第8章无穷级数练习题解析

第8章⽆穷级数练习题解析
第8章⽆穷级数练习题
习题8.1
1．判断题（对的划“√”，错的划“×”）
（1）级数部分和的极限已求出，则级数收敛．若部分和的极限不存在，则级数发散．（）（2）若级数
∑∞
=±1
)(n n n
v u
收敛，则级数∑∞=1
n n u 与级数∑∞
=1
n n v 都收敛．
（）（3）改变级数的有限项不会改变级数的和．（）（4）当0lim =∞
→n n u 时，级数
∑∞
=1
n n
u
不⼀定收敛.（）
2．⽤级数的“∑”形式填空
（1）,!3!2!1 +++ 即．（2）,7
1
51311 +-+-
即．（3）
+++4
ln 313ln 212ln 1即．（4）,6
3
524101 ++++
+-即． 3．判断下列各级数的收敛性，并求收敛级数的和
（1） -+-33227
47474．（2） +++πππ5
53321．
（5）∑∞
=
-+
1
)
1
(
n
n n．
4．级数∑∞
=+
1
)
3
1 2
1
(
n
n
n
是否收敛？若收敛，求其和.
5．制造灯泡需要抽去玻璃泡中的空⽓，设灯泡中原有空⽓的质量m，在多次抽⽓时，每⼀次抽出的空⽓质量为上次剩余质量的20%，连续不断地抽，抽出的空⽓质量最多是多少？
习题8.2
1．⽤“收敛”或“发散”填空
（1）∑∞
=13 1
n n
．（）（2）∑∞
=1
2
2
．（）
（3）∑∞
=1!
n n．（）（4）∑∞
=1
2.1
1
n
n
．（）
2．判断下列正项级数的收敛性（1）∑∞
=+
1
1 9.0
1
n n
．（2）∑∞
=
+
+
1
26
5
8
n
n
n
．
（3）∑∞
=+
．
3．判断下列级数是否收敛（1）∑∞
=
--
1
)1 (
n
n
nπ． (2) ∑∞
=
-
-
1
3
1
1
)1
(
n
n
n
．
(3) ∑∞
=-
1
2
2
sin
)1
(
．(4) ∑∞
=
-
+
1
2
)1
(
1
n
n
n
．
4．判断下列级数的收敛性（1）∑∞
=++1)2(1n n n n ．（2）∑∞=??
+11n n
n n ．
（3）
∑∞
=--1
1
31arcsin )
1(n n n ．（4）∑∞
=+-1
=12n n n
．（6）∑∞
=166n n n
．
（7）)0,(,31211>++++++b a b a b a b a ．（8）∑∞=+++1) 3)(2)(1(n n n n n
．
（9） ++++++
n
n 1
34232．（10） +-+-2227151311．
习题8.3
1．求下列幂级数的收敛区间
（1） ------n x x x x n 3232．（2） -++++n n
nx x x x 3
333233322．
（3） +?++?+?+?+n
n
n x x x x x 3
3433323443322．
（4） ++++++n
n
x n x x x 3
3
2
2
321．
（5） +??++??+?+)
2(64264242232n x x x x n
．
（6）∑∞
=++-1
1
=--122212n n n
x n ．
(8) ∑∞
=?+13)1(n n
n n x ． (9) ∑∑∞=∞
=++-11221
2)1(n n n n n n n x n x ．
(10)
??∑∑∞=∞=11!n n n n n x n x ．
2．利⽤逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的⽅法，求下列级数在收敛区间上的和函数（1）∑∞
=--1
2
2212n n n
x n ．（2） ++++753753x x x x ．
（3） +++13951392x x x ．（4） +?+?+?4
332214
32x x x ．
（5） +?+?+?+?3
2
54433221x x x ．（6）
∑∑∞=∞=11!n n n n n x n x ．
习题8.4
1．将下列函数展开为x 的幂级数，并指出其收敛域（1）x
e 2．（2）)1,0(≠>a a a x 且．
（3）2
sin x
．（4）)0()ln(>+a x a ．
（5）
-=)2cos 1(21
sin sin 2
+x
t dt
41．（8）?x dt t
t 0sin ．
（9）?
-
x
t dt e
2
2
．
2．将下列函数展开为x 的幂级数，并指出其收敛半径（1）)0(2
2
>+a x a ．（2）x arcsin ．
（3）)1ln(2x x ++．
3．⽤级数的展开式，近似计算下列各值
（1）e （取前五项）．（2）521?（取前三项）．（3）?18sin （取前两项）．
4．计算下列积分的近似值（计算前三项）
（1）
21
2
dx e x ．（2）?
1
0sin dx x
x
．
（3）?1
1.0dx x
e x
．
习题8.5
（2）设周期函数)(2
)(ππ<≤-=
x x
x f ，则它的傅⾥叶系数 =0a ，=n a ， =1b ， =n
b ．
（3）⽤周期为π2的函数)(x f 的傅⾥叶系数公式，求周期为l 的函数)(t g 的傅⾥叶级数，应作代换=t .（4）周期为l 的函数)(x f 的傅⾥叶系数=0a ，=n a ，
=n b .
