2020年四川省南充市中考数学试卷(附答案详解)

2020年四川省南充市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.(2021·山东省威海市·模拟题)若1
x
=−4，则x的值是()
A. 4
B. 1
4C. −1
4
D. −4
2.(2020·四川省南充市·历年真题)2020年南充市各级各类学校在校学生人数约为
1150000人，将1150000用科学记数法表示为()
A. 1.15×106
B. 1.15×107
C. 11.5×105
D. 0.115×107
3.(2020·四川省南充市·历年真题)如图，四个三角形拼成一个
风车图形，若AB=2，当风车转动90°，点B运动路径的长
度为()
A. π
B. 2π
C. 3π
D. 4π
4.(2020·四川省·历年真题)下列运算正确的是()
A. 3a+2b=5ab
B. 3a⋅2a=6a2
C. a3+a4=a7
D. (a−b)2=a2−b2
5.(2021·湖南省岳阳市·模拟题)八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七次
射击成绩依次为(单位：环)：4，5，6，6，6，7，8.则下列说法错误的是()
A. 该组成绩的众数是6环
B. 该组成绩的中位数是6环
C. 该组成绩的平均数是6环
D. 该组成绩数据的方差是10
6.(2021·安徽省·单元测试)如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平
分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=()
A. a+b
2
B. a−b
2
C. a−b
D. b−a
7.(2021·广东省深圳市·模拟题)如图，面积为S的菱形
ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中
点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，则四边形EFOG的面积为()
A. 1
4
S
B. 1
8
S
C. 1
12
S
D. 1
16
S
8.(2021·广东省深圳市·模拟题)如图，点A，B，C在正方形网
格的格点上，则sin∠BAC=()
A. √2
6
B. √26
26
C. √26
13
D. √13
13
9.(2021·广东省深圳市·模拟题)如图，正方形四个顶点的坐
标依次为(1,1)，(3,1)，(3,3)，(1,3).若抛物线y=ax2的
图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是()
A. 1
9
≤a≤3
B. 1
9
≤a≤1
C. 1
3
≤a≤3
D. 1
3
≤a≤l
10.(2021·山东省·其他类型)关于二次函数y=ax2−4ax−5(a≠0)的三个结论：①对
任意实数m，都有x1=2+m与x2=2−m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，
对应的y的整数值有4个，则−4
3<a≤−1或1≤a<4
3
；③若抛物线与x轴交于不
同两点A，B，且AB≤6，则a<−5
4
或a≥1.其中正确的结论是()
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.(2021·宁夏回族自治区吴忠市·模拟题)计算：|1−√2|+20=______．
12.(2021·北京市市辖区·期中考试)如图，两直线交于点O，若
∠1+∠2=76°，则∠1=______度．
13.(2021·全国·模拟题)从长分别为1，2，3，4的四条线段中，任意选取三条线段，能
组成三角形的概率是______．
14.(2021·山西省晋中市·单元测试)笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本
和钢笔恰好用去100元，那么最多购买钢笔______支．
15.(2021·江苏省·期中考试)若x2+3x=−1，则x−1
x+1
=______．
16.(2021·广东省深圳市·模拟题)△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，将△ABC绕点C
旋转到△EDC，点E在⊙O上，已知AE=2，tanD=3，则AB=______．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）
17.(2020·四川省南充市·历年真题)先化简，再求值：(1
x+1−1)÷x2−x
x+1
，其中x=√2+1．
18.(2020·江苏省连云港市·单元测试)如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，
AC⊥CE，BC=DE.求证：AB=CD．
19.(2021·广东省深圳市·模拟题)今年，全球疫情大爆发，我国派遣医疗专家组对一些
