第八章 附有限制条件的间接平差

⎡ w1 ⎤
⎢⎢v
2
⎥ ⎥
⎢ ⎢
0
0
1
⎢⎢⎢vv43
⎥ ⎥ ⎥
=
⎢−1 ⎢⎢− 1
1 0
0 1
⎢ ⎢
v5
⎥ ⎥
⎢ 0 −1 1 ⎢
⎢v6 ⎥ ⎢ 0 −1 0
0 0 0 0 1
⎥
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
xˆ1 xˆ 2 xˆ3 xˆ 4
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎥
−
⎢ ⎢
w2
⎢ ⎢ ⎢
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
∧
σ0 = ±
V T PV = ± r
19.75 = 2.2mm 4
⎢⎢⎢⎡σσXX∧∧12
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎢
∧
σ0
∧
σ0
∧
0.5320= ±1.6mm⎥⎤ 0.7739= ±1.9m⎥ ⎦
⎢⎢⎣σ0 1.1432= ±2.35mm⎥⎥⎦
+ W
CT x=
K 0
s
−
BT
Pl
=0
矩阵表示：
⎡ ⎢ ⎣
N bb C
CT 0
⎤ ⎡ xˆ ⎤
⎥ ⎦
⎢ ⎣
K
s
⎥ ⎦
−
⎡ B T Pl
⎢ ⎣
Wx
⎤ ⎥ ⎦
=
0
⎡ ⎢
∧
x
⎢⎣ K s
⎤ ⎥ ⎥⎦
=
⎡ ⎢ ⎣
N bb C
C T ⎤ − 1 ⎡ B T Pl ⎤
0
⎥ ⎦
⎢
⎥
⎣ Wx ⎦
N cc
xˆ
=
N
−1 bb
P
n×n
C
s×u
xˆ −
u ×1
Wx
s ×1
=
0
极值函数：
φ
= V T PV
+
2K
T
s
(C xˆ
−
Wx
)
=
min
∂φ
∂ xˆ
= 2V T PB
+
2
K
T
s
C
=0
B T PV + C T K s = 0
B T PB xˆ + C T K s − B T Pl = 0
法方程式
⎧ ⎨ ⎩
N C
bb
xˆ
xˆ −
⎢ ⎢
0
0
⎢ ⎢ ⎢
v3 v4
⎥ ⎥ ⎥
=
⎢−1
⎢ ⎢
−
1
1 0
⎢ ⎢
v5
⎥ ⎥
⎢ 0 −1 ⎢
⎢v6 ⎥ ⎢ 0 −1
⎢⎣v7 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 0
0 1 0 1 1 0 0
0⎤
⎡0⎤
0 0 0 0 1
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
∧
x1
∧
x2
∧
x3
∧
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎢ ⎢
x
4
⎥ ⎥
−
⎢⎢0
⎥ ⎥
⎢4⎥
⎢ ⎢
3⎥⎥
⎢7⎥ ⎢⎥ ⎢2⎥
− 1⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎢⎣0⎥⎦
限制条件：
∧
x1 = 0
⎡ 0.91 ⎤
定权，取C=1：
⎢ ⎢
0.59
⎥ ⎥
P1Xˆ 2 h1
h6 P3 Xˆ4
⎢0.43 ⎥
A
⎢⎢0.37
⎥ ⎥
h5 h3 h7
⎢0.42 ⎥ ⎢⎥ ⎢ 0 .71 ⎥ ⎢⎣0.38 ⎥⎦
(
B
T
Pl
− CT Ks)
Ks
= (CN
−1C
bb
T
) −1 (CN
W − 1
bb
−Wx)
=
N
−1 cc
(
CN
W −1
bb
−Wx)
第二节 精度评定
一、计算单位权中误差
∧
σ0 = ±
V T PV r
二、协因数阵
三、平差值函数的协因数
∧
∧
ϕ =φ(X)
∧
dϕ
=
∂φ
∧
d
∧
X
= FTd
∧
X
∂X
Q∧ ∧ = F TQ∧ ∧ F
w3 w4
⎢ ⎢
w5
⎢ w6
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣v7 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 0 0 − 1⎥⎦
⎢⎣w7 ⎥⎦
