〕〔a ＋c 〕〔b ＋d 〕
解：(1)经常使用微信的有180－60＝120(人)， 其中青年人有120×2
3
＝80(人)，
使用微信的人中青年人有180×75%＝135(人)， 所以2×2列联表：
(2)K 2
＝180×〔80×5－55×40〕2
120×60×135×45
≈13.333，
由于13.333>10.828，所以有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关〞.。