国家进行医疗援助．某批次派出20人组成的专家组，分别赴A、B、C、D四个国家开展援助工作，其人员分布情况如统计图(不完整)所示：
(1)计算赴B国女专家和D国男专家人数，并将条形统计图补充完整．
(2)根据需要，从赴A国的专家中，随机抽取两名专家对当地医疗团队进行培训，
求所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率．
20.(2021·全国·单元测试)已知x1，x2是一元二次方程x2−2x+k+2=0的两个实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)是否存在实数k，使得等式1
x1+1
x2
=k−2成立？如果存在，请求出k的值；如
果不存在，请说明理由．
21.(2020·四川省南充市·历年真题)如图，反比例函数y=k
x
(k≠0,x>0)的图象与y= 2x的图象相交于点C，过直线上点A(a,8)作AB⊥y轴交于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=4BD．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)求四边形OCDB的面积．
22.(2021·江苏省南京市·模拟题)如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为
直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延
长ED交AB的延长线于点F．
(1)判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．
(2)若DF=4√2，求tan∠EAD的值．
23.(2021·湖南省·单元测试)某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设
备的生产成本为10万元/件．
(1)如图，设第x(0<x≤20)个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用
图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式(写出x的范围)．
(2)设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y=5x+40(0<
x≤20).在(1)的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？
(利润=收入−成本)
24.(2020·四川省成都市·期中考试)如图，边长为1的正方形
ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂
线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连
接OM，ON．
(1)求证：AM=BN．
(2)请判定△OMN的形状，并说明理由．
(3)若点K在线段AD上运动(不包括端点)，设AK=x，△OMN的面积为y，求y
关于x的函数关系式(写出x的范围)；若点K在射线AD上运动，且△OMN的面积，请直接写出AK长．
为1
10
25.(2020·四川省南充市·历年真题)已知二次函数图象
过点A(−2,0)，B(4,0)，C(0,4)．
(1)求二次函数的解析式．
(2)如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是
否存在点M，使得∠BMC=90°？若存在，求出点
M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且
tanθ=5
，求点K的坐标．
3
答案和解析
1.【答案】C
【知识点】倒数
=−4，
【解析】解：∵1
x
∴x=−1
，
4
故选：C．
根据倒数的定义求出即可．
本题考查了倒数的定义，能熟记倒数的定义的内容是解此题的关键．
2.【答案】A
【知识点】科学记数法-绝对值较大的数
【解析】解：1150000=1.15×106，
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】A
【知识点】弧长的计算、轨迹
=π，
【解析】解：由题意可得：点B运动路径的长度为=90°×π×2
180∘
故选：A．
由题意可得点B的轨迹是以A为圆心，AB长为半径的弧，利用弧长公式可求解．
本题考查了轨迹，弧长公式，掌握弧长公式是本题的轨迹．
4.【答案】B
【知识点】单项式乘单项式、合并同类项、完全平方公式
【解析】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式=6a2，符合题意；
C、原式不能合并，不符合题意；
D、原式=a2−2ab+b2，不符合题意．
故选：B．
各项计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及单项式乘单项式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
