高中数学 第3章 导数及其应用 3.3.2 极大值与极小值学案 苏教版选修1-1-苏教版高二选修1-

3.3.2 极大值与极小值
学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
知识点一函数极值的概念
函数y＝f(x)的图象如图所示.
思考1 函数在x＝a处的函数值与附近的函数值有什么大小关系？
答案函数在x＝a处的函数值比它在x＝a附近的其他点的函数值都小.
思考2 f′(a)为多少？在x＝a附近，函数的导数的符号有什么规律？
答案f′(a)＝0，在x＝a的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.
梳理(1)极小值
函数y＝f(x)在x＝a处的函数值f(a)比它在x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在x＝a的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
(2)极大值
函数y＝f(x)在x＝b处的函数值f(b)比它在x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在x＝b的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值和极小值统称为极值.
知识点二求函数y＝f(x)极值的方法
(1)解方程f′(x)＝0；
(2)根据函数的极值与导数之间的关系验证判断：
①如果在x0两侧f′(x)符号相同，那么x0不是f(x)的极值点.
②如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x0)是极大值.
③如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么，f(x0)是极小值.
1.函数的极小值一定小于它的极大值.( ×)
2.f(x)在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值.( ×)
3.若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数.( √ )
4.函数y ＝x 3
＋x 2
＋2x －3存在极值.( × )
类型一 求函数的极值 例1 求下列函数的极值： (1)f (x )＝2x 3
＋3x 2
－12x ＋1； (2)f (x )＝3
x
＋3ln x .
考点 函数的极值与导数的关系 题点 不含参数的函数求极值问题
解 (1)函数f (x )＝2x 3
＋3x 2
－12x ＋1的定义域为R ，
f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x ＋2)(x －1)，
解方程6(x ＋2)(x －1)＝0，得x 1＝－2，x 2＝1. 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：
↗
↘
↗
所以当x ＝－2时，f (x )取极大值21； 当x ＝1时，f (x )取极小值－6.
(2)函数f (x )＝3
x
＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x )＝－3
x 2＋3
x
＝
3(x －1)
x
2
， 令f ′(x )＝0，得x ＝1.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
↘
↗
因此当x ＝1时，f (x )有极小值3，无极大值. 反思与感悟 求可导函数f (x )的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f ′(x )； (2)求f (x )的拐点，即求方程f ′(x )＝0的根；
(3)利用f ′(x )与f (x )随x 的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值. 特别提醒：在判断f ′(x )的符号时，借助图象也可判断f ′(x )各因式的符号，还可用特殊值法判断.
跟踪训练1 求下列函数的极值： (1)f (x )＝13x 3
－4x ＋4；
(2)f (x )＝x 2e x
；
考点 函数的极值与导数的关系 题点 不含参数的函数求极值问题 解 (1)∵f (x )＝13
x 3
－4x ＋4，
∴f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝x 2
－4＝(x －2)(x ＋2). 令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝－2.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
↗
↘
↗
因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值，并且极大值为f (－2)＝28
3；当x ＝2时，f (x )有极小值，
并且极小值为f (2)＝－4
3
.
(2)函数的定义域为R ，f ′(x )＝2x e x
＋x 2e x
＝x e x
(2＋x )， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝－2，
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
↗ ↘ ↗
由上表可以看出，
当x ＝－2时，函数有极大值为f (－2)＝4e －2
. 当x ＝0时，函数有极小值为f (0)＝0. 类型二 已知函数极值求参数
例2 (1)已知函数f (x )＝x 3
＋3ax 2
＋bx ＋a 2
在x ＝－1处有极值0，则a ＝________，b ＝________.
(2)若函数f (x )＝13x 3－x 2
＋ax －1有极值，则a 的取值范围为________.
考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 (1)2 9 (2)(－∞，1)
解析 (1)∵f ′(x )＝3x 2
＋6ax ＋b ，且函数f (x )在x ＝－1处有极值0，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
f ′(－1)＝0， f (－1)＝0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
3－6a ＋b ＝0，
－1＋3a －b ＋a 2
＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝3
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝9.
