北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》4.4探索三角形相似的条件第2课时相似三角形的判定1

探索三角形相似的条件（典型题汇总）
第1课时相似三角形的定义及其判定1 知识点 1 对相似三角形定义的理解
1．下列说法中错误的是( )
A．两个全等三角形一定相似
B．两个直角三角形一定相似
C．两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例
D．相似的两个三角形不一定全等
2．已知△ABC∽△A′B′C′，且BC∶B′C′＝AC∶A′C′，若AC＝3，A′C′＝4.5，则△A′B′C′与△ABC的相似比为( )
A．1∶3 B．3∶2 C．3∶5 D．2∶3
3．一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则该三角形的最短边是( )
A．6 B．9 C．10 D．15
4．如图4－4－1，已知△ADE∽△ACB，且∠ADE＝∠C，则AD∶AC等于( )
图4－4－1
A．AE∶AC
B．DE∶CB
C．AE∶BC
D．DE∶AB
5．若△ABC∽△A′B′C′，AB＝2，BC＝3，A′B′＝1，则B′C′等于( )
A．1.5 B．3 C．2 D．1
6．如图4－4－2所示，已知△ABC∽△ADE，AD＝6 cm，BD＝3 cm，BC＝9.9 cm，∠A
＝70°，∠B＝50°.
求：(1)∠ADE的度数；
(2)∠AED的度数；
(3)DE的长．
图4－4－2
知识点 2 利用两角分别相等判定三角形相似
7．如图4－4－3所示的三个三角形，相似的是( )
图4－4－3
A．(1)和(2) B．(2)和(3)
C．(1)和(3) D．(1)和(2)和(3)
8．教材习题4.5第3题变式题如图4－4－4，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则图中相似三角形有( )
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
图4－4－4
图4－4－5
9．如图4－4－5，添加一个条件：__________(写出一个即可)，使△ADE∽△ACB.
10．将两块大小一样的含30°角的直角三角板叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合(如图4－4－6)，AC与BD相交于点E.连接CD，请写出图中的一对相似三角形，并加以证明．
图4－4－6
11．如图4－4－7，在▱ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论中错误的是
图4－4－7
( )
A．△ABE∽△DGE
B．△CGB∽△DGE
C．△BCF∽△EAF
D．△ACD∽△GCF
12．如图4－4－8，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
4－4－8
4－4－9
13．如图4－4－9，已知P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与△ABC相似，则点D的位置最多有________处．
14．如图4－4－10，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E.求证：△ABD∽△CBE.
图4－4－10
15．如图4－4－11，△PMN是等边三角形，∠APB＝120°，求证：AM·PB＝PN·AP.
图4－4－11
16．如图4－4－12，点D在等边三角形ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC 相交于点F.
(1)求证：△ABD∽△DCF；
(2)除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．
图4－4－12
17．如图4－4－13，在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)，点B(8，0)．动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t秒．
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？并求出此时点P与点Q的坐标．
图4－4－13
详解
1．B 2.B
3．B [解析] 设与它相似的三角形的最短边的长为x，
∵一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，
∴x
3
＝
21
7
，解得x＝9.故选B.
4．B [解析] 根据相似三角形的定义可知，△ADE∽△ACB，且∠ADE和∠C是对应角，因此AD，AC与DE，CB对应成比例．
5．A [解析] ∵△ABC∽△A′B′C′，
∴
AB
A′B′
＝
BC
B′C′
，即
2
1
＝
3
B′C′
，
解得B′C′＝1.5.故选A.
6．解：(1)∵△ABC∽△ADE，
∴∠ADE＝∠B＝50°.
(2)在△ADE中，∠A＋∠ADE＋∠AED＝180°，∴∠AED＝180°－70°－50°＝60°.
(3)∵△ADE∽△ABC，
∴AD
AB
＝
DE
BC
，
即
6
6＋3
＝
DE
9.9
，
∴DE＝6.6(cm)．
7．A
8．D [解析] ∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.
∵∠CAD＝∠BAC，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC.
∵∠DBC＝∠CBA，
∴Rt△ABC∽Rt△CBD，
∴Rt△CBD∽Rt△ACD.共有3对．故选D.
9．∠ADE＝∠C(答案不唯一)
10．解：答案不唯一，如△ADE∽△BDA.
证明：∵∠CAB＝30°，∠BAD＝60°，
∴∠DAE＝30°＝∠DBA.
又∵∠ADE＝∠BDA＝90°，
∴△ADE∽△BDA.
11．D [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EDG＝∠EAB.
又∵∠E＝∠E，
∴△ABE∽△DGE；
∵AE∥BC，
∴∠EDG＝∠BCG，∠E＝∠CBG，
∴△CGB∽△DGE；
∵AE∥BC，
∴∠E＝∠FBC，∠EAF＝∠BCF，
∴△BCF∽△EAF.
第四个无法证得．故选D.
12．C [解析] ∵DE∥BC，EF∥AB，
∴∠ABC＝∠ADE，∠AED＝∠ACB，∠CEF＝∠CAB，∠CFE＝∠CBA，∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，
∴图中相似三角形的对数是：3.
故选C.
13．3 [解析] ∵截得的小三角形与△ABC相似，∴过点P作AC的垂线，作AB的垂线，作BC的垂线，所截得的三角形均满足题意，则点D的位置最多有3处．
14．证明：∵在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC.
∵CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°.
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE.
15．证明：∵△PMN是等边三角形，
∴∠PMN＝60°，PN＝MP，
∴∠AMP＝180°－∠PMN＝120°＝∠APB.
又∵∠A＝∠A，
∴△AMP∽△APB，
∴AM
AP
＝
MP
PB
，
∴AM·PB＝MP·AP，
∴AM·PB＝PN·AP.
16．解：(1)证明：∵△ABC，△ADE均为等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，
∴∠ADB＋∠FDC＝∠DFC＋∠FDC，
∴△ABD ∽△DCF .
(2)∵∠C ＝∠E ，∠AFE ＝∠DFC ， ∴△AEF ∽△DCF ， ∴△ABD ∽△AEF .
∵△ABC 与△ADE 均为等边三角形， ∴△ABC ∽△ADE .
∵∠ADC ＝∠ADF ＋∠CDF ＝∠C ＋∠CDF ＝∠AFD ，又∠DAF ＝∠CAD, ∴△ADF ∽△ACD .
故除了△ABD ∽△DCF 外，图中的相似三角形还有：△AEF ∽△DCF ，△ABD ∽△AEF ，△
ABC ∽△ADE ，△ADF ∽△ACD .
17．解：(1)直线AB 的函数表达式为y ＝－3
4x ＋6.
(2)在Rt △AOB 中，由勾股定理得AB ＝10.
由题意，知AP ＝t ，AQ ＝10－2t .可分两种情况讨论： ①当∠APQ ＝∠AOB 时，有△APQ ∽△AOB ，得AP AO ＝
AQ AB ，解得t ＝30
11
，
此时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3611，Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4011，3611.
②当∠AQP ＝∠AOB 时， 有△APQ ∽△ABO ，
得AP AB ＝AQ AO ，解得t ＝5013
， 此时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2813，Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2413，6013.。