普通物理学习题1-5答案

习题1
1-1 P 点相对于原点的位矢26=-+p r i j m , P 点到Q 点的位移42∆=-r i j m, 求Q 点相对于原点的位矢并画图.
解：设Q 点相对与原点的位矢为Q r ，则：
1-2一质点作直线运动，它的运动方程是2ct bt x -=, b , c 是常数. (1) 求此质点的速度和加速度函数；(2) 作出x t -，t υ-和a t -图
解：这是一个一维的问题.
速度 (2)dx ct b dt
υ==-+， 加速度 2d a c dt
υ==-. 图略.
1-3物体按照29.4t x =的规律运动，x 的单位为米，t 的单位为秒. (1) 计算下列各时间段内的平均速度：1s 到1.1s,1s 到1.01s,1s 到1.001s; (2) 求1s 末的瞬时速度；(3) 解释上述结果
解：这也是一个一维的问题.
(1) 平均速度 x t
υ∆=∆. 1s 到1.1s 内： 22
4.9 1.1 4.911.11
x t υ∆⨯-⨯==∆-＝10.29 （m/s ）, 1s 到1.01s 内：22
4.9 1.01 4.911.011
x t υ∆⨯-⨯==∆-＝9.849（m/s ）, 1s 到1.001s 内：22
4.9 1.001 4.911.0011
x t υ∆⨯-⨯==∆-＝9.8049（m/s ）. (2) 速度 9.8dx t dt
υ==. 1-4一质点以110m s -⋅的恒定速率向东运动. 当它刚到达距出发点为d 的一点时，立即以120m s -⋅的恒定速率返回原处. 问: 质点在全过程中的平均速度和平均速率为多少？
解：取出发点为原点，向东为x 轴正方向. 从原点到x ＝d 处，作匀速直线运动，时间 11s
t υ∆∆=＝d/10.
从x ＝d 处返回原点作匀速直线运动，时间
22s
t υ∆∆=＝d/20 (
全过程中，平均速率 12
s d d t t t υ∆+===∆∆+∆13.3 （m/s ） 返回原处时，位移x ∆＝0，平均速度x t
υ∆=∆＝0. 1－5 矿井里的升降机由井底从静止开始匀加速上升，经过3s 速度达到13m s -⋅，然后以这个速度匀速上升6s ，最后减速上升经过3s 后到达井口时刚好停止. (1) 求矿井深度；(2) 作出x t -，t υ-和a t -图.
解：（1）以井底为原点，向上为x 轴正向.
在0—3s 内，升降机作匀加速直线运动:
210112
x t a t υ∆=+ (1) 2210112a x υυ=+∆. (2)
其中00υ=. 由（1）、（2）两式得：1x ∆＝4.5(m).
在3—9s 内，升降机以1υ＝3m/s 作匀加速直线运动,
21x t υ∆=＝18（m/s ） (3)
在9—12s 内，升降机作匀减速直线运动
231212
x t a t υ∆=- (4) 222
1232a x υυ=-∆, (5) 其中20υ=. 由（4）和（5）两式得3x ∆＝4.5(m)
矿井深度 123H x x x =∆+∆+∆＝4.5＋18＋4.5＝27(m).
1-6湖中有一小船，岸上有人用一根跨过定滑轮的绳子拉船靠岸。

若人以匀速υ拉绳，船运动的速度υ'为多少？设滑轮距水面高度为h ，滑轮到船初位置的绳长为0l .
解：取滑轮下水面为原点，向右为正，任意t 时刻，斜边即船到滑轮的长度为0l t υ-, 则船相对岸的位置为
x =
船运动的速度为
dx dt υυ'==－
1-7如图1-7所示, 一身高h 的人用绳子拉着雪撬匀速奔跑, 雪撬在距地面高度为H 的平台上无摩擦地滑行. 若人的速度为0υ, 求雪撬的速度和加速度.
解：取定滑轮为原点，向右为正. t ＝0时，雪橇到定滑轮原长0l ，人在滑轮正下方. 任意时刻t ，雪橇位置为x ，速度为υ，有
0x l =dx dt
υ=2, d a
dt υ=2. 1-8一火箭以20m/s 的常速度从距地面高度为50m 的悬崖边上垂直向上起飞, 7s 后燃料耗尽. 求从发射到火箭落地的时间.
解：以悬崖边为原点，向上为正. 火箭先以0υ＝20m/s 向上作匀速直线运动，7s 时, 其位置为 10y t υ=＝20×7＝140(m).
然后作匀加速运动, t 时刻其位置为
221012
y y t gt υ=++. 到落地时应有 －50＝140＋20t －25t .
于是得 t ＝15.6s.
1-9两个物体 A 和 B 同时从同一位置出发同向运动, 物体A 做速度为10m/s 的匀速直线运动, 物体B 做初速度为零的匀加速直线运动, 加速度为12m /s . (1) 当物体B 追上物体A 时,他们距离出发位置多远? (2) 此前, 他们什么时候相距最远?
解：(1) A 作匀速直线运动: A A x t υ=, (1)
B 作匀加速直线运动 2201122
B x t at at υ=+=. (2) 当B 追上A 时， A B x x =. (3)
由(1),(2),(3)可得： 220A t s a
υ==, 200A B x x m ==.