当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2
＋6x ＋3＝3(x ＋1)2
≥0，此时函数f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去.
当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2
＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3). 当x ∈(－∞，－3)时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数. 故f (x )在x ＝－1处取得极小值，∴a ＝2，b ＝9. (2)∵f ′(x )＝x 2
－2x ＋a ，
由题意得方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的实数根， ∴Δ＝4－4a >0，解得a <1. 引申探究
1.若例(2)中函数在x ＝－1处取到极大值，求a 的值. 解 f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，
由题意得f ′(－1)＝1＋2＋a ＝0，
解得a ＝－3，则f ′(x )＝x 2
－2x －3，经验证可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值. 2.若例(2)中函数f (x )有两个极值，均为正数，求a 的取值范围.
解 由题意得方程x 2
－2x ＋a ＝0有两个不等的正根，设为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝4－4a >0，x 1＋x 2＝2>0，
x 1x 2＝a >0，
解得0<a <1.
故a 的取值范围是(0,1).
反思与感悟 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点 (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
跟踪训练2 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2
＋x 的两个极值点. (1)试确定常数a 和b 的值；
(2)判断x ＝1，x ＝2使函数f (x )取得极大值还是极小值，并说明理由. 考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数
解 (1)因为f (x )＝a ln x ＋bx 2
＋x ， 所以f ′(x )＝a
x
＋2bx ＋1.
依题意得f ′(1)＝f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋2
b ＋1＝0，a
2
＋4b ＋1＝0，
解方程组得a ＝－23，b ＝－1
6
.
(2)由(1)知，f (x )＝－23ln x －16x 2
＋x (x >0)，
故f ′(x )＝－23x －13x ＋1＝－(x －1)(x －2)
3x
.
当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )<0.
故在x ＝1处函数f (x )取得极小值56，在x ＝2处函数取得极大值43－2
3
ln2.
类型三 函数极值的综合应用
例3 已知函数f (x )＝x 3－6x 2
＋9x ＋3，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象
有三个不同的交点，求实数m 的取值范围. 考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 解 由f (x )＝x 3
－6x 2
＋9x ＋3， 可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，
∴13f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2
－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2
＋x ＋3＋m ，
由题意可得x 3
－6x 2
＋9x ＋3＝x 2
＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3
－7x 2
＋8x －m 的图象与x 轴有三个不同的交点.
∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)， ∴令g ′(x )＝0，得x ＝2
3
或x ＝4.
当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：
↗
↘
↗
则函数g (x )的极大值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝68
27
－m ，极小值为g (4)＝－16－m .
由y ＝f (x )的图象与y ＝1
3f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同交点，
得⎩⎪⎨⎪⎧
g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝6827－m >0，g (4)＝－16－m <0，
解得－16<m <68
27
.
即实数m 的取值范围为⎝
⎛⎭⎪⎫－16，6827. 反思与感悟 用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x 轴的交点个数，从而判断方程根的个数.
跟踪训练3 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围.
解(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，
解得x1＝－2，x2＝ 2.
因为当x>2或x＜－2时，f′(x)＞0；
当－2＜x＜2时，f′(x)＜0.
所以，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；
单调递减区间为(－2，2).
当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；
当x＝2时，f(x)有极小值5－4 2.
(2)由(1)知，y＝f(x)图象的大致形状及走向如图所示.
所以，当5－42＜a＜5＋42时，
直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，
即当实数a的取值范围为(5－42，5＋42)时，方程f(x)＝a有三个不同的实根.
1.函数y＝3x3－9x＋5的极大值为________.
考点函数的极值与导数的关系
题点不含参数的函数求极值问题
答案11
解析y′＝9x2－9.令y′＝0，得x＝±1.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x (－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞) y′＋0－0＋
y ↗极大值↘极小值↗
从上表可以看出，当x ＝－1时，函数y 有极大值 3×(－1)3
－9×(－1)＋5＝11. 2.若函数f (x )＝ax －ln x 在x ＝
2
2
处取得极值，则实数a ＝________. 考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案
2
解析 f ′(x )＝a －1x ，令f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫
22＝0，
即a －
1
22
＝0，解得a ＝ 2.