5.【答案】D
【知识点】算术平均数、中位数、方差、众数
【解析】
【分析】
此题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义．根据平均数、中位数、众数和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解答】
解：A.∵6出现了3次，出现的次数最多，∴该组成绩的众数是6环，故本选项正确；B.该组成绩的中位数是6环，故本选项正确；
(4+5+6+6+6+7+8)=6(环)，故本选项正确；
C.该组成绩的平均数是：1
7
[(4−6)2+(5−6)2+3×(6−6)2+(7−6)2+(8−6)2]= D.该组成绩数据的方差是1
7
10
，故本选项错误；
7
故选D．
6.【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°，
∴∠ABD=36°=∠A，
∴BD=AD，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，
∴BD=BC，
∵AB=AC=a，BC=b，
∴CD=AC−AD=a−b，
根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD，进而解答即可．
此题考查等腰三角形的判定与性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出BD= BC=AD解答．
7.【答案】B
【知识点】菱形的性质、三角形的面积、三角形的中位线定理、矩形的判定与性质【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，S=1
2
AC×BD，
∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，
∴四边形EFOG是矩形，EF//OC，EG//OB，
∵点E是线段BC的中点，
∴EF、EG都是△OBC的中位线，
∴EF=1
2OC=1
4
AC，EG=1
2
OB=1
4
BD，
∴矩形EFOG的面积=EF×EG=1
4AC×1
4
BD=1
8
S；
故选：B．
由菱形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，S=1
2
AC×BD，证出四边形EFOG
是矩形，EF//OC，EG//OB，得出EF、EG都是△OBC的中位线，则EF=1
2OC=1
4
AC，
EG=1
2OB=1
4
BD，由矩形面积即可得出答案．
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．
8.【答案】B
【知识点】勾股定理、锐角三角函数的定义、三角形的面积
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理，三角形的面积，锐角三角函数的定义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．
作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．
解：如图，作BD⊥AC于D，
由勾股定理得，AB=√32+22=√13，AC=√32+32=3√2，
∵S△ABC=1
2AC⋅BD=1
2
×3√2⋅BD=1
2
×1×3，
∴BD=√2
2
，
∴sin∠BAC=BD
AB =
√2
2
√13
=√26
26
．
故选B．
9.【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系
【解析】解：当抛物线经过(1,3)时，a=3，
当抛物线经过(3,1)时，a=1
9
，
观察图象可知1
9
≤a≤3，
故选：A．
求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10.【答案】D
【知识点】二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、分类讨论思想
【解析】解：∵二次函数y=ax2−4ax−5的对称轴为直线x=−−4a
2a
=2，
∴x1=2+m与x2=2−m关于直线x=2对称，
∴对任意实数m，都有x1=2+m与x2=2−m对应的函数值相等；
故①正确；
当x=3时，y=−3a−5，当x=4时，y=−5，
若a>0时，当3≤x≤4时，−3a−5≤y≤−5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
∴−9<−3a−5≤−8，
∴1≤a<4
3
，
若a<0时，当3≤x≤4时，−5≤y≤−3a−5，
∵当3≤x ≤4时，对应的y 的整数值有4个， ∴−2≤−3a −5<−1， ∴−4
3<a ≤−1， 故②正确；
若a >0，抛物线与x 轴交于不同两点A ，B ，且AB ≤6， ∴△>0，|x A −x B |≤6，即(x A +x B )2−4x A x B ≤36，