（2）两者相距 212
A B A s x x t at υ=-=-. 令上式对t 的导数为0, 得t ＝10s, 此时，它们相距最远:
max s =＝50m.
1-10一电梯以加速度1.222m /s 上升. 当电梯速度为2.44m/s 时,一个螺丝从电梯天花板落下, 天花板到地板的高度为 2.74m. 求螺丝从天花板落到地板的时间和它相对电梯外柱子的位移.
解：取螺钉脱离时开始计时, 取此时的电梯顶为原点，向上为正，电梯向上
作匀加速运动: 210012
x x t at υ=++, (1) 螺钉向上作匀减速运动: 22012
x t gt υ=-, (2) 螺钉落到电梯地板上时, 12x x =. (3)
由(1), (2), (3)可得： t ＝0.705s,
2x ＝0.717m.
1-11一质点以初速率0υ和相对地面为α的仰角斜上抛出. 忽略空气阻力, 试证明质点到达最高位置的时间和高度分别为0sin /t g υα=, 220sin /2=h g υα, 而
水平最大位移为20
sin 2/=R g υα. 证明：质点以初速率0υ和相对地面为α的仰角斜上抛出，可将质点运动分解为水平方向匀速直线运动和垂直方向匀加速直线运动. 以起抛点为原点，向上为y 轴正向,则有 0cos x t υα=, (1)
201sin 2
y t gt υα=-, (2) 0sin y gt υυα=-. (3)
当质点到达最高位置时，0y υ=, 由(3)得
0sin /t g υα=.
将上式代入(2)，可得 220sin /2=h g υα.
质点回到地面时, y ＝0. (4)
由(1),(2),(4)可得水平最大位移 20sin 2/X g υα=.
1-12一小球以相对地面为α的仰角斜上抛出. 小球在最高位置的速度为12.25m/s, 落地点到抛出点的距离为38.2m. 忽略空气阻力, 求小球的初速率和达到的最大高度.
解：同上题，小球在最高位置速度为：
0cos t υα＝12.25 m/s, (1)
落地点到抛出点距离： 20sin 2/X g υα=＝38.2 m/s, (2) 最大高度： 220sin /2=h g υα (3)
由(1),(2),(3)可得 0υ＝119.6m s -⋅ , α＝'5117o , h ＝11.9m.
1-13一小球以10m/s 的初速率从距地面高度为50m 的悬崖边上水平抛出. 求:
(1) 小球落地时飞行的时间; (2) 落地位置; (3) 小球飞行中任意时刻的速度. 解：可将质点运动分解为水平方向匀速直线运动和垂直方向匀加速直线运动.以抛出点为原点，向上为y 轴正向,则有
0x t υ=, (1)
212
y gt =-, (2) y gt υ=-. (3) 小球落地时y ＝-50 m ，带入（2）式，可得小球飞行时间t ＝3.19s.
落地位置 0x t υ=＝＝31.9m,
任意时刻小球的飞行速度 υ=
速度的方向角 cot 0.98ar t θ=.
1-14 一列火车以70km/h 的速率奔跑, 车上一个信号灯挂在距地面高度为
4.9m 的位置, 当灯过地面某处时开始落下. (1)当灯落地时,求灯与车之间的距离以及灯的落地点与开始下落处的距离. (2) 求灯相对车和相对地的运动轨迹. 解：设该地为原点，车行进方向为x 轴正向，y 轴向上为正
(1) 灯相对于车在水平方向无位移，灯与车之间的距离为0; 相对于地，灯在垂直方向作自由落体运动，水平方向作匀速直线运动:
x t υ=, (1)
212
y gt =-, (2) 落地时，取y ＝0，由上两式得 x ＝20 m. 从上两式中消去t ，得到运动轨迹:
24.90.02y x =-.
(2) 灯相对于车作自由落体运动:
2012
y y gt =-. (3) 1-15 地面上一根旗杆高20.0m, 中午时太阳正位于旗杆上方. 下午2点时旗杆影子的运动速度多大? 什么时候旗杆影子的长度等于20.0m?
解：设旗杆和旗杆影子的长度分别为H 和x , 则有
=x Htg θ,
而旗杆影子的运动速度为 2cos ==dx H dt ωυθ
, 所以,下午2点时旗杆影子的运动速度是
4
3220.72710 1.93910/cos cos /6H H m s ω
υθπ--⨯===⨯. 令H 和x 相等,则 3t =点钟(15时).
1-16一质点的加速度为64=+a i j 2m /s , 0=t 时质点速度等于零, 位矢为010=r i m. 求: (1) 质点在任意时刻的速度和位矢. (2) 质点在x y -平面内的轨迹方程并画出轨迹示意图.
解： （1）t ＝0时，00υ=，010=r i m
由 22
==d d r a dt dt υ得 υ＝0
d ⎰
t t a t +0υ＝0d ⎰t t a t ＝(6t i +4t j )-1m s ⋅ r = 0d ⎰t t v t +r 0= (
2103)t +i +22t j (2)由r = (2103)t +i +22t j
得x ＝(
2103)t +；y ＝22t ， 消去t 得到轨迹方程:
2023-=x y .
1-17 一质点的运动方程(SI)为
23010t t x +-=, 22015t t y -=, 求: (1) 质点初速度的大小和方向; (2) 质点加速度的大小和方向.