A h5
h2
Xˆ 3
P2
限制条件： xˆ1 = 0
h6 P3 Xˆ4
h3 h7
h4
Xˆ1
B
基础方程线性化形式：
V T PV = 最小
V = B xˆ − l
n×1 n× u u ×1 n×1
ϕϕ
XX
四、附有限制条件平差的间接平差计算步骤
1. 根据平差问题的具体情况，设定参数，列出误差方程式与 限制条件。
2. 根据观测值的权组成法方程式。
3. 解算法方程，求出联系数X与K值。
4. 将K与x值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差值与
参数平差值。 ^
L = L+V
Xˆ = X 0 + xˆ
5. 精度评定。
例：如图，A、B是已知的高程点，P1、P2、P3 是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按间 接平差求各点的高程平差值。
路线号
1 2 3 4 5 6 7
观测高差 （m） +1.359 +2.009 +0.363 +1.012 +0.657 +0.238 -0.595
路线长度 （km）
1.1 1.7 2.3 2.7 2.4 1.4 2.5
已知高程 （m)
HA=5.016 hAB=1.000 (HB=6.016)
P1 h1 A
h5
h2 P2
h6 P3 h3 h7 h4 B
解：1、列误差方程 n=7, t=5-1-1=3, r=7-3=4
U=4，S=1
设B、P1、P2、P3点的高程为未知参数 Xˆ1, Xˆ2, Xˆ3, Xˆ4
V = B xˆ − l
n×1 n×u u ×1 n×1
Φ ( xˆ ) = 0
( u − t ),1
Cxˆ +Wx = 0
－－附有限制条件间接平差函数模型
举例： n=7, t=5-1-1=3, r=7-3=4
设B、P1、P2、P3点的高程为未知参数
P1Xˆ 2
误差方程：
h1
⎡ v1 ⎤ ⎡ 0 1 0 0 ⎤
=
⎢−
⎢ ⎢
−
4.3⎥ 0.1⎥⎥
⎢ ⎢
v
5
⎥ ⎥
⎢v6 ⎥
⎢− 3.9⎥
⎢ ⎢
−
0.6
⎥ ⎥
⎢⎣v7 ⎥⎦ ⎢⎣ − 1.1⎥⎦
⎡H A⎤
⎢∧⎥
⎢ X1 ⎥
⎢ ⎢
∧
X
2
⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎢⎣
∧
X
∧
X
3 4
⎥ ⎥ ⎥⎦
=
⎡ 5.0160
⎢ ⎢
6.0160
⎢ 6 .3748
⎢ ⎢
7
.0279
⎢⎣ 6 .6121
第七章 附有限制条件的间接平差
第一节 基础方程和它的解 第二节 精度评定
一、 基础方程和它的解
刚好选t个独立参数： V = B xˆ − l n×1 n×t t ×1 n×1
由( B T PB ) xˆ − B T Pl = 0 可以唯一求出 xˆ
若在t个独立参数基础上，多选了s个参数，即共 选了u＝t＋s个参数：
相应的近似值
X
0 1
=
H
A
+1
=
6 . 016
X
0 2
=
H
A
+
h1
=
6 . 375
X
0 3
=
H
A
+
h2
=
7 . 025
X
0 4
=
X
0 1
−
h7
=
6 .615
列误差方程：
P1Xˆ 2 h1
A h5
h6 P3 Xˆ4 h3 h7
h2
Xˆ 3
P2
h4
Xˆ1
B
误差方程：⎡ v1 ⎤ ⎡ 0 1
⎢ ⎢
v
2
⎥ ⎥
h2
Xˆ 3
P2
h4
Xˆ1
B
⎡⎤
⎢∧⎥
⎢x2 ⎥
⎢ ⎢
∧
x3
⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎢⎣
∧
x4
∧
x5
⎥ ⎥ ⎥⎦
=
⎡
⎢ ⎢
0 .000
⎢ − 0 .258
⎢ ⎢
2 .860
⎢⎣ 1 .100
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎡ v1 ⎤ ⎡ − 0.3⎤
⎢ ⎢
v2
⎥ ⎥
⎢ ⎢
2.9
⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎢
v3 v4
⎥ ⎥ ⎥