∴{16a 2+20a >0(−−4a a )2−4×−5a
⩽36
, ∴a ≥1，
若a <0，抛物线与x 轴交于不同两点A ，B ，且AB ≤6， ∴△>0，|x A −x B |≤6，即(x A +x B )2−4x A x B ≤36，
∴{16a 2+20a >0
(−−4a a )2−4×−5a
⩽36
, ∴a <−54，
综上所述：当a <−5
4或a ≥1时，抛物线与x 轴交于不同两点A ，B ，且AB ≤6． 故选：D ．
由题意可求函数y =ax 2−4ax −5的对称轴为直线x =−
−4a 2a
=2，由对称性可判断①；
分a >0或a <0两种情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断②；分a >0或a <0两种情况讨论，由题意列出不等式组，可求解，可判断③；即可求解．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x 轴的交点等知识，理解题意列出不等式(组)是本题的关键．
11.【答案】√2
【知识点】零指数幂、实数的运算 【解析】解：原式=√2−1+1 =√2． 故答案为：√2．
原式利用绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可求出值． 此题考查了实数的运算，零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】38
【知识点】对顶角、邻补角
【解析】解：∵两直线交于点O，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠2=76°，
∴∠1=38°．
故答案为：38．
直接利用对顶角的性质结合已知得出答案．
此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．13.【答案】1
4
【知识点】三角形三边关系、用列举法求概率(列表法与树状图法)【解析】解：画树状图如图：
共有24个等可能的结果，能组成三角形的结果有6个，
∴能组成三角形的概率为6
24=1
4
；
故答案为：1
4
．
画出树状图，共有24个等可能的结果，能组成三角形的结果有6个，由概率公式即可得出答案．
本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；正确画出树状图是解题的关键．
14.【答案】10
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】
【分析】
此题主要考查了二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的相等关系．首先设某同学买了x支钢笔，则买了y本笔记本，根据题意购买钢笔的花费+购买笔记本的花费=100元，即可求解．
【解答】
解：设某同学买了x支钢笔，则买了y本笔记本，由题意得：7x+5y=100，
∵x与y为整数，
如果x=1，那么y=93
5
，不是正整数，舍去;
如果x=2，那么y=86
5
，不是正整数，舍去;
如果x=3，那么y=79
5
，不是正整数，舍去;
如果x=4，那么y=72
5
不是正整数，舍去;
如果x=5，那么y=13，
如果x=6，那么y=58
5
，不是正整数，舍去;
如果x=7，那么y=51
5
，不是正整数，舍去;
如果x=8，那么y=44
5
，不是正整数，舍去
如果x=9，那么y=37
5
不是正整数，舍去;
如果x=10，那么y=6，
如果x=11，那么y=23
2
不是正整数，舍去;
如果x=12，那么y=16
5
，不是正整数，舍去;
如果x=13，那么y=91
5
，不是正整数，舍去;
∴x的最大值为10，
故答案为10．
15.【答案】−2
【知识点】分式的化简求值
【解析】解：x−1
x+1
=x(x+1)−1
x+1
=x2+x−1
x+1
，
∵x2+3x=−1，∴x2=−1−3x，
∴原式=−1−3x+x−1
x+1=−2x−2
x+1
=−2(x+1)
x+1
=−2，
故答案为：−2．
根据分式的减法可以将所求式子化简，然后根据x2+3x=−1，可以得到x2=−1−3x，代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
16.【答案】10
3
【知识点】勾股定理、锐角三角函数的定义、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、旋转的基本性质、三角形的外接圆与外心
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的外接圆与外心，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
根据圆周角定理得到∠AEB=∠ACB=90°，根据旋转的性质得到AC=CE，BC=CD，∠ACE=∠BCD，∠ECD=∠ACB=90°，设CE=3x，CD=x，由勾股定理得到DE=√10x，