解 （1）=dr dt υ=d d x t
i +d d y t j =(－10+60t )i +(15－40t ) j , 质点初速度 υ|t ＝0＝－10i ＋15j ()-1m s ⋅,
大小118.03m s υ-=⋅，方向角(与x 轴夹角) arctg （-2/3）=12341'o .
（2）a =d d x t
υi +d d y t υj ＝60i –40j, 大小 a ＝272.11m s -⋅,
与x 轴夹角：arctg （a x /a y ）＝arctg （-3/2）=5618'-o .
1-18 小球以30m/s 的初速率水平抛出. 求小球抛出后5s 时的切向加速度和法向加速度.
解：小球的运动方程r = 0t υi 212gt -j 30t =i 212
gt -j , υ＝d d r t
＝30i gt -j ,
υ= d d υ=a t
＝g -j 当5t s =时, t a ＝d
d t υ2＝8.4 2m/s ,
n a 5.1 2m/s .
1-19 一人在静水中的划船速度为1.1m/s, 他现在想划船渡过一宽为4000m, 水流速度为0.55m/s 的河. (1) 如果他想到达正对岸的位置, 应对准什么方向划船? 渡河时间多长? (2) 如果他想尽快渡河, 应对准什么方向划船? 沿河方向上的位移是多少?
解： 设静水中的划船速度为0υ=1.1m/s, 水流速度为u =0.55m/s, 河宽为l =4000m. （1）如果他想到达正对岸的位置, 应对准的方向为偏向上游,角度为
01arcsin arcsin 302u θυ⎛⎫===
⎪⎝⎭o , 渡河时间 30 4.19710 1.17cos l t s h υθ
∆==⨯=. (2) 如果他想尽快渡河, 方向为0θ=, 沿河方向上的位移为
2002s u t m =∆=.
1-20 一条船沿着平行于海岸的直线航行, 到海岸的距离为D , 航速为1υ. 为拦截这条船, 一快艇以速率2υ从港
口A 驶出, 如图所示. 已知12>υυ. (1) 试证快艇必须在船到达距离港 口为x 处之前开出, 2=x (2) 若快艇尽可能晚开出, 它在什么 题1-20图
位置和什么时间拦截到这条船?
解：（1）由A 点做直线AB 垂直于AC, 则
2=x D , 所以
2=
x （2） 由于
==l D 而2=l t υ,所以
=t 则
=l
1-21 一架飞机从甲地向南飞到乙地又返回甲地, 甲乙两地的距离为l . 若飞机相对空气的速率为υ, 空气相对地面的速率为u , 且飞机相对空气的速率保持不变, 试证明:
(1) 若空气静止,即0u =, 则飞机往返时间为02l t υ
=; (2) 若刮北风, 则飞机往返时间为012
21t t u υ
=-; (3) 若刮西风,
则飞机往返时间为2t =证：（1）飞机相对空气的速率为υ, 空气相对地面的速率为u 。

空气静止,即0u =，这飞机相对地面的速率为υ, 飞机往返时间为
02l t υ
=. （2）x 轴向东，y 轴向北建立坐标系。

若刮北风，空气相对地面的速度
为牵连速度为－u ，飞机从甲地向南飞到乙地时，飞机相对于大地的速度为
u υυ=--机地；又返回甲地飞机相对于大地的速度为u υυ'=-机地
，飞机往返时间为 01221t l l t u u u υυυ
=+=+-- （3）若刮西风，υ机地方向沿y 轴，则飞机相对空气的速率在直角三角形斜
边上， υ机地
飞机往返时间为
2t =
.
习 题 2
2-1 如图所示, 水平桌面上有两个紧靠着的物体, 水平力F 作用在左边物体上,试求两物体间的作用力. 已知kg m 0.21=，kg m 0.12=，F =15N ，两物体与桌面的摩擦系数为0.20.
B 题2-3图
解：设两物体间的作用力大小为12F ，由牛顿第二定律
1211F F m g m a μ--=, (1)
1222F m g m a μ-=, (2)
消去a ，得 12F =5N.
2-2一质量50kg 的货物，放在与水平面成30o 的斜面上，货物与斜面的摩擦系数为0.20. 要使货物以-25.0m s ⋅的加速度沿斜面上升，需用多大的水平推力？
解：设水平推力为F ，θ＝30o ，μ＝0.2，在斜面方向上以向上为正,则有 解得 669.5=F N .
2-3 如图所示，一个斜面与水平面的夹角为30o ，A 和B 两物体的质量都是0.20kg ，物体A 与斜面的摩擦系数为0.40. 求两物体运动时的加速度，以及绳对物体的拉力. 绳与滑轮之间的摩擦力以及绳与滑轮的质量均略去不计.
解：设两物体运动时的加速度a ，绳对物体的拉力为T ，假定B 往下运动，则有 sin cos T mg mg ma θμθ--=, (1)
mg T ma -=. (2)
由(1),(2)式得 a ＝20.753()m s -⋅，T =1.81N.
2-4 一木块能在与水平面成α角的斜面上以匀速滑下. 若使它以速率0υ沿此斜面向上滑动, 试证明它沿该斜面向上滑动的距离为0/4sin g υα.
证：木块能在与水平面成α角的斜面上以匀速滑下，有
sin cos 0mg mg αμα-=, (1)
若使它以速率0υ沿此斜面向上滑动，有
cos sin mg mg ma μαα+=, (2)
2210
2a S υυ=+∆, (3) 而10υ=,于是得 0/4sin S g υα∆=.