3.已知f (x )＝x 3
＋ax 2
＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为__________________.
考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 (－∞，－3)∪(6，＋∞) 解析 f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋a ＋6， 因为f (x )既有极大值又有极小值， 那么Δ＝(2a )2
－4×3×(a ＋6)>0， 解得a >6或a <－3.
4.设函数f (x )＝6x 3
＋3(a ＋2)x 2
＋2ax .若f (x )在x ＝x 1和x ＝x 2处取得极值，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________. 考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 9
解析 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .
由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a
18＝1，
所以a ＝9.
5.已知关于x 的函数f (x )＝－13x 3＋bx 2
＋cx ＋bc ，若函数f (x )在x ＝1处取得极值－43
，则b
＝________，c ＝______. 考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 －1 3
解析 f ′(x )＝－x 2
＋2bx ＋c ，由f (x )在x ＝1处取得极值－
4
3
，得⎩
⎪⎨⎪⎧
f ′(1)＝－1＋2b ＋c ＝0，f (1)＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＝1，
c ＝－1或⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＝－1，
c ＝3.
若b ＝1，c ＝－1，
则f ′(x )＝－x 2
＋2x －1＝－(x －1)2
≤0，此时f (x )没有极值； 若b ＝－1，c ＝3，
则f ′(x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)，
当－3＜x ＜1时，f ′(x )＞0，当x ＞1时，f ′(x )＜0. 所以当x ＝1时，f (x )有极大值－4
3.
故b ＝－1，c ＝3.
1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.
2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反.
3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.
一、填空题
1.已知函数f (x )＝ax 3
＋bx 2
＋2，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的极小值是________.
考点 函数极值的应用
题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 2
解析 由f ′(x )的图象可知，当x ＝0时，函数取得极小值，f (x )极小值＝2. 2.当函数y ＝x ·2x
取极小值时，x ＝________. 考点 函数的极值与导数的关系 题点 不含参数的函数求极值问题 答案 －1
ln2
解析 令y ′＝2x ＋x ·2x
ln2＝0，∴x ＝－1ln2
.
3.已知函数f (x )＝ax 3
＋3x 2
－6ax ＋b 在x ＝2处取得极值9，则a ＋2b ＝________. 考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 －24
解析 f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， ∵f (x )在x ＝2处取得极值9，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
f ′(2)＝0， f (2)＝9，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
12a ＋12－6a ＝0，8a ＋12－12a ＋b ＝9.
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－2，
b ＝－11.
∴a ＋2b ＝－24.
4.若函数f (x )＝(x －2)(x 2
＋c )在x ＝2处有极值，则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线的斜率为________.
考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 －5
解析∵函数f(x)＝(x－2)(x2＋c)在x＝2处有极值，
∴f′(x)＝(x2＋c)＋(x－2)×2x，
∵f′(2)＝0，∴c＋4＝0，
∴c＝－4，
∴f′(x)＝(x2－4)＋(x－2)×2x，
∴函数f(x)的图象在x＝1处的切线斜率为
f′(1)＝(1－4)＋(1－2)×2＝－5.
5.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，其导函数y＝f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在区间(a，b)内极值点的个数是________.
考点函数极值的应用
题点函数极值在函数图象上的应用
答案 3
解析函数在x＝x0处取得极值必须满足两个条件：
①x0为f′(x)＝0的根；②导数值在x0左右异号.所以，有3个极值点.
6.已知a∈R，且函数y＝e x＋ax(x∈R)在(0，＋∞)上存在极值，则实数a的取值范围为________.
考点根据函数的极值求参数值
题点已知极值求参数
答案(－∞，－1)
解析因为y＝e x＋ax，所以y′＝e x＋a.
令y′＝0，即e x＋a＝0，则e x＝－a，即x＝ln(－a)，
又因为x＞0，所以－a＞1，即a＜－1.
7.如图所示是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x21＋x22＝________.