2．把下列周期函数展开成傅⾥叶级数（1）<≤<≤-=ππt t t u 0100)(．（2）<≤+<≤--=π
πx x x x x f 0,10
,1)(．
（3）<≤-<≤-+=π
πππt t t t t f 0,0,)(．（4）)(2cos
)(ππ<≤-=x x
x f ．
（5）??
<≤<≤--<≤--=2
1,1111
2,1)(x x x x x f ．（6）2121,1)(2
<≤--=x x x f ．
3．将函数)11()(≤≤-=x e x f x
展开成傅⽒级数.
4．将函数)0()(ππ≤≤-=x x x f 分别展开成正弦级数和余弦级数.
5．将周期为4的单向窄脉冲信号,展开成傅⾥叶级数的复数形式，其表达式
<≤<<-
-≤≤-=22
1
,02
121,
2
1
1．判断题（对的划“√”，错的划“×”）（1）若,0lim =∞
→n n u 则级数
∑∞
=1
n n
u
收敛．（）
（2）若级数
∑∞
=1
n n
u
发散，则级数
∑∞
=≠1
0(n n
c cu
为常数）也发散．
（）（3）改变级数的有限多个项，级数的敛散性不变．（）（4）若级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，则
∑∞
=-+1
21
2)(n n n u u
收敛．
（）（5）若)(x f 是周期函数为π2的函数，且满⾜收敛定理的条件，则在任意点x 处)(x f 的傅⽒级数收敛于)(x f .（）2．⽤“收敛”或“发散”填空 (1)若级数
∑∞
u
收敛，则
∑∞
=+1
)001.0(n n
u
.
(2)级数
∞
=1n （3）当10<
=-+11
1n n
n a
a . (4)级数
∞
=1
n n （5
）级数
∞
=n
3．单项选择题
（1）下列级数中，收敛的是（）
（A ） ∑∞
=--11)1(n n n ；（B ） ∑∞=+-123
2)1(n n n n
；（C ） ∑∞=+115n n ；（D ）∑∞
=-+1231n n n ．
(2)下列级数中，绝对收敛的是（）
（A ）∑∞
=-1)1(n n n ；（B ）∑∞=++12123n n n ；（C ）∑∞=-??? ??-1
132)1(n n
n ；（D ）∑∞=-+-11)1ln()1(n n n ． (3)幂级数∑∞
=1n n
n
x 的收敛区间是（）
（A ）[]1,1-；（B ）[)1,1-；（C ）(]1,1-；（D ）()1,1-． (4)函数2
)(x e x f -=展开成x 的幂级数是（）
（A ）∑∞
=12!n n n x ；（B ）∑∞=-12!)1(n n n n x ；（C ）∑∞=1
!n n n x ；（D ）∑∞
=--11!)1(n n
n n x ．
(5) 设)(x f 的周期为π2，它在[)ππ,-的表达式),(,2)(ππ<≤-=x x x f 则)(x f 的傅⽒展开式为（）
（A ）∑∞
=+-11sin )1(2n n nx n ；（B ）∑∞=+-1
1
sin )1(4n n nx n ；
（C ）),)12(,(sin )1(41
1
Z k k x x nx n n n ∈-≠+∞<<-∞-∑∞
=+π；
（D ）),)12(,(sin )1(21
1
Z k k x x nx n n n ∈-≠+∞<<-∞-∑∞
=+π．
4．判别下列各级数的敛散性
（1）)0(11
12>+∑∞
=a a n ．（2）∑∞
=+1
12tan
n n n π．
（3）∑∞
=+1
1
tan
n n n π
． (4)
∑∞
=1
sin
cos n n
n π
π．
（5） ∑∞
=+112!
n n n ． (6) ∑∞
=--1
ln )1(n n n n .
（B ）组
1．⽤已知函数的展开式，将下列函数展开成x 的幂级数
（1）x e x x f -=3)(．（2）x x f 2cos )(2=．
（3）2
11)(x x f -=
．（4）3
21
)(2--=
x x x f ．
2．⽤已知函数的展开式，将下列函数展开成2-x 的幂级数（1）x x f -=
41
)(．（2）x x f ln )(=．
3．将下列周期函数展开成傅⾥叶级数
（1）)(sin )(ππ<≤-=x ax x f （a 为⾮整数的常数）．
（2）)()(2
2πππ<≤--=x x x f ．
(3) )()(3
ππ<≤-=x x x f .
4．把周期函数<≤<≤--=2
2,2)(x x x
x f 展开成傅⽒级数.
5．将
≤≤-<≤-=2
4,44
0,)(T t T T T x t t q 分别展开成正弦型级数和余弦型级数．6．将)2
1
0(1)(2
≤≤-=x x x f 分别展开成正弦型级数和余弦型级数．
第8题图
7．把函数≤≤<≤--=ππππ
x x x f 0,4
0,4
)(展开成傅⽒级数，并由它导出
（1）
+-+-
=71513114
π
．（2） ++--+-=13
1111917151163π．
8．将下⾯波形的函数展开成傅⾥叶级数。