2-5 如图所示，将质量为10kg 的小球挂在倾角030=α光滑斜面上. 问: (1)当斜面以/3=a g 的加速度水平向右运动时，绳中的张力及小球对斜面的正压力为多大？(2) 当斜面的加速度至少多大时，小球对斜面的正压力为零.
解：（1）设绳中的张力T ，小球对斜面的正压力为N ，/3=a g ，将小球受力分解在水平和垂直方向上,则有
cos sin T N ma αα-= （1）
sin cos 0Mg T N αα--=. （2）
联立上两式,解得 77.3T =N, 68.5N =N.
（2）同上，在（1），（2）两式中取N ＝0，可解得
217.0a m s -≥⋅.
2-6 如图所示，在水平桌面的一端固定着一只轻定滑轮. 一根细绳跨过定滑轮系在质量为1.0kg 的物体A 上，另一端系在质量为0.50kg 的物体B 上. 设物体A 与桌面间的摩擦系数为0.20, 求物体A 、B 的加速度. 绳与滑轮间的摩擦力以及绳与滑轮的质量均略去不计.
a m a =,
b m a . 可解得 a ＝296.1-⋅s m .
2-7如图所示，一根细绳跨过一光滑的定滑轮，
绳两端分别悬挂着质量为1m 和2m 的物体，1m >2m .
求物体的加速度及绳对物体的拉力. 绳与滑轮间的
摩擦力可以略去不计，绳不伸长，滑轮和绳的质量
也可略去不计.
解：设物加速度.为a ，绳对物体的拉力为T ，有
11m g T m a -=. （1）
22T m g m a -= （2）
可解得： a ＝g m m m m 2
112+-, 1m
2 T ＝g m m m m 2
1212+. 题2-7图
h
题2-8图 2-8 如图所示, 重量为1Q 和2Q 的两物体用跨过定滑轮的细绳连接，1Q >2Q . 如开始时两物体的高度差为h ，求由静止释放后，两物体达到相同高度所需的时间. 不计滑轮和绳的质量及摩擦.
解：设物加速度.为a ，绳对物体的拉力为T ，两物体达到相同高度所需的时间为t ，有 11m g T m a -=. （1）
22T m g m a -= （2）
两物体达到相同高度时1Q 下降高度为
2122
h at =, （3） 于是得 t ＝
. 2-9有两块混凝土预制板块放在木板上，甲块质量200kg, 乙块质量100kg.木板被起重机吊起送到高空. 试求在下述两种情况中，木板所受的压力及乙块对甲块的作用力：(1) 匀速上升；(2) 以21m s -⋅的加速度上升.
解：（1）设木板所受的压力为N ，乙块对甲块的作用力12F ，1m =200kg ，2m ＝100kg. 木板匀速上升时,有 1120N m g F --=, (1)
1220F m g -=. (2)
可得： 12F ＝980N , N ＝N 31098.2⨯.
（2）木板以a ＝21m s -⋅的加速度上升时,则有
1121N m g F m a --=, (3)
1222F m g m a -=. (4)
可得12F ＝N 31008.1⨯ ; N ＝N 31024.3⨯
2-10 一质量为60kg 的人乘电梯上楼. 电梯先以20.40m s -⋅的加速度上升, 速率达到11.0m s -⋅后匀速上升. 试求在上述两过程中，人对电梯地板的作用力.
解：（1）设人对电梯地板的作用力N ，电梯先以20.40m s -⋅的加速度上升,则有 N mg ma -=,
则 N mg ma =+＝612N.
（2）速率达到11.0m s -⋅后匀速上升,则
0N mg -=,
N mg =＝588N.
2-11 半径为R 的半球形碗内有一粒质量为m 的小钢球. 若小钢球以角速度ω在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时，它距碗底有多高？
解：设距碗底有高h ，则小钢球圆周运动的半径为r ，小球受力重力mg ，和指向碗中心的压力N ，则有
cos 0N mg θ-=, （1）
2cos N mr θω=, （2）
sin /r R θ=. （3）
可解得： h ＝2ω
g R -. 2-12 一根柔软而均匀的链条，长为l ，单位长度的质量为λ. 将此链条跨过一无摩擦的轻而小的定滑轮，一边的长度为)2/(l x ≤，另一边的长度为x l -. 现
将链条由静止释放，试证明链条的加速度为 g l
l x a -=
2. 证：以链条为研究对象，分析受力，任意时刻下垂部分长为x ，质量λx ，另一边的长度为x l -，质量λ(l －x )，则有
T －λxg ＝λxa , (1)
λ(l －x )－T =λ(l －x )a . (2)
可解得: 2l x a g l
-=. 2-13 气球及载荷的总质量为m ，以加速度a 向上升，问气球的载荷增加多少，才能使它以相同的加速度向下降落.