根据相似三角形的性质得到BD=2
3
，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=∠ACB=90°，
∵将△ABC绕点C旋转到△EDC，
∴AC=CE，BC=CD，∠ACE=∠BCD，∠ECD=∠ACB=90°，
∵tanD=CE
CD
=3，
∴设CE=3x，CD=x，
∴DE=√10x，
∵∠ACE=∠BCD，∠D=∠ABC=∠AEC，
∴△ACE∽△BCD，
∴AC
BC =CE
CD
=AE
BD
=3，
∵AE=2，
∴BD=2 3
∴BE=DE−BD=√10x−2
3
，
∵AE2+BE2=AB2，
∴22+(√10x−2
3
)2=(√10x)2，
∴x=√10
3
，
∴AB=DE=10
3
，
故答案为：10
3
．
17.【答案】解：(1
x+1−1)÷x2−x
x+1
=
1−(x+1)
x+1
⋅
x+1
x(x−1)
=
1−x−1
x(x−1)
=
−x
x(x−1)
=1
1−x
，
当x=√2+1时，原式=
1−√2−1=−√2
2
．
【知识点】分式的化简求值
【解析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
18.【答案】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠ACE=∠ABC=∠CDE=90°，
∴∠ACB+∠ECD=90°，∠ECD+∠CED=90°，
∴∠ACB=∠CED．
在△ABC和△CDE中，
{∠ACB=∠CED BC=DE
∠ABC=∠CDE
，
∴△ABC≌△CDE(ASA)，
∴AB=CD．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】证明△ABC≌△CDE(ASA)，可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
19.【答案】解：(1)
赴B国女专家人数为20×40%−5=3(人)
赴D国男专家人数为20×(1−20%−40%−25%)−2=1(人)
条形统计图补充为：
(2)画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中所抽取的两名专家恰好是一男一女的结果数为12，
所以所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率=12
20=3
5
．
【知识点】扇形统计图、条形统计图、用列举法求概率(列表法与树状图法)
【解析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
(1)计算出赴B国女专家人数和赴D国男专家人数，然后补全条形统计图；
(2)画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出所抽取的两名专家恰好是一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
20.【答案】解：(1)∵一元二次方程x2−2x+k+2=0有两个实数根，
∴△=(−2)2−4×1×(k+2)≥0，
解得：k≤−1．
(2)∵x1，x2是一元二次方程x2−2x+k+2=0的两个实数根，
∴x1+x2=2，x1x2=k+2．
∵1
x1+1
x2
=k−2，
∴
x 1+x 2x 1x 2
=2
k+2=k −2，
∴k 2−6=0，
解得：k 1=−√6，k 2=√6． 又∵k ≤−1， ∴k =−√6．
∴存在这样的k 值，使得等式1x 1
+1
x 2
=k −2成立，k 值为−√6．
【知识点】一元一次不等式的解法、解一元二次方程-直接开平方法、一元二次方程的根与系数的关系*、根的判别式
【解析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，
(1)根据方程的系数结合△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围；
(2)根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=2，x 1x 2=k +2，结合1x 1
+1
x 2
=k −2，即可
得出关于k 的方程，解之即可得出k 值，再结合(1)即可得出结论．
21.【答案】解：(1)∵点A(a,8)在直线y =2x 上，
∴a =4，A(4,8)，
∵AB ⊥y 轴于D ，AB =4BD ， ∴BD =1，即D(1,8)， ∵点D 在y =k
x 上， ∴k =8．
∴反比例函数的解析式为y =8
x ．
(2)由{y =2x y =8x ，解得{x =2y =4或{
x =−2
y =−4(舍弃)， ∴C(2,4)，
∴S 四边形OBDC =S △AOB −S △ADC =1
2×4×8−1
2×4×3=10．
【知识点】一次函数与反比例函数综合