考点函数极值的应用
题点 函数的零点与方程的根 答案 83
解析 函数f (x )＝x 3＋bx 2
＋cx ＋d 的图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得⎩⎪⎨⎪⎧
d ＝0，b ＋c ＋1＝0，
4b ＋2c ＋8＝0，
则b ＝－3，c ＝2，
f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ＝3x 2－6x ＋2，且x 1，x 2是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的两个极值点，
即x 1，x 2是方程3x 2－6x ＋2＝0的实根，故x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2
－2x 1x 2＝4－43＝83
.
8.若函数f (x )＝x 33－a
2x 2
＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，3内有极值，则实数a 的取值范围为____________.
考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数
答案 ⎝
⎛⎭⎪⎫2，103 解析 因为函数f (x )＝x 33－a
2x 2
＋x ＋1，
所以f ′(x )＝x 2
－ax ＋1.
若函数f (x )＝x 33－a
2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3内有极值，则f ′(x )＝x 2
－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，3内
有零点.
由x 2
－ax ＋1＝0，得a ＝x ＋1x
.
因为x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，3，所以2≤a ＜103. 又因为当a ＝2时，f ′(x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2
≥0，不符合题意，所以a ≠2.即2<a <103.
9.若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3
－ax 2
－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为________. 考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数 答案 9
解析 ∵f ′(x )＝12x 2
－2ax －2b ，且a >0，b >0， ∴Δ＝4a 2
＋96b >0，
又∵x ＝1是极值点，
∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6， ∴ab ≤(a ＋b )2
4
＝9，
当且仅当a ＝b 时“＝”成立，∴ab 的最大值为9.
10.直线y ＝a 与函数y ＝x 3
－3x 的图象有三个相异的交点，则a 的取值范围为________. 考点 函数极值的应用 题点 函数的零点与方程的根 答案 (－2,2)
解析 f ′(x )＝3x 2
－3，
令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1.
因为f (1)＝－2，f (－1)＝2，所以－2＜a ＜2. 二、解答题
11.函数f (x )＝x 3
＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，且与直线y ＝0在原点处相切，函数的极小值为－4.
(1)求a ，b ，c 的值； (2)求函数的单调递减区间. 考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数
解 (1)∵函数图象过原点，∴c ＝0，
即f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ，∴f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b . 又∵函数f (x )的图象与直线y ＝0在原点处相切， ∴f ′(0)＝0，解得b ＝0， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＝x (3x ＋2a ). 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2a
3
.
由题意可知，当x ＝－2a
3
时，函数取得极小值－4.
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a 3＋a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23a 2
＝－4，解得a ＝－3.
∴a＝－3，b＝c＝0.
(2)由(1)知，f(x)＝x3－3x2，且f′(x)＝3x(x－2)，
由f′(x)<0，得3x(x－2)<0，∴0<x<2，
∴函数f(x)的单调递减区间是(0,2).
12.已知函数f(x)＝(x2＋ax＋a)e x(a≤2，x∈R).
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由. 考点根据函数的极值求参数值
题点已知极值求参数
解(1)f(x)＝(x2＋x＋1)e x，
f′(x)＝(2x＋1)e x＋(x2＋x＋1)e x＝(x2＋3x＋2)e x.
当f′(x)>0时，解得x<－2或x>－1，
当f′(x)<0时，解得－2<x<－1，
所以函数的单调增区间为(－∞，－2)，(－1，＋∞)；
单调减区间为(－2，－1).
(2)令f′(x)＝(2x＋a)e x＋(x2＋ax＋a)e x
＝[x2＋(2＋a)x＋2a]e x＝(x＋a)(x＋2)·e x＝0，
所以x＝－a或x＝－2.
当a＝2时，f′(x)＝(x＋2)2e x≥0，无极值；当a<2时，－a>－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
↗↘↗
由表可知，f(x)极大值＝f(－2)＝(4－2a＋a)e－2＝3，
解得a＝4－3e2<2，
所以存在实数a＝4－3e2，使f(x)的极大值为3.
13.已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.