解：气球及载荷系统受到向上升力T 和重力
T －mg ＝ma . （1）
载荷增加X ，它以相同的加速度向下降落
（X ＋m ）g －T ＝（X ＋m ）a. （2）
消去T ，可得：
X =2a m g a
-. 2-14 长为l 的细绳一端系一质量为m 的小球, 使小球从悬挂着的位置以初速度为0υ在铅直平面内绕细绳的另一端开始作圆周运动. 用牛顿定律求小球在任意位置时的线速度和绳的张力（不计空气阻力）
解：取小球为对象，设任意位置时的线速度为υ，小球受重力和绳的张力T ，线与垂直方向夹角为θ，，根据牛顿定律，有
切向： mg sin θ＝m d dt
υ, （1） 法向： 2cos N mg m r θυ-=. （2）
对（2）求导数，得
sin 2dN d d mg m dt dt r dt
θυυθ+=. （3） 由（1）得 sin d g dt
υθ=. （4） 又 d r dt
θυ=. （5） 由（4），（5）得小球在任意位置时的线速度v
υ=. 将（4）与.(5)代入（3），再积分可得张力
N =2
0(23cos )m g g l υθ-+.
. A O
2-15 一质量为m 的小球最初位于如图所示 的A 点，然后沿半径为r 的光滑圆弧的内表面 ADCB 下滑. 试求小球过C 点的角速度和对圆 弧表面的作用力. 题2-15图
解：取小球为对象，设任意位置时的线速度为υ，小球受重力和绳的张力T ，线与垂直方向夹角为θ，，根据牛顿定律，有
切向： mg sin θ＝m d dt
υ, （1） 法向： 2cos N mg m r θυ-=. （2）
对（2）求导数，
sin 2dN d d mg m dt dt r dt
θυυθ+=. （3） 由（1）得 sin d g dt
υθ=. （4） 又 d r dt
θυ=, （5） 由（4），（5）得小球在任意位置时的线速度
υ=. 角速度
r υ
ω==将（4）与.(5)代入（3），再积分可得圆弧表面的对小球作用力
N =3sin mg θ.
2-16 质量为m 的物体以初速度0υ沿水平方向抛出. 试求在任意时刻作用在物体上的切向力和法向力.
解：取物体为对象，设任意位置时的线速度为υ，小球受重力和碗的支持力T ，根据牛顿定律，小球的运动方程为
r = 0t υi 212
gt -j , υ＝d d r t
＝0υi gt -j ,
υ= d d υ=a t ＝g -j t a ＝d d t
υ2,
(1) n a =
(2) 由牛顿第二定律：
F ma ττ=
,
n n F ma ==. 2-17 一质量为10kg 的质点在力F =120t +40（N ）作用下沿x 轴作直线运动.在t =0时，质点位于0 5.0m =x , 初速度0 6.0m/s υ=. 求质点在任意时刻的速度和位置.
解：由 F ＝m d dt
υ （1） 得 ()2206040646t t t t υυ=++=++. （2）
又 dx dt υ=
. （3） 0200(6t +4t +6)t
t
x x dx dt dt υ==⎰⎰⎰. 得： x ＝562223+++t t t . （4）
2-18 如图所示，一斜面的底边长 2.1m =l ，倾角为α. 一个质量为m 的物体从斜面顶端由静止开始下滑，摩擦系数为0.14=μ. 问：倾角α多大时物体从斜面顶端滑到底端的时间最短，这个时间是多少？
解： 沿斜面方向有
mg sin α－μ mg cos α＝m d dt
υ. （1） 积分, 得 υ＝（g sin α－μ g cos α）t .
又 dx dt
υ=, （2） 积分得 ()21sin cos 2
x g g t αμα=-. （3） l cos α＝l x
； sin α （4） 题2-18图 将（4）代入（3），整理可得当α＝49o 时，t 取最小值t ＝0.99s.
2-19一质量为m 的物体，最初静止于0x 处. 在力2=-
k F x 的作用下沿直线运动，试证它在x 处的速度为 =υ证： 由于 F ＝m
d dt υ, 有 d t =m F
dx d υυ=,
即 2k dx d m x υυ=-
. 积分,得 020
x x k dx d m x υυυ=-⎰⎰. 即
=υ2-20 初速度为0υ、质量为m 的物体在水平面内运动，所受阻力的大小正比于质点速率的平方根，求物体从开始运动到停止所需的时间.
解：阻力F ＝－
则有
－
m
d dt υ, 即 d t
＝υ.
积分:
00v t v m dt k υ-=⎰⎰. 可得 t
2-21 作用在质量为m 的物体上的合力是kt F F -=0 ，其中0F 和k 都是恒量，t 是时间，求物体的加速度，并用积分法求出速度和位置方程. 已知00=t 时，00=υ，00=x .
解：由 F = m
d dt υ, 得 0F d k t dt m m
υ=-. 积分得 20()2F k t t t m m υ=
-. 对上式积分,得 2300()26t
F k x t dt t t m m
υ==
-⎰. 2-22 质量45.0kg =m 的物体以初速度0υ=60.0m/s 由地面竖直上抛 ，空气阻力(),0.03N/m/s υ==F k k . 求物体上升的最大高度和所用的时间.
解：取向上为正方向,有
d m
mg k dt
υυ=--, (1) 分离变量，得 d k dt mg m k υυ=-+, (2) 积分,得 0()k t m m m g e g k k
υυ-=+-. (3) 令0υ=，得上升到最大高度所用的时间: 6.11s t ≈. 由(3)式可得最大高度
000()183t t
k t m m m H dt g e g dt m k k υυ-⎡⎤==+-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰. 2-23 质量为m 的物体以初速度0υ由地面竖直上抛 ，空气阻力2,=F km k υ是常数. 求：物体上升的最大高度和回到地面所用的时间.