【解析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
(1)想办法求出点D 的坐标即可解决问题．
(2)构建方程组求出点C 的坐标，利用分割法求面积即可．
22.【答案】(1)证明：连接OD ，如图所示：
∵OA =OD ， ∴∠OAD =∠ODA ， ∵AD 平分∠EAF ， ∴∠DAE =∠DAO ， ∴∠DAE =∠ADO ， ∴OD//AE ， ∵AE ⊥EF ， ∴OD ⊥EF ， ∴EF 是⊙O 的切线；
(2)解：在Rt △ODF 中，OD =2，DF =4√2， ∴OF =√OD 2+DF 2=6， ∵OD//AE ， ∴
OD AE =
OF AF =
DF EF
，
∴2
AE =6
8=√2
ED+4√
2，
∴AE =8
3，ED =4√23
，
∴tan∠EAD =DE AE
=
√2
2
．
【知识点】切线的判定、角的平分线、锐角三角函数的定义、平行线的判定与性质 【解析】(1)连接OD ，由OA =OD 知∠OAD =∠ODA ，由AD 平分∠EAF 知∠DAE =∠DAO ，据此可得∠DAE =∠ADO ，继而知OD//AE ，根据AE ⊥EF 即可得证；
(2)根据勾股定理得到OF =√OD 2+DF 2=6，根据平行线分线段成比例定理和三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，角平分线的定义，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
23.【答案】解：(1)由图可知，当0<x ≤12时，z =16，
当12<x ≤20时，z 是关于x 的一次函数，设z =kx +b ，
则{12k +b =16,20k +b =14,
解得：{k =−14,b =19,
∴z =−14x +19，
∴z 关于x 的函数解析式为z ={16,(0<x ≤12)z =−14x +19,(12<x ≤20)． (2)设第x 个生产周期工厂创造的利润为w 万元，
①当0<x ≤12时，w =(16−10)×(5x +40)=30x +240，
∴由一次函数的性质可知，当x =12时，w 最大值=30×12+240=600(万元)； ②当12<x ≤20时，
w =(−14
x +19−10)(5x +40) =−54
x 2+35x +360 =−54(x −14)2+605，
∴当x =14时，w 最大值=605(万元)．
综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．
【知识点】二次函数的应用
【解析】
(1)分别得出当0<x ≤12时和当12<x ≤20时，z 关于x 的函数解析式即可得出答案；
(2)设第x 个生产周期工厂创造的利润为w 万元，①当0<x ≤12时，可得出w 关于x 的一次函数，根据一次函数的性质可得相应的最大值；②当12<x ≤20时，可得出w 关于x 的二次函数，根据二次函数的性质可得相应的最大值．取①②中较大的最大值即可．
本题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数的性质并分类讨论是解题的关键． 24.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB =BC ，∠ABC =90°，
∴∠ABM +∠CBM =90°，
∵AM ⊥BM ，CN ⊥BN ，
∴∠AMB =∠BNC =90°，
∴∠MAB+∠MBA=90°，
∴∠MAB=∠CBM，
∴△ABM≌△BCN(AAS)，
∴AM=BN；
(2)△OMN是等腰直角三角形，
理由如下：如图，连接OB，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴OA=OB，∠OBA=∠OAB=45°=∠OBC，AO⊥BO，∵∠MAB=∠CBM，
∴∠MAB−∠OAB=∠CBM−∠OBC，
∴∠MAO=∠NBO，
又∵AM=BN，OA=OB，
∴△AOM≌△BON(SAS)，
∴MO=NO，∠AOM=∠BON，
∵∠AON+∠BON=90°，
∴∠AON+∠AOM=90°，
∴∠MON=90°，
∴△MON是等腰直角三角形；
(3)在Rt△ABK中，BK=√AK2+AB2=√x2+1，
∵S△ABK=1
2×AK×AB=1
2
×BK×AM，
∴AM=AK⋅AB
BK =
√x2+1
，
∴BN=AM=
√x2+1
，
∵cos∠ABK=BM
AB =AB
BK
，
∴BM=AB⋅AB
BK =
√x2+1
，
∴MN=BM−BN=
√x2+1
∵S△OMN=1
4MN2=(1−x)2
4x2+4
，
∴y =x 2−2x+1
4x 2+4(0<x <1)；
当点K 在线段AD 上时，则110=x 2−2x+1
4x 2+4
， 解得：x 1=3(不合题意舍去)，x 2=13，
当点K 在线段AD 的延长线时，同理可求y =
x 2−2x+14x 2+4(x >1)， ∴110=x 2−2x+1
4x 2+4，
解得：x 1=3，x 2=13(不合题意舍去)，