(1)若f(x)在x＝1时有极值－1，求b，c的值；
(2)在(1)的条件下，若函数y＝f(x)的图象与函数y＝k的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围.
考点 函数极值的应用 题点 函数的零点与方程的根 解 (1)f ′(x )＝3x 2
＋2bx ＋c ，
因为⎩⎪⎨
⎪⎧
f (1)＝－1， f ′(1)＝0，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
1＋b ＋c ＋2＝－1，3＋2b ＋c ＝0，
解得b ＝1，c ＝－5.
经验证，b ＝1，c ＝－5符合题意. (2)由(1)知，f (x )＝x 3
＋x 2
－5x ＋2，
f ′(x )＝3x 2＋2x －5.
由f ′(x )＝0，得x 1＝－5
3
，x 2＝1.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－∞，－53 －5
3 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－53，1 1 (1，＋∞)
f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )
↗
极大值
↘
极小值
↗
当x ＝－53时，函数取得极大值且极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝229
27，
当x ＝1时，函数取得极小值且极小值为f (1)＝－1.
根据题意结合图可知，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22927.
三、探究与拓展
14.已知f (x )＝x 3
－6x 2
＋9x －abc ，a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论： ①f (0)f (1)>0；②f (0)f (1)<0；③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0. 其中正确结论的序号是________. 考点 根据函数的极值求参数值
题点 已知极值求参数 答案 ②③
解析 ∵f ′(x )＝3x 2
－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)， 由f ′(x )<0，得1<x <3，由f ′(x )>0，得x <1或x >3，
∴f (x )在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数. 又a <b <c ，f (a )＝f (b )＝f (c )＝0， ∴y 极大值＝f (1)＝4－abc >0，
y 极小值＝f (3)＝－abc <0.
∴0<abc <4.
∴a ，b ，c 均大于零，或者a <0，b <0，c >0.
又x ＝1，x ＝3为函数f (x )的极值点，后一种情况不可能成立，如图.
∴f (0)<0，∴f (0)f (1)<0，f (0)f (3)>0.∴正确结论的序号是②③. 15.已知函数f (x )＝kx ＋1
x 2＋c
(c >0且c ≠1，k ∈R )恰有一个极大值和一个极小值，其中x ＝－c 时取得一个极值.
(1)求x 为何值时，函数f (x )取得另一个极值；
(2)求函数f (x )的极大值M 和极小值m ，并求M －m ≥1时k 的取值范围. 考点 根据函数的极值求参数值 题点 已知极值求参数
解 (1)f ′(x )＝k (x 2＋c )－2x (kx ＋1)(x 2＋c )2＝－kx 2－2x ＋ck
(x 2＋c )
2
， 由题意知f ′(－c )＝0，即得c 2
k －2c －ck ＝0，(*) ∵c ≠0，∴k ≠0.∴c －2
k
＝1.
由f ′(x )＝0得－kx 2
－2x ＋ck ＝0，
故x ＝c －2
k
即x ＝1时函数f (x )取得另一个极值.
(2)由(*)式得k ＝
2c －1，即c ＝1＋2k
. 当c >1时，k >0；当0<c <1时，k <－2.
①当k >0时，f (x )在(－∞，－c )和(1，＋∞)上是减函数，在(－c,1)上是增函数，
∴M ＝f (1)＝
k ＋1c ＋1＝k
2
>0， m ＝f (－c )＝－kc ＋1c 2＋c ＝－k
2
2(k ＋2)
<0，
由M －m ＝k
2＋k 2
2(k ＋2)
≥1及k >0，解得k ≥ 2.
②当k <－2时，f (x )在(－∞，－c )和(1，＋∞)上是增函数，在(－c,1)上是减函数， ∴M ＝f (－c )＝－k 2
2(k ＋2)>0，m ＝f (1)＝k
2<0，
M －m ＝－k 2
2(k ＋2)－k 2＝1－(k ＋1)2
＋1
k ＋2
≥1恒成立.
综上可知，所求k 的取值范围为(－∞，－2)∪[2，＋∞).。