解：（1）上升段：同上题，向上为正,有
－mg －2km υ＝m d dt
υ, （1） 得 2d dt g k υυ
=-+ （2） 令0υ=, 可得上升到最大高度所用的时间
:
00
12d t g k υυυυ⎛=-= +⎝⎰. 又 dy dt
υ=
, （3） 将（2）代入上式积分, 得物体上升的最大高度 0000
20H
d H dy dt g k υυυυυυ===-=+⎰⎰⎰201ln 2g k k g υ+. （2）下降时有 2d mg km m
dt υυ-=, 即 dt 2d g k υυ
=
-. （5） 积分, 得下降时间
220d t g k υυυ'==-⎰. （6） 又dy dt υ=,由（5）得 0
20H d dy k g υυ
υυ'=-⎰⎰.
得落地时速度
υ'=（7）将（7）代入（6）可得下降时间
:
2
t=.
最后,得回到地面所用的时间
12
1
2
t t t arctgυ
⎡⎛
=+=+
⎝
.
2-24 一个半径为R的圆环固定在水平桌面上，一个物体紧贴着圆环内表面
运动，滑动摩擦系数为μ. 若物体初速率为
υ，问：(1)t时刻物体速率是多少? (2)
什么时候物体速率等于0
2
υ
? 此时的路程是多少?
解：(1)设物体质量为m，取桌面为参考系，根据牛顿定律，有
切向：
t
d
f N ma m
dt
υ
μ
===, （1）法向：2
N m R
υ
=, （2）
由上两式得2
d
R
dt
υ
μυ
=-,
即
2
d
dt
R
υμ
υ
=-.
积分,得
2
t
d
dt
R
υ
υ
υμ
υ
=-
⎰⎰,
即0
R
R t
υ
υ
υμ
=
+
（3）
（2）将0
2
υ
υ=代入（3），得t＝
R
μυ
（4）又
ds
dt
υ=所以
00
s t
ds dt
υ
=
⎰⎰.
积分, 得路程ln2
R
s
μ
=（5）2-25 一个箱子静止在行驶的卡车上，箱子到前面挡板的距离为2m
l=，与车之间的摩擦系数为0.5
=
μ. 若刹车时车的加速度为2
7.0m/s
=
a, 箱子碰到挡
板时相对车的速度是多少?
解： 刹车时箱子受到的摩擦力的大小为
f m
g μ=,
因此, 刹车时箱子相对于车的加速度为
22.1/f a a a g m s m
μ'=-=-=. 注意到箱子相对于车的初速度为零, 则箱子相对于车的的位移
2
21122l a t a υ'=='
, 所以, 箱子碰到挡板时相对车的速度为
2.9/m s υ==.
2-26 一个电梯以加速度a 由地面开始上升，两个质量为1m 和2m 的物体用一根细绳连着跨过固定在电梯天花板上的一个定滑轮，1m >2m . 忽略滑轮质量及其与细绳之间的摩擦，求两个物体相对于地的加速度和绳子的张力.
解：设绳子的张力为T ，两个物体相对于地的加速度大小为1a 和2a ,则有 其中的1m a 和2m a 分别是两个物体所受惯性力的大小, a '是物体相对于电梯的加速度的大小. (1)(2)+,得 1212
()()m m a g a m m -+'=+. 注意到对于1m , 11()a a a a a '=--=+; 对于2m , 2a a a '-=-, 于是, 两个物体相对于地的加速度为
122112
()2m m g m a a a a m m --'=-=+, 121212()2()m m g m a a a a m m -+'=-+=-
+. (1)(2)÷得绳子的张力 1212
2()m m a g T m m +=+. 习 题 3
3-1 已知地面上的石块质量为20kg ，用力推石块，力的方向平行于地面. 当石块运动时，推力随位移的增加而线性增加，即6F x =（SI ）. 试求石块由m x 161=移动到m x 202=的过程中推力所作的功.
解：F A =d ⋅=⎰b
a F s 2022166dx =3(2016)432()x J ⋅-=⎰.
3-2如图所示，一细绳跨过无摩擦
的定滑轮，系在质量为1.0kg 的物体上，
起初物体静止在无磨擦的水平面上. 若
用5.0N 的恒力拉绳索的另一端，使物 体向右作加速运动,当系在物体上的绳 索从与水平面成30o 角变为37o 角时，力 题3-2图
对物体作多少功？已知滑轮与水平面的距离为1m.
解：x Hctg =θ, 有2csc dx H d θθ=-,
F A =d ⋅⎰b
a F s 23722130cos (csc )d =H csc sin 1.69()f H f d J θθθθθθθ==⎰⎰o o
. 3-3一物体按规律3ct x =作直线运动. 设媒质对物体的阻力正比于速度的平方,试求物体由00x =运动到l x =时阻力所作的功, 已知阻力系数为K.
解：由题意， 23dx ct dt
υ==， （1） 阻力 242339f K Kc x υ=-=- （2）
阻力作功 f A =0⋅=⎰x
x f dx 272
33027=7l K dx KC l υ--⎰. 3-4一根质量为m 、长为l 的柔软链条，4/5长度在光滑桌面上，其余1/5自由悬挂在桌子边缘. 试证将此链条悬挂部分拉回桌面至少需要作功50/mgl .