综上所述：k 的值为3或13时，△OMN 的面积为110．
【知识点】四边形综合
【解析】(1)由“AAS ”可证△ABM≌△BCN ，可得AM =BN ；
(2)连接OB ，由“SAS ”可证△AOM≌△BON ，可得MO =NO ，∠AOM =∠BON ，由余角的性质可得∠MON =90°，可得结论；
(3)由勾股定理可求BK 的值，由面积法可求AM =BN =√x 2+1，由锐角三角函数可求BN 的值，可求MN 的长，由三角形面积公式可求y =x 2−2x+1
4x 2+4(0<x <1)，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数，利用参数求线段的长度是本题的关键．
25.【答案】解：(1)∵二次函数图象过点B(4,0)，点A(−2,0)，
∴设二次函数的解析式为y =a(x +2)(x −4)，
∵二次函数图象过点C(0,4)，
∴4=a(0+2)(0−4)，
∴a =−1
2
， ∴二次函数的解析式为y =−12(x +2)(x −4)=−12x 2+x +4；
(2)存在，
理由如下：如图1，取BC 中点Q ，连接MQ ，
∵点A(−2,0)，B(4,0)，C(0,4)，点P 是AC 中点，点Q 是BC 中点，
∴P(−1,2)，点Q(2,2)，BC =√(4−0)2+(0−4)2=4√2，
设直线BP 解析式为：y =kx +b ，
由题意可得：{2=−k +b 0=4k +b
， 解得：{k =−25b =85
∴直线BP 的解析式为：y =−25x +85，
∵∠BMC =90°
∴点M 在以BC 为直径的圆上，
∴设点M(c,−25c +85)，
∵点Q 是Rt △BCM 的中点，
∴MQ =12BC =2√2， ∴MQ 2=8，
∴(c −2)2+(−25c +85−2)2=8，
∴c =4或−2429，
当c =4时，点B ，点M 重合，即c =4，不合题意舍去，
∴c =−2429，则点M 坐标(−2429,5629
)， 故线段PB 上存在点M(−2429,5629)，使得∠BMC =90°；
(3)如图2，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，设直线DK 与BC 交于点N ，
∵点A(−2,0)，B(4,0)，C(0,4)，点D 是AB 中点，
∴点D(1,0)，OB =OC =4，AB =6，BD =3，
∴∠OBC =45°，
∵DE ⊥BC ，
∴∠EDB =∠EBD =45°，
∴DE =BE =√2=3√22
， ∵点B(4,0)，C(0,4)，
∴直线BC 解析式为：y =−x +4，
设点E(n,−n +4)，
∴−n +4=32，
∴n =52，
∴点E(52,32)，
在Rt △DNE 中，NE =DE tanθ=3√225
3=9√210，
①若DK 与射线EC 交于点N(m,4−m)，
∵NE =BN −BE ， ∴9√210=√2(4−m)−
3√22， ∴m =85
， ∴点N(85,12
5)，
∴直线DK 解析式为：y =4x −4，
联立方程组可得：{y =4x −4y =−12x 2+x +4， 解得：{x 1=2y 1=4或{x 2=−8y 2=−36
， ∴点K 坐标为(2,4)或(−8,−36)；
②若DK 与射线EB 交于N(m,4−m)，
∵NE =BE −BN ，
∴9√210=3√22−√2(4−m)，
∴m =175，
∴点N(175,35)，
∴直线DK 解析式为：y =14x −14，
联立方程组可得：{y =14x −14y =−12x 2+x +4
， 解得：{x 3=3+√1454y 3=−1+√14516或{x 4=3−√1454y 4=−1−√14516
， ∴点K 坐标为(3+√1454,−1+√14516)或(3−√1454,−1−√14516)， 综上所述：点K 的坐标为(2,4)或(−8,−36)或(
3+√1454,−1+√14516)或(3−√1454,−1−√14516
).
【知识点】二次函数综合 【解析】(1)设二次函数的解析式为y =a(x +2)(x −4)，将点C 坐标代入可求解；
(2)利用中点坐标公式可求P(−1,2)，点Q(2,2)，由勾股定理可求BC 的长，由待定系数法可求PB 解析式，设点M(c,−25c +85)，由两点距离公式可得(c −2)2+(−25c +85−
2)2=8，可求c =4或−2429，即可求解；
(3)过点D 作DE ⊥BC 于点E ，设直线DK 与BC 交于点N ，先求出DE =BE =√2=3√22，由锐角三角函数可求NE =DE tanθ=9√210，分DK 与射线EC 交于点N(m,4−m)和DK 与射线EB 交于N(m,4−m)两种情况讨论，求出直线DK 解析式，联立方程组可求点K 坐标． 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，中点坐标公式，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．。