解：将此链条悬挂部分拉回桌面至少要作的功为
/5
0150
l mg A xdx mgl l ==⎰. 3-5电子质量为289.110g,-⨯速率为7-1310m s ⨯⋅. 问：电子的动能是多少？电子从静止到获得这样大的动能需要对它作多少功？
解：电子的动能 2161 4.1010J,2
m υ-=⨯ 电子从静止到获得这样大的动能需要对它作的功等于电子动能的增量
164.1010J k A E -=∆=⨯.
3-6 一质量为0.20kg 的球，系在长为2m 的绳索上，绳索的另一端系在天花板上. 把小球移开，使绳索与铅直方向成o 30角，然后从静止放开. 求: (1) 在绳
索从30o 角到0o 角的过程中，重力和张力所作的功. (2) 物体在最低位置时的动能和速率. (3) 在最低位置时绳子上的拉力.
解：(1) 张力始终与运动方向垂直, 不作功. 重力作功为
()1cos30A mgR =-o ＝0.525J.
(2) 以最低处为势能零点，在整个过程中只有重力作功，机械能守恒，
最低位置时的动能 210.5252
k E m J υ==,
因此, 速率 υ=（m/s ）. (3) 设在最低位置时绳子上的拉力为T , 则有
2
T mg m R υ-=,
于是得 2
T mg m R υ=+=5.42 N.
3-7 一乒乓球自高于桌面70cm 处自由下落，落至桌面后又跳起50cm 高，如果球的质量为2.5g ，试计算在此过程中它损失的机械能.
解：在此过程中它损失的机械能即为重力势能的增量:
321() 4.9010J E mg h h -∆=-=-⨯.
3-8 弹性系数为1100-⋅m N 的弹簧垂直地放在地板上，一个25g 的物体放在弹簧的顶端，但没有系在弹簧上. 若把弹簧压缩5.0cm 然后物体从静止被释放出来, 问此物体抛出的高度比原弹簧高多少？
解：设物体放在弹簧顶端时弹簧被向下压缩了0y 且静止, 则有
0ky mg =,
即 30 2.4510mg y m k
-=
=⨯. 取物体从静止被释放时的位置为重力势能的零点. 物体弹起的过程中只有保守力作功，机械能守恒. 设物体抛出的高度比原弹簧高h , 则有
()()20012mg h y y k y y ++=+, 即 ()()()00011110.5122k ky h y y y y y y m mg mg ⎡⎤⎡⎤=+-+=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦. 3-9 设两个粒子之间的相互作用力是排斥力, 大小是2/,F k r k =为常数. 设力为零的地方，势能为零，试求两粒子相互作用的势能函数.
解法1: 设两粒子相互作用的势能函数为()V r . 显而易见, 在r =∞处力为零,故令()0V ∞=.根据教材第40页的公式(3-3-8)式, 取参考点势能()0V ∞=, 则
()V r ＝∞⋅⎰r F dr 2r k k dr r r
∞==⎰. 解法2：由于 =-dV F dr
, 得 ()()∞∞-==⎰r
V V r dV r F dr ∞
-⋅⎰. 由于()0V ∞=, 得 ()V r ＝∞⋅⎰r F dr 2r k k dr r r
∞==⎰. 注意下面的写法是错误的:
()V r ＝0r F dr ⋅⎰20=≠⎰r
k k dr r r
. 3-10如果一物体从高为h 处静止下落. 试以(1)时间为自变量，(2)高度为自变量，画出它的动能和势能图线. 并证明两曲线中动能和势能之和相等.
解：(1)以时间为自变量. 物体下落过程中速率为υ=gt , 高度为212
=-y h gt ,故动能 21()2υ=k E t m ＝2212
mg t , 势能 ()=p E t mgy ＝mgh －2212mg t , 动能和势能之和为 ()()+=k p E t E t mgh .
(2) 以高度为自变量. 由212
=-y h gt 得22()υ=-g h y , 则动能 21()()2
υ==-k E t m mg h y , 势能 ()=p E t mgy ,
动能和势能之和为 ()()+=k p E t E t mgh .
显然两曲线中动能和势能之和均为mgh .
3-11设质点在力43=+F i j （N ）的作用下，由原点运动到x =8m 、y =6m 处.
(1) 如果质点是沿直线从原点运动到终了位置，问力作多少功？(2) 如果质点先沿x 轴从原点运动到x =8m 、y =0处，然后再沿平行于y 轴的路径运动到终了位置，问力在每段路程上所作的功以及总功为多少？(3) 如果质点先沿y 轴运动到x =0、y =6m 处，然后再沿平行于x 轴的路径运动到终了位置，问力在每段路程上所作的功以及总功为多少？比较上述结果，说明这个力是保守力还是非保守力？
解：(1) r ＝x i ＋y j ＝x i ＋34
x j ,
=A 2
1r r F dr ⋅⎰＝50J.
(2) A ＝A 1+A 2＝21x x F dr ⋅⎰+2
1y y F dr ⋅⎰
＝80(43)i j i +⋅⎰dx ＋6
0(43)i j j +⋅⎰dy ＝804dx ⎰＋6
03dy ⎰ ＝32J ＋18J ＝50J.
(3) A ＝A 1+A 2＝21y y F dr ⋅⎰＋2
1x x F dr ⋅⎰ ＝60(43)i j j +⋅⎰dy ＋8
0(43)i j i +⋅⎰dx ＝603dy ⎰＋8
04dx ⎰ ＝18J ＋32J ＝50J.
可见,该力作功与路径无关，是保守力.
3-12一斜面高1.0m 长为2.0m. 把一质量为10kg 的物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦系数为0.1. 若物体在斜面最低点时的速率为零，在最高点时的速率为-10.2m s ⋅, 问沿斜面需用多大的力推物体才行？
解：由题可知斜面倾角30θ=o ，令斜面高h =1.0m, 长度l =2.0m, 物体末速率为-10.2m s υ=⋅.根据动能定理,有
212
μθυ--=Fl mgh mgcos l m , 于是得 2/2cos υμθ++=m mgh mg l F l
=57.6N.
系于弹性系数为k 为1k E ，弹簧的质量可以忽略不计，试证物体在弹簧伸长为x 时的速度可由下式得到: 22111sin 22
k m E mgx kx υα=+-. 证明：取物体与弹簧为系统，光滑斜面，只有重力和弹力作功，机械能守恒. 以弹簧未伸长处为势能零点，则该处机械能为1k E ,则有
212m υ21sin 2
mgx kx α-+＝1k E 故 22111sin 22
k m E mgx kx υα=+- 3-14 如图3-14所示，质量为0.1kg
在一个水平面上和一个倔强系数为10.20-⋅m N 的轻弹簧碰撞，木块将弹簧由静止位置压缩0.4m. 题3-14图
假设木块与水平面间的摩擦系数为0.25. 问在开始碰撞时木块的速率为多少？
解：设开始碰撞时木块的速率为υ，碰撞后非保守力只有摩擦力f ＝mg μ作
功,则有 fx ＝212m υ－212
kx . 可解得：υ＝5.83（m -1s ⋅）
3-15有一物体与斜面之间的摩擦系数为0.2，斜面的倾角为45o . 设物体以-110m s ⋅的速率沿斜面上滑，求物体能达到的高度. 当该物体返回最低点时，其速率又为多少？
解：非保守力只有摩擦力f ＝mg μcos θ作功，设物体达到的高度h ，以斜面最低点为重力势能零点，根据机械能定理,有
201cos csc 2
μθθυ⋅=-mg h m mgh . 解得：h =4.25m . 同理, 物体返回最低点时,有
21cos csc 2
μθθυ⋅=-mg h mgh m . 可得 -18.16m s υ=⋅.
3-16 如图3-16所示，自动卸货矿车满
载时的质量为m '，斜面倾角为30α=o ，斜 面对车的阻力为车重的1/4. 当车下滑距离 为l 时，车压弹簧一起向下运动，到达最大 压缩量时自动卸货，然后借助弹簧作用回
到初位置重新装货. 问：要完成这个过程, 题3-16图
空载时车的质量为多大？
解：设空载时车的质量为m ，弹簧最大压缩量0l , 非保守力只有斜面对车的阻力f ＝mg /4作功. 以弹簧最大压缩量处为势能零点，根据机械能定理,有
200011()()sin 42
α+=+-mg l l mg l l kl , (1) '=m g kl . (2)
得 m ＝13
m '. 习 题 4
4-1一质量为m ，速率为υ的球与一平面垂直碰撞，碰撞后小球以原先的速率沿反方向运动. 设球与平面碰撞时间为t , 问球与平面碰撞时，球对平面作用的平均冲力为多少？ 解：设平均冲力为F ，由质点动量定理
I ＝F ∆t =∆P
∴ F =∆P/∆t =2/m t υ.
4-2 质量为5.6g 的子弹水平射入一静止在水平面上, 质量为2kg 的木块内，木块和平面间的摩擦系数为0.2. 子弹射入木块后，木块向前移动了50cm ，求子弹的初速.
解：设子弹的初速度为0υ，射入后子弹与木块一起以初速度1υ运动。

取木块和子弹为系统，射入过程在水平方向动量守恒:
01()υυ=+m M m . (1)
子弹射入木块后与木块一起作末速度为零的匀减速运动,阻力为
()()μ+=+M m g M m a , (2)
222120υυ=+∆=a S . (3)
由以上三式可解得：0υ＝1501m s -⋅.
4-3 在冲击摆实验中，质量为9.6g 的子弹射入质量为5kg 的砂箱，砂箱摆高10cm ，求子弹的初速.
解：解：子弹进入沙箱和沙箱上摆是同时进行的，但为了便于分析，可把这个实际过程看作两个先后进行的过程：先是子弹进入沙箱，沙箱保持静止, 然后沙箱带着子弹以某个共同初速度开始上摆.
第一个过程是子弹与沙箱发生完全非弹性碰撞，系统动量守恒. 设子弹进入沙箱的初速率为0υ，沙箱上摆的初速率为υ，有
0()''+=m m m υυ. 在第二个过程中，只有重力做功，系统机械能守恒. 取沙箱初位置为重力势能零
点，有 21()()2
''+=+m m gh m m υ. .
联立以上两式，得 0=υ＝1730.6m s -⋅. 4-4质量为m 的物体，以速率υ沿x 轴正向运动，运动中突然射出一